স্যার আইজ্যাক নিউটন - ডব্লিউ.ডব্লিউ. রাউস বলের গণিতের ইতিহাসের সংক্ষিপ্ত বিবরণ

গত অধ্যায়ে আলোচিত গণিতবিদগণ আধুনিক গণিতকে চিহ্নিত করে এমন প্রক্রিয়াগুলির সূচনা করেছিলেন। নিউটনের অসাধারণ ক্ষমতা তাকে কয়েক বছরের মধ্যে সেই প্রক্রিয়াগুলির প্রাথমিক দিকগুলি নিখুঁত করতে এবং সেই সময়ে অধ্যয়ন করা গণিত বিজ্ঞানের প্রতিটি শাখাকে স্পষ্টভাবে উন্নত করতে, সেইসাথে কিছু নতুন বিষয় তৈরি করতে সক্ষম করে। নিউটন ছিলেন ওয়ালিস, হাইগেনস এবং গত অধ্যায়ে উল্লিখিত অন্যান্যদের সমসাময়িক এবং বন্ধু, তবে তাঁর বেশিরভাগ গাণিতিক কাজ ১৬৬৫ থেকে ১৬৮৬ সালের মধ্যে সম্পন্ন হয়েছিল, তবে এর বেশিরভাগই বই আকারে অনেক বছর পরে মুদ্রিত হয়েছিল।

আমি অন্যান্য গণিতবিদদের তুলনায় নিউটনের কাজগুলি আরও বিস্তারিতভাবে আলোচনা করার প্রস্তাব করছি, আংশিকভাবে তাঁর আবিষ্কারের অভ্যন্তরীণ গুরুত্বের কারণে এবং আংশিকভাবে এই বইটি মূলত ইংরেজি পাঠকদের জন্য তৈরি করা হয়েছে এবং গ্রেট ব্রিটেনে এক শতাব্দীর জন্য গণিতের বিকাশ সম্পূর্ণরূপে নিউটনীয় স্কুলের হাতে ছিল।

আইজ্যাক নিউটন ১৬৪২ সালের ২৫শে ডিসেম্বর লিংকনশায়ারে, গ্রান্থামের কাছে জন্মগ্রহণ করেন এবং ১৭২৭ সালের ২০শে মার্চ লন্ডনের কেনসিংটনে মারা যান। তিনি কেমব্রিজের ট্রিনিটি কলেজে শিক্ষিত হন এবং ১৬৬১ থেকে ১৬৯৬ সাল পর্যন্ত সেখানে বসবাস করেন, এই সময়ে তিনি গণিতের বেশিরভাগ কাজ তৈরি করেন; ১৬৯৬ সালে তিনি একটি মূল্যবান সরকারি পদে নিযুক্ত হন এবং লন্ডনে চলে যান, যেখানে তিনি তাঁর মৃত্যু পর্যন্ত বসবাস করেন।

তাঁর বাবা, যিনি নিউটনের জন্মের কিছু আগে মারা গিয়েছিলেন, একজন কৃষক ছিলেন এবং নিউটনেরও পৈতৃক খামারটি দেখাশোনা করার কথা ছিল। তাকে গ্রান্থামে স্কুলে পাঠানো হয়েছিল, যেখানে তাঁর পড়াশোনা এবং যান্ত্রিক দক্ষতা কিছুটা মনোযোগ আকর্ষণ করেছিল। ১৬৫৬ সালে তিনি কৃষকের ব্যবসা শেখার জন্য বাড়ি ফিরে আসেন, কিন্তু তাঁর বেশিরভাগ সময় সমস্যা সমাধানে, পরীক্ষা-নিরীক্ষা করতে বা যান্ত্রিক মডেল তৈরি করতে ব্যয় করতেন; তাঁর মা এটি লক্ষ্য করে, তাঁর জন্য আরও উপযুক্ত একটি পেশা খুঁজে বের করার সিদ্ধান্ত নেন এবং তাঁর চাচা, যিনি নিজে কেমব্রিজের ট্রিনিটি কলেজে শিক্ষিত হয়েছিলেন, তিনি পরামর্শ দেন যে তাকে সেখানে পাঠানো উচিত।

১৬৬১ সালে নিউটন সেই অনুযায়ী কেমব্রিজে একজন ছাত্র হিসেবে প্রবেশ করেন, যেখানে প্রথমবারের মতো তিনি এমন একটি পরিবেশে নিজেকে খুঁজে পান যা তাঁর ক্ষমতা বিকাশের সম্ভাবনা ছিল। তবে সাধারণ সমাজ বা বিজ্ঞান ও গণিত ছাড়া অন্য কোনো বিষয়ে তাঁর তেমন আগ্রহ ছিল না। সৌভাগ্যবশত তিনি একটি ডায়েরি রাখতেন এবং এইভাবে আমরা সেই সময়ে একটি ইংরেজি বিশ্ববিদ্যালয়ের সবচেয়ে উন্নত ছাত্রদের শিক্ষার একটি উপযুক্ত ধারণা তৈরি করতে পারি। তিনি আসার আগে কোনো গণিত পড়েননি, তবে স্যান্ডারসনের লজিকের সাথে পরিচিত ছিলেন, যা তখন গণিতের প্রাথমিক পর্যায়ে প্রায়শই পড়ানো হতো। তাঁর প্রথম অক্টোবর টার্মের শুরুতে তিনি ঘটনাক্রমে স্টোরব্রিজ ফেয়ারে গিয়েছিলেন এবং সেখানে জ্যোতিষশাস্ত্রের একটি বই কিনেছিলেন, কিন্তু জ্যামিতি এবং ত্রিকোণমিতির কারণে তা বুঝতে পারেননি। তাই তিনি একটি ইউক্লিড কিনেছিলেন এবং প্রস্তাবনাগুলি কতটা সুস্পষ্ট ছিল তা দেখে অবাক হয়েছিলেন। এর পরে তিনি ওট্রেডের ক্ল্যাভিস এবং দেকার্তের জ্যামিতি পড়েন, যার শেষোক্তটি তিনি কিছু অসুবিধা হলেও নিজে আয়ত্ত করতে পেরেছিলেন। এই বিষয়ে তাঁর আগ্রহ তাঁকে রসায়নের পরিবর্তে গণিতকে একটি গুরুতর অধ্যয়নের বিষয় হিসেবে গ্রহণ করতে পরিচালিত করে। একজন আন্ডারগ্র্যাজুয়েট হিসেবে তাঁর পরবর্তী গাণিতিক পড়াশোনা কেপলারের অপটিক্স, ভিটা, ভ্যান স্কুটেনের মিসেলানিজ, দেকার্তের জ্যামিতি এবং ওয়ালিসের এরিথমেটিকা ইনফিনিটোরিয়াম-এর উপর ভিত্তি করে ছিল: তিনি ব্যারোর বক্তৃতাতেও অংশ নিয়েছিলেন। পরবর্তীকালে, ইউক্লিডকে আরও মনোযোগ সহকারে পড়ার পরে, তিনি এটিকে শিক্ষার একটি হাতিয়ার হিসেবে উচ্চ ধারণা তৈরি করেন এবং তিনি তাঁর দুঃখ প্রকাশ করতেন যে বীজগণিত বিশ্লেষণের দিকে যাওয়ার আগে তিনি জ্যামিতির প্রতি মনোযোগী হননি।

তাঁর একটি পান্ডুলিপি রয়েছে, যা ২৮শে মে, ১৬৬৫ তারিখে লেখা, যে বছর তিনি বি.এ. ডিগ্রি লাভ করেন, যা ফ্লুক্সিয়নের তাঁর আবিষ্কারের প্রাচীনতম প্রামাণিক প্রমাণ। এটি প্রায় একই সময়ে যখন তিনি দ্বিপদ উপপাদ্য আবিষ্কার করেন।

প্লেগের কারণে কলেজটি ১৬৬৫ এবং ১৬৬৬ সালের কিছু অংশে বন্ধ ছিল এবং এই সময়ে নিউটন কয়েক মাস বাড়িতে ছিলেন। এই সময়টি উজ্জ্বল আবিষ্কারে পরিপূর্ণ ছিল। তিনি তাঁর মহাকর্ষ তত্ত্বের মৌলিক নীতিগুলি নিয়ে চিন্তা করেছিলেন, অর্থাৎ, পদার্থের প্রতিটি কণা অন্য প্রতিটি কণাকে আকর্ষণ করে এবং তিনি সন্দেহ করেছিলেন যে আকর্ষণ তাদের ভরের গুণফল হিসাবে এবং তাদের মধ্যে দূরত্বের বর্গক্ষেত্রের ব্যস্তানুপাতে পরিবর্তিত হয়। তিনি ফ্লুক্সন ক্যালকুলাসও মোটামুটিভাবে সম্পূর্ণভাবে তৈরি করেছিলেন: এটি ১৬৬৫ সালের ১৩ই নভেম্বরের একটি পান্ডুলিপিতে, তিনি একটি বক্ররেখার যেকোনো বিন্দুতে স্পর্শক এবং বক্রতার ব্যাসার্ধ খুঁজে বের করতে ফ্লুক্সন ব্যবহার করেছিলেন এবং ১৬৬৬ সালের অক্টোবরে তিনি সেগুলিকে সমীকরণের তত্ত্বে বেশ কয়েকটি সমস্যায় প্রয়োগ করেছিলেন। নিউটন ১৬৬৯ সাল থেকে তাঁর বন্ধু এবং ছাত্রদের কাছে এই ফলাফলগুলি জানিয়েছিলেন, কিন্তু সেগুলি অনেক বছর পর মুদ্রিত হয়নি। এছাড়াও এই সময়ে বাড়িতে থাকার সময় তিনি গোলকের পরিবর্তে নির্দিষ্ট আকারের লেন্স তৈরি করার জন্য কিছু যন্ত্র তৈরি করেন এবং সম্ভবত তিনি সৌর আলোকে বিভিন্ন রঙে বিভক্ত করেন।

বিস্তারিত বাদ দিয়ে এবং শুধুমাত্র রাউন্ড সংখ্যা নিলে, এই সময়ে মহাকর্ষ তত্ত্বের উপর তাঁর যুক্তি নিম্নরূপ ছিল বলে মনে হয়। তিনি সন্দেহ করেছিলেন যে পৃথিবীর চারপাশে চাঁদের কক্ষপথে থাকা শক্তিটি ছিল পার্থিব মাধ্যাকর্ষণ শক্তির মতোই এবং এই অনুমানটি যাচাই করার জন্য তিনি এইভাবে এগিয়ে যান। তিনি জানতেন যে, যদি একটি পাথরকে পৃথিবীর পৃষ্ঠের কাছে পড়তে দেওয়া হয়, তবে পৃথিবীর আকর্ষণ (অর্থাৎ, পাথরের ওজন) এটিকে এক সেকেন্ডে ১৬ ফুট অতিক্রম করতে বাধ্য করে। পৃথিবীর সাপেক্ষে চাঁদের কক্ষপথ প্রায় একটি বৃত্ত; এবং একটি মোটামুটি অনুমান হিসাবে, এটিকে তাই ধরে নিয়ে, তিনি চাঁদের দূরত্ব জানতেন এবং সেইজন্য এর পথের দৈর্ঘ্যও জানতেন; তিনি আরও জানতেন যে চাঁদকে একবার প্রদক্ষিণ করতে কত সময় লাগে, অর্থাৎ এক মাস।

অতএব তিনি সহজেই যেকোনো বিন্দু যেমন M-এ এর বেগ খুঁজে বের করতে পারতেন। সুতরাং তিনি সেই দূরত্ব MT খুঁজে বের করতে পারতেন যা এটি পরবর্তী সেকেন্ডে অতিক্রম করবে যদি এটি পৃথিবীর আকর্ষণ দ্বারা টানা না হতো। তবে সেই সেকেন্ডের শেষে এটি M'-এ ছিল এবং সেই কারণে পৃথিবী E-কে এক সেকেন্ডে TM' দূরত্ব অতিক্রম করতে হয়েছিল (পৃথিবীর টান একটি ধ্রুবক দিক ধরে নিয়ে)। এখন তিনি এবং সেই সময়ের বেশ কয়েকজন পদার্থবিদ কেপলারের তৃতীয় সূত্র থেকে অনুমান করেছিলেন যে কোনো বস্তুর উপর পৃথিবীর আকর্ষণ সেই বস্তুটি পৃথিবী থেকে যত দূরে সরে যাবে, দূরত্বের বর্গক্ষেত্রের ব্যস্তানুপাতে হ্রাস পাবে; যদি এটি প্রকৃত নিয়ম হতো এবং মাধ্যাকর্ষণই একমাত্র শক্তি হতো যা চাঁদকে তার কক্ষপথে ধরে রাখে, তাহলে TM' ১৬ ফুটের সাথে চাঁদের কেন্দ্র থেকে পৃথিবীর কেন্দ্র পর্যন্ত দূরত্বের বর্গের ব্যস্তানুপাতে পৃথিবীর ব্যাসার্ধের বর্গের সমান হওয়া উচিত। ১৬৭৯ সালে, যখন তিনি তদন্তটি পুনরাবৃত্তি করেন, তখন TM'-এর সেই মান পাওয়া যায় যা অনুমানের জন্য প্রয়োজন ছিল এবং যাচাইকরণ সম্পন্ন হয়েছিল; কিন্তু ১৬৬৬ সালে চাঁদের দূরত্ব সম্পর্কে তাঁর অনুমানটি ছিল ভুল এবং যখন তিনি হিসাব করেন, তখন তিনি দেখতে পান যে TM' তাঁর অনুমানের চেয়ে প্রায় এক-অষ্টমাংশ কম ছিল।

এই অমিলটি মাধ্যাকর্ষণ চাঁদ পর্যন্ত বিস্তৃত এবং দূরত্বের বর্গের ব্যস্তানুপাতে পরিবর্তিত হয় এই বিশ্বাসে তাঁর বিশ্বাসকে সম্ভবত নাড়া দেয়নি; কিন্তু নিউটনের সাথে হুইস্টনের কথোপকথনের নোট থেকে মনে হবে যে নিউটন অনুমান করেছিলেন যে অন্য কোনো শক্তি — সম্ভবত দেকার্তের ঘূর্ণি — মাধ্যাকর্ষণের পাশাপাশি চাঁদের উপর কাজ করে। এই বিবৃতিটি তদন্তের পেমবারটনের বিবরণ দ্বারা নিশ্চিত করা হয়েছে। তদুপরি, মনে হয় নিউটন ইতিমধ্যে সর্বজনীন মহাকর্ষের নীতিতে দৃঢ়ভাবে বিশ্বাস করতেন, অর্থাৎ, পদার্থের প্রতিটি কণা অন্য প্রতিটি কণাকে আকর্ষণ করে এবং সন্দেহ করেছিলেন যে আকর্ষণ তাদের ভরের গুণফল হিসাবে এবং তাদের মধ্যে দূরত্বের বর্গক্ষেত্রের ব্যস্তানুপাতে পরিবর্তিত হয়; তবে এটা নিশ্চিত যে তিনি তখন জানতেন না যে কোনো বাহ্যিক বিন্দুতে একটি গোলাকার ভরের আকর্ষণ কী হবে এবং তিনি মনে করেননি যে একটি কণা পৃথিবীর দ্বারা আকৃষ্ট হবে যেন শেষোক্তটি তার কেন্দ্রে একটি একক কণার মধ্যে কেন্দ্রীভূত।

১৬৬৭ সালে কেমব্রিজে ফিরে আসার পর নিউটন তাঁর কলেজে একটি ফেলোশিপের জন্য নির্বাচিত হন এবং সেখানে স্থায়ীভাবে বসবাস করতে শুরু করেন। ১৬৬৯ সালের প্রথম দিকে, বা সম্ভবত ১৬৬৮ সালে, তিনি তাঁর জন্য ব্যারোর বক্তৃতাগুলি সংশোধন করেন। চতুর্দশ বক্তৃতার শেষাংশ নিউটনের লেখা বলে জানা যায়, কিন্তু এর বাকি কতটুকু তাঁর পরামর্শের কারণে হয়েছে তা এখন নির্ধারণ করা যায় না। এটি শেষ হওয়ার সঙ্গে সঙ্গেই ব্যারো এবং কলিন্স তাকে কিনখুয়েসেনের বীজগণিতের একটি অনুবাদের সম্পাদনা এবং নোট যোগ করার জন্য বলেন; তিনি এটি করতে রাজি হন, তবে এই শর্তে যে তাঁর নাম এই বিষয়ে উল্লেখ করা হবে না। ১৬৭০ সালে তিনি অসীম ধারা দ্বারা তাঁর বিশ্লেষণের একটি পদ্ধতিগত ব্যাখ্যাও শুরু করেন, যার উদ্দেশ্য ছিল একটি বক্ররেখার কোটিকে একটি অসীম বীজগণিতিক ধারায় প্রকাশ করা যার প্রতিটি পদ ওয়ালিসের নিয়ম দ্বারা একত্রিত করা যেতে পারে; এই বিষয়ে তাঁর ফলাফল ১৬৬৯ সালে ব্যারো, কলিন্স এবং অন্যদের কাছে জানানো হয়েছিল। এটি কখনোই শেষ হয়নি: এর অংশবিশেষ ১৭১১ সালে প্রকাশিত হয়েছিল, তবে এর সারমর্মটি ১৭০৪ সালে অপটিক্সের একটি পরিশিষ্ট হিসেবে মুদ্রিত হয়েছিল। এই কাজগুলি ছিল নিউটনের অবসর সময়ের ফল, এই দুই বছরে তাঁর বেশিরভাগ সময় অপটিক্যাল গবেষণায় ব্যয়িত হয়েছিল।

অক্টোবর ১৬৬৯ সালে, ব্যারো নিউটনের পক্ষে লুকাসিয়ান চেয়ার ত্যাগ করেন। অধ্যাপনার মেয়াদে, নিউটনের অভ্যাস ছিল বছরে একবার এক টার্মে, সম্ভবত তাঁর বক্তৃতাগুলি যত দ্রুত লেখা যেত তত দ্রুত বলার মাধ্যমে, জনসাধারণের উদ্দেশ্যে সপ্তাহে একবার, আধা ঘণ্টা থেকে এক ঘণ্টা সময় ধরে বক্তৃতা দেওয়া; এবং বক্তৃতার পরের সপ্তাহে তিনি সেই ছাত্রদের জন্য চার ঘণ্টা সময় দিতেন যারা আগের বক্তৃতার ফলাফল নিয়ে আলোচনা করার জন্য তাঁর কক্ষে আসতে চাইতেন। তিনি কখনোই একটি কোর্স পুনরাবৃত্তি করেননি, যা সাধারণত নয় বা দশটি বক্তৃতা নিয়ে গঠিত হতো এবং সাধারণত একটি কোর্সের বক্তৃতাগুলি সেই বিন্দু থেকে শুরু হতো যেখানে আগের কোর্সটি শেষ হয়েছিল। তাঁর মেয়াদে প্রথম আঠারো বছরের মধ্যে সতেরো বছরের বক্তৃতার পান্ডুলিপি বিদ্যমান।

প্রথম নিযুক্ত হওয়ার সময় নিউটন তাঁর বক্তৃতার এবং গবেষণার বিষয় হিসেবে অপটিক্স বেছে নিয়েছিলেন এবং ১৬৬৯ সালের শেষ হওয়ার আগে তিনি একটি প্রিজমের মাধ্যমে সাদা আলোর একটি রশ্মিকে বিভিন্ন রঙে বিভক্ত করার তাঁর আবিষ্কারের বিস্তারিত বিষয়গুলি তৈরি করেছিলেন। রংধনুর তত্ত্বের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা এই আবিষ্কার থেকে এসেছে। এই আবিষ্কারগুলি ১৬৬৯, ১৬৭০ এবং ১৭১১ সালে লুকাসিয়ান অধ্যাপক হিসেবে তাঁর দেওয়া বক্তৃতার বিষয়বস্তু তৈরি করে। প্রধান নতুন ফলাফলগুলি ১67২ সালের ফেব্রুয়ারিতে রয়্যাল সোসাইটিতে জানানো একটি পেপারে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছিল এবং পরবর্তীতে ফিলোসফিক্যাল ট্রানজাকশনস-এ প্রকাশিত হয়েছিল। তাঁর মূল বক্তৃতার পান্ডুলিপি ১৭২৯ সালে Lectiones Opticae শিরোনামে মুদ্রিত হয়েছিল। এই কাজটি দুটি বইয়ে বিভক্ত, যার প্রথমটিতে চারটি এবং দ্বিতীয়টিতে পাঁচটি বিভাগ রয়েছে। প্রথম বইয়ের প্রথম বিভাগে রশ্মিগুলির অসম প্রতিসরণের ফলস্বরূপ একটি প্রিজম দ্বারা সৌর আলোর বিভাজন নিয়ে আলোচনা করা হয়েছে এবং তাঁর পরীক্ষার একটি বর্ণনা যোগ করা হয়েছে। দ্বিতীয় বিভাগে নিউটন বিভিন্ন বস্তুর প্রতিসরণের সহগ নির্ধারণের জন্য যে পদ্ধতি আবিষ্কার করেছিলেন তার একটি বিবরণ রয়েছে। এটি একটি রশ্মিকে উপাদানের একটি প্রিজমের মধ্য দিয়ে যাওয়ার মাধ্যমে করা হয় যাতে বিচ্যুতি সর্বনিম্ন হয়; এবং তিনি প্রমাণ করেন যে, যদি প্রিজমের কোণ i হয় এবং রশ্মির বিচ্যুতি δ হয়, তাহলে প্রতিসরাঙ্ক হবে sin ½ ( i + δ) cosec ½ i । তৃতীয় বিভাগটি সমতল পৃষ্ঠে প্রতিসরণ নিয়ে; এখানে তিনি দেখান যে যদি একটি রশ্মি সর্বনিম্ন বিচ্যুতির সাথে একটি প্রিজমের মধ্য দিয়ে যায়, তাহলে আপতন কোণ নির্গমন কোণের সমান হবে; এই বিভাগের বেশিরভাগ অংশ বিভিন্ন সমস্যার জ্যামিতিক সমাধানে উৎসর্গীকৃত। চতুর্থ বিভাগে বক্র পৃষ্ঠে প্রতিসরণের আলোচনা রয়েছে। দ্বিতীয় বইটি তাঁর রঙের তত্ত্ব এবং রংধনু নিয়ে আলোচনা করে।

দুর্ঘটনার একটি কৌতূহলোদ্দীপক অধ্যায়ে নিউটন দুটি রঙের ক্রোমাটিক অ্যাবারেশন সংশোধন করতে ব্যর্থ হন একটি দম্পতির প্রিজমের মাধ্যমে। তাই তিনি অ্যাক্রোমাটিক একটি প্রতিসরণ দূরবীক্ষণ যন্ত্র তৈরি করার আশা ত্যাগ করেন এবং পরিবর্তে একটি প্রতিফলন দূরবীক্ষণ যন্ত্র ডিজাইন করেন, সম্ভবত ১৬৬৮ সালে তৈরি করা একটি ছোটটির মডেলের উপর ভিত্তি করে। তিনি যে ফর্মটি ব্যবহার করেছিলেন তা এখনও তাঁর নামে পরিচিত; এটির ধারণাটি স্বাভাবিকভাবেই গ্রেগরির দূরবীক্ষণ যন্ত্র দ্বারা প্রস্তাবিত হয়েছিল। ১67২ সালে তিনি একটি প্রতিফলন মাইক্রোস্কোপ আবিষ্কার করেন এবং কয়েক বছর পর তিনি সেক্সট্যান্ট আবিষ্কার করেন যা ১73১ সালে জে. হ্যাডলি পুনরায় আবিষ্কার করেন।

১673 থেকে ১683 সাল পর্যন্ত তাঁর অধ্যাপনার বক্তৃতা ছিল বীজগণিত এবং সমীকরণের তত্ত্বের উপর, এবং নিচে তা বর্ণনা করা হয়েছে; তবে এই বছরগুলিতে তাঁর অনেক সময় অন্যান্য গবেষণায় অতিবাহিত হয়েছিল এবং আমি উল্লেখ করতে পারি যে তাঁর সারা জীবন নিউটন গণিতের চেয়ে রসায়ন এবং ধর্মতত্ত্বের প্রতি কমপক্ষে ততটাই মনোযোগ দিয়েছেন, যদিও তাঁর সিদ্ধান্তগুলি এখানে উল্লেখ করার মতো যথেষ্ট আগ্রহের নয়। তাঁর রঙের তত্ত্ব এবং তাঁর অপটিক্যাল পরীক্ষা থেকে প্রাপ্ত সিদ্ধান্তগুলি প্রথমে বেশ জোরালোভাবে সমালোচিত হয়েছিল। এর ফলে নিউটনের উপর যে চিঠিপত্র এসেছিল তা ১67২ থেকে ১67৫ সালের মধ্যে তাঁর প্রায় সমস্ত অবসর সময় দখল করে নেয় এবং তাঁর কাছে অত্যন্ত অপ্রীতিকর প্রমাণিত হয়েছিল। ১67৫ সালের ৯ই ডিসেম্বর তিনি লিখেছেন, “আলোর তত্ত্ব থেকে উদ্ভূত আলোচনা দ্বারা আমি এতটাই নির্যাতিত হয়েছিলাম যে আমি আমার শান্তিকে একটি ছায়ার পিছনে তাড়া করার জন্য উৎসর্গ করার জন্য আমার নিজের নির্বুদ্ধিতাকে দোষারোপ করেছি।” আবার, ১67৬ সালের ১৮ই নভেম্বর, তিনি উল্লেখ করেন, “আমি দেখছি যে আমি নিজেকে দর্শনের দাস বানিয়েছি; কিন্তু যদি আমি মিঃ লিনাসের ব্যবসা থেকে মুক্তি পাই, তাহলে আমি ব্যক্তিগত সন্তুষ্টির জন্য যা করি বা আমার পরে প্রকাশিত হওয়ার জন্য যা রেখে যাই তা ছাড়া চিরকালের জন্য এটিকে দৃঢ়ভাবে বিদায় জানাব; কারণ আমি দেখি একজন মানুষকে হয় নতুন কিছু প্রকাশ না করার সিদ্ধান্ত নিতে হবে, অথবা এটি রক্ষার জন্য একজন দাসে পরিণত হতে হবে।” তাঁর সিদ্ধান্ত নিয়ে সন্দেহ করা বা সে সম্পর্কে কোনো চিঠিপত্রে জড়িত হওয়ার অযৌক্তিক অপছন্দ নিউটনের চরিত্রের একটি প্রধান বৈশিষ্ট্য ছিল।

আলোর প্রভাব কীভাবে সত্যিই উত্পাদিত হয়েছিল সে সম্পর্কে নিউটনের গভীর আগ্রহ ছিল এবং ১67৫ সালের শেষ নাগাদ তিনি কর্পাসকুলার বা নিঃসরণ তত্ত্ব তৈরি করেছিলেন এবং দেখিয়েছিলেন যে এটি কীভাবে জ্যামিতিক অপটিক্সের বিভিন্ন ঘটনা যেমন প্রতিফলন, প্রতিসরণ, রঙ, অপবর্তন ইত্যাদি ব্যাখ্যা করবে। তবে এটি করার জন্য, তিনি কিছুটা কৃত্রিম একটি বিষয় যোগ করতে বাধ্য হয়েছিলেন, যে তাঁর কণাগুলির একটি ইথার দ্বারা যোগাযোগ করা সহজ প্রতিফলন এবং সহজ প্রতিসরণের বিকল্প ফিট ছিল যা স্থান পূরণ করে। তত্ত্বটি এখন অচল বলে পরিচিত, তবে এটি লক্ষ করা উচিত যে নিউটন এটিকে একটি অনুমান হিসাবে ঘোষণা করেছিলেন যেখান থেকে নির্দিষ্ট ফলাফল পাওয়া যাবে: মনে হবে যে তিনি তরঙ্গ তত্ত্বকে অভ্যন্তরীণভাবে আরও সম্ভাব্য বলে মনে করতেন, তবে সেই তত্ত্বে অপবর্তন ব্যাখ্যা করার অসুবিধা তাঁকে অন্য একটি অনুমান প্রস্তাব করতে পরিচালিত করে।

নিউটনের কর্পাসকুলার তত্ত্ব ১67৫ সালের ডিসেম্বরে রয়্যাল সোসাইটিতে জানানো স্মৃতিচারণে ব্যাখ্যা করা হয়েছিল, যা মূলত ১70৪ সালে প্রকাশিত তাঁর অপটিক্স-এ পুনরুৎপাদিত হয়েছে। পরবর্তী কাজে তিনি সহজ প্রতিফলন এবং সংক্রমণের ফিটগুলির তাঁর তত্ত্ব এবং পাতলা প্লেটের রঙ নিয়ে বিস্তারিত আলোচনা করেছেন, যার সাথে তিনি পুরু প্লেটের রঙের ব্যাখ্যা [bk. II, part 4] এবং আলোর নমনীয়তার উপর পর্যবেক্ষণ যোগ করেছেন [bk. III]।

১67৬ সালে নিউটনের লেখা দুটি চিঠি সেগুলির প্রতি ইঙ্গিত করার জন্য যথেষ্ট আকর্ষণীয়। লাইবনিজ, যিনি ১673 সালে লন্ডনে ছিলেন, রয়্যাল সোসাইটিকে কিছু ফলাফল জানিয়েছিলেন যা তিনি নতুন বলে মনে করেছিলেন, কিন্তু যা তাঁকে জানানো হয়েছিল যে আগে মাউটন প্রমাণ করেছেন। এটি সোসাইটির সেক্রেটারি ওল্ডেনবার্গের সাথে একটি চিঠিপত্রের দিকে পরিচালিত করে। ১67৪ সালে লাইবনিজ লিখেছিলেন যে তাঁর কাছে “অসীম ধারার উপর নির্ভরশীল সাধারণ বিশ্লেষণাত্মক পদ্ধতি” রয়েছে। ওল্ডেনবার্গ উত্তরে তাঁকে জানান যে নিউটন এবং গ্রেগরি তাঁদের কাজে এই ধরনের ধারা ব্যবহার করেছেন। তথ্যের অনুরোধের জবাবে, নিউটন ১67৬ সালের ১৩ই জুন লিখেছিলেন, তাঁর পদ্ধতির একটি সংক্ষিপ্ত বিবরণ দিয়ে, তবে একটি দ্বিপদের বিস্তার (অর্থাৎ, দ্বিপদ উপপাদ্য) এবং sin -1 x যোগ করেছেন; যার শেষোক্ত থেকে তিনি sin x-এর হিসাব বের করেন: এটি ধারার বিপরীতকরণের প্রাচীনতম পরিচিত উদাহরণ বলে মনে হয়। তিনি একটি অসীম ধারায় একটি উপবৃত্তাকার চাপের সংশোধনীর জন্যও একটি অভিব্যক্তি সন্নিবেশিত করেন।

লাইবনিজ ২৭শে আগস্ট আরও বিস্তারিত জানতে চেয়ে চিঠি লেখেন; এবং নিউটন একটি দীর্ঘ কিন্তু আকর্ষণীয় উত্তরে, ১67৬ সালের ৩০শে অক্টোবর তারিখের, এবং ওল্ডেনবার্গের মাধ্যমে পাঠানো, তিনি তাঁর কিছু ফলাফলের দিকে কীভাবে পরিচালিত হয়েছিলেন তার একটি বিবরণ দেন।

এই চিঠিতে নিউটন প্রথমে বলছেন যে সব মিলিয়ে তিনি ধারা বিস্তারের জন্য তিনটি পদ্ধতি ব্যবহার করেছেন। তাঁর প্রথমটি ছিল ইন্টারপোলেশন পদ্ধতির অধ্যয়নের মাধ্যমে যা ওয়ালিস একটি বৃত্ত এবং একটি হাইপারবোলার ক্ষেত্রফলের জন্য অভিব্যক্তি খুঁজে বের করেছিলেন। এইভাবে, অভিব্যক্তির ধারা বিবেচনা করে (১— x 2 ) 0/2 , (১— x 2 ) 2/2 , (১— x 2 ) 4/2 , ... , তিনি ইন্টারপোলেশনের মাধ্যমে সেই নিয়মটি বের করেন যা (১— x 2 ) 1/2 , (১— x 2 ) 3/2 , ...-এর বিস্তারে ধারাবাহিক সহগগুলির সাথে সংযোগ স্থাপন করে; এবং তারপর সাদৃশ্য দ্বারা দ্বিপদের বিস্তারে সাধারণ পদের জন্য অভিব্যক্তিটি পাওয়া যায়, অর্থাৎ, দ্বিপদ উপপাদ্য। তিনি বলেন যে তিনি (১— x 2 ) 1/2-এর বিস্তারটির বর্গ তৈরি করে এটি পরীক্ষা করতে এগিয়ে যান, যা ১—x²-এ হ্রাস পায়; এবং তিনি অনুরূপভাবে অন্যান্য বিস্তারের সাথে এগিয়ে যান। এর পরে তিনি বর্গমূল বের করে ১— x ²-এর দ্বিপদ উপপাদ্যটি পরীক্ষা করেন, আরও এরিথমেটিকো। তিনি অসীম ধারায় বৃত্ত এবং হাইপারবোলার ক্ষেত্রফল নির্ধারণের জন্য ধারাটি ব্যবহার করেন এবং তিনি দেখতে পান যে ফলাফলগুলি তাঁর অন্য উপায়ে আসা ফলাফলের মতোই ছিল।

এই ফলাফলটি প্রতিষ্ঠিত করার পর, তিনি ধারা বিস্তারের ইন্টারপোলেশন পদ্ধতিটি বাতিল করেন এবং (যখন সম্ভব) একটি বক্ররেখার কোটিকে অ্যাবসিসার ক্রমবর্ধমান শক্তিতে একটি অসীম ধারায় প্রকাশ করার জন্য তাঁর দ্বিপদ উপপাদ্য ব্যবহার করেন এবং এইভাবে ওয়ালিসের পদ্ধতি দ্বারা তিনি তাঁর অপটিক্সের পরিশিষ্টে এবং তাঁর De Analysi per Equationes Numero Terminorum Infinitas-এ বর্ণিত পদ্ধতিতে বক্ররেখার ক্ষেত্রফল এবং চাপের জন্য অসীম ধারায় অভিব্যক্তি পান। তিনি উল্লেখ করেন যে তিনি এই দ্বিতীয় পদ্ধতিটি ১৬৬৫-৬৬ সালের প্লেগের আগে ব্যবহার করেছিলেন এবং বলতে থাকেন যে তিনি তখন কেমব্রিজ ত্যাগ করতে বাধ্য হয়েছিলেন এবং পরবর্তীতে (সম্ভবত কেমব্রিজে ফিরে আসার পর) তিনি এই ধারণাগুলি অনুসরণ করা বন্ধ করে দেন, কারণ তিনি দেখতে পান যে নিকোলাস মার্কেটর তাঁর Logarithmo-technica-তে তাদের কিছু ব্যবহার করেছেন, যা ১668 সালে প্রকাশিত হয়েছিল; এবং তিনি ধারণা করেছিলেন যে তাঁর আবিষ্কারগুলি প্রকাশ করার সম্ভাবনা হওয়ার আগেই বাকিগুলি খুঁজে বের করা হয়েছে বা হবে।

নিউটনের পরে ব্যাখ্যা করেন যে তাঁর তৃতীয় একটি পদ্ধতিও ছিল, যা (তিনি বলেন) তিনি প্রায় ১669 সালে ব্যারো এবং কলিন্সকে পাঠিয়েছিলেন, ক্ষেত্রফল, সংশোধন, ঘনক্ষেত্র ইত্যাদি প্রয়োগের মাধ্যমে চিত্রিত করেছেন। এটি ছিল ফ্লুক্সনের পদ্ধতি; কিন্তু নিউটন এখানে এর কোনো বর্ণনা দেননি, যদিও তিনি এর ব্যবহারের কিছু দৃষ্টান্ত যোগ করেছেন। প্রথম দৃষ্টান্তটি হল সমীকরণ দ্বারা উপস্থাপিত বক্ররেখার চতুর্ভুজ
y = ax m ( b + cx n ) p ,
যা তিনি বলেন ( m + 1)/ n পদগুলির যোগফল হিসাবে কার্যকর করা যেতে পারে যদি ( m + 1)/ n একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয় এবং যা তিনি মনে করেন অন্যথায় একটি অসীম ধারা ছাড়া কার্যকর করা যাবে না। [এটি এমন নয়, যদি p + ( m + 1)/ n একটি পূর্ণসংখ্যা হয় তবে ইন্টিগ্রেশন সম্ভব।] তিনি অন্যান্য আকারের একটি তালিকাও দেন যা অবিলম্বে ইন্টিগ্রেবল, যার প্রধানগুলি হল
, , , , ;
যেখানে m একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং n যেকোনো সংখ্যা হতে পারে। সবশেষে, তিনি উল্লেখ করেন যে কোনো বক্ররেখার ক্ষেত্রফল প্রায় সহজেই তাঁর Methodus Differentialis নিয়ে আলোচনা করার সময় নিচে বর্ণিত ইন্টারপোলেশন পদ্ধতি দ্বারা নির্ধারণ করা যেতে পারে।

তাঁর চিঠির শেষে নিউটন “স্পর্শকের বিপরীত সমস্যা”-এর সমাধানের কথা উল্লেখ করেন, লাইবনিজ যে বিষয়ে তথ্যের জন্য জিজ্ঞাসা করেছিলেন। তিনি কোনো ধারাকে বিপরীত করার জন্য সূত্র দেন, কিন্তু বলেন যে এই সূত্রগুলি ছাড়াও তাঁর কাছে এই ধরনের প্রশ্ন সমাধানের জন্য দুটি পদ্ধতি রয়েছে, যা বর্তমানে তিনি বর্ণনা করবেন না একটি অ্যানাগ্রাম ছাড়া, যা পড়লে এইরকম শোনায়, “Una methodus consistit in extractione fluentis quantitatis ex aequatione simul involvente fluxionem ejus: altera tantum in assumptione seriei pro quantitate qualibet incognita ex qua caetera commode derivari possunt, et in collatione terminorum homologorum aequationis resultantis, as eruendos terminos assumptae seriei.”

তিনি এই চিঠিতে ইঙ্গিত করেন যে তিনি তাঁর জিজ্ঞাসা করা প্রশ্ন এবং তাঁর তৈরি করা প্রতিটি নতুন বিষয় নিয়ে উত্থাপিত বিতর্ক নিয়ে চিন্তিত, যা প্রকাশ করে তাঁর “quod umbram captando eatenus perdideram quietem meam, rem prorsus substantialem” প্রকাশ করার বিষয়ে তাঁর তাড়াহুড়ো।

লাইবনিজ, তাঁর উত্তরে, ১677 সালের ২১শে জুন তারিখের, বক্ররেখাগুলিতে স্পর্শক আঁকার তাঁর পদ্ধতি ব্যাখ্যা করেন, যা তিনি বলেন “রেখার ফ্লুক্সন দ্বারা নয়, বরং সংখ্যার পার্থক্য দ্বারা” এগিয়ে যায়; এবং তিনি একটি বক্ররেখার দুটি ধারাবাহিক বিন্দুর স্থানাঙ্কের মধ্যে অসীম পার্থক্যগুলির জন্য dx এবং dy-এর তাঁর স্বরলিপি পেশ করেন। তিনি সেই সমস্যার একটি সমাধানও দেন যা একটি বক্ররেখা খুঁজে বের করতে পারে যার উপস্পর্শক ধ্রুবক, যা দেখায় যে তিনি একত্রিত করতে পারতেন।

১67৯ সালে রয়্যাল সোসাইটির অনুরোধে হুক নিউটনকে সোসাইটিতে আরও যোগাযোগ করার আশা প্রকাশ করে লেখেন এবং সেই সময়ে সম্প্রতি আবিষ্কৃত বিভিন্ন তথ্য জানান। নিউটন উত্তর দিয়েছিলেন যে তিনি দর্শনের অধ্যয়ন ত্যাগ করেছেন, কিন্তু তিনি যোগ করেন যে পৃথিবীর দৈনিক গতি একটি পাথরকে মাটি থেকে একটি উচ্চতা থেকে ফেলে দেওয়ার পরীক্ষা দ্বারা প্রমাণ করা যেতে পারে — একটি পরীক্ষা যা পরবর্তীতে সোসাইটি দ্বারা করা হয়েছিল এবং সফল হয়েছিল। হুক তাঁর চিঠিতে পিকার্ডের ভূ-গণিত গবেষণা উল্লেখ করেছেন; এই পিকার্ড পৃথিবীর ব্যাসার্ধের একটি মান ব্যবহার করেছিলেন যা মূলত সঠিক। এটি নিউটনকে চাঁদের কক্ষপথের উপর ১666 সালের তাঁর হিসাবগুলি পিকার্ডের ডেটা দিয়ে পুনরাবৃত্তি করতে পরিচালিত করে এবং এইভাবে তিনি তাঁর ধারণাটি যাচাই করেন যে মাধ্যাকর্ষণ চাঁদ পর্যন্ত বিস্তৃত এবং দূরত্বের বর্গের ব্যস্তানুপাতে পরিবর্তিত হয়। তারপর তিনি একটি কেন্দ্রমুখী শক্তির অধীনে একটি কণার গতির সাধারণ তত্ত্ব বিবেচনা করতে এগিয়ে যান, অর্থাৎ, একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর দিকে পরিচালিত, এবং দেখিয়েছিলেন যে ভেক্টরটি সমান সময়ে সমান ক্ষেত্রফল অতিক্রম করবে। তিনি আরও প্রমাণ করেন যে, যদি একটি কণা একটি ফোকাসে কেন্দ্রমুখী শক্তির অধীনে একটি উপবৃত্ত বর্ণনা করে, তাহলে নিয়মটি অবশ্যই ফোকাস থেকে দূরত্বের বর্গের ব্যস্তানুপাত হতে হবে এবং বিপরীতভাবে, সেই ধরনের শক্তির প্রভাবে নিক্ষিপ্ত একটি কণার কক্ষপথ একটি কোণিক হবে (বা, তিনি সম্ভবত শুধুমাত্র একটি উপবৃত্ত ভেবেছিলেন)। বৈজ্ঞানিক বিতর্কে তাঁকে ফেলতে পারে এমন কিছু প্রকাশ করার তাঁর নিয়ম মেনে চলে এই ফলাফলগুলি তাঁর নোটবুকে লক করা ছিল এবং পাঁচ বছর পর তাঁর কাছে একটি নির্দিষ্ট প্রশ্ন করা হয়েছিল যা তাঁদের প্রকাশের দিকে পরিচালিত করে।

ইউনিভার্সাল এরিথমেটিক , যা বীজগণিত, সমীকরণের তত্ত্ব এবং বিবিধ সমস্যাগুলির উপর, ১673 থেকে ১683 সাল পর্যন্ত নিউটনের বক্তৃতার সারমর্ম ধারণ করে। এর পান্ডুলিপি এখনও বিদ্যমান; হুইস্টন নিউটনের কাছ থেকে এটি মুদ্রণের জন্য কিছুটা অনিচ্ছা নিয়ে অনুমতি আদায় করেন এবং ১707 সালে এটি প্রকাশিত হয়। বীজগণিত এবং সমীকরণের তত্ত্বে বিভিন্ন বিষয়ে বেশ কয়েকটি নতুন উপপাদ্যের মধ্যে নিউটন এখানে নিম্নলিখিত গুরুত্বপূর্ণ ফলাফলগুলি ঘোষণা করেন। তিনি ব্যাখ্যা করেন যে যে সমীকরণের মূলগুলি একটি প্রদত্ত সমস্যার সমাধান, তার ততগুলি মূল থাকবে যতগুলি ভিন্ন সম্ভাব্য ক্ষেত্র রয়েছে; এবং তিনি বিবেচনা করেন যে কীভাবে সমস্যাটির দিকে পরিচালিত সমীকরণে এমন মূল থাকতে পারে যা মূল প্রশ্নটিকে সন্তুষ্ট করে না। তিনি কাল্পনিক মূলের সংখ্যার সীমা দেওয়ার জন্য চিহ্নের দেকার্তের নিয়ম প্রসারিত করেন। তিনি জ্যামিতিক বিবেচনা দ্বারা এটি চিত্রিত করে, কীভাবে দুটি বাস্তব এবং অসম মূল সমতার মধ্য দিয়ে যাওয়ার সময় কাল্পনিক হয়ে উঠতে পারে তা ব্যাখ্যা করার জন্য ধারাবাহিকতার নীতি ব্যবহার করেন; সেখান থেকে তিনি দেখান যে কাল্পনিক মূলগুলি অবশ্যই জোড়ায় জোড়ায় ঘটবে। নিউটন এখানে একটি সংখ্যাসূচক সমীকরণের ধনাত্মক মূলের উচ্চতর সীমা খুঁজে বের করার এবং সংখ্যাসূচক মূলের আনুমানিক মান নির্ধারণের নিয়মও দেন। তিনি আরও একটি সমীকরণের মূলের n-তম ঘাতের যোগফল খুঁজে বের করার জন্য তাঁর নামে পরিচিত উপপাদ্যটি ঘোষণা করেন এবং একটি সমীকরণের মূলের প্রতিসম ফাংশনের তত্ত্বের ভিত্তি স্থাপন করেন।

কাজটিতে থাকা সবচেয়ে আকর্ষণীয় উপপাদ্যটি হল একটি নিয়ম খুঁজে বের করার তাঁর প্রচেষ্টা (বাস্তব মূলের জন্য দেকার্তের অনুরূপ) যার দ্বারা একটি সমীকরণের কাল্পনিক মূলের সংখ্যা নির্ধারণ করা যেতে পারে। তিনি জানতেন যে তিনি যে ফলাফলটি পেয়েছিলেন তা সর্বজনীনভাবে সত্য নয়, তবে তিনি কোনো প্রমাণ দেননি এবং নিয়মের ব্যতিক্রমগুলি কী ছিল তা ব্যাখ্যা করেননি। তাঁর উপপাদ্যটি নিম্নরূপ। ধরুন সমীকরণটি x-এর হ্রাসমান ঘাতে সাজানো n-তম মাত্রার (xn-এর সহগ ধনাত্মক), এবং ধরুন n + 1 ভগ্নাংশ
গঠিত হয়েছে এবং সমীকরণের সংশ্লিষ্ট পদের নিচে লেখা হয়েছে, তাহলে, যদি কোনো পদের বর্গক্ষেত্রকে সংশ্লিষ্ট ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করা হয় তবে তার উভয় পাশের পদগুলির গুণফলের চেয়ে বড় হয়, তবে তার উপরে একটি যোগ চিহ্ন দিন: অন্যথায় তার উপরে একটি বিয়োগ চিহ্ন দিন এবং প্রথম এবং শেষ পদের উপরে একটি যোগ চিহ্ন দিন। এখন মূল সমীকরণে যেকোনো দুটি ধারাবাহিক পদ এবং তাদের উপরে লেখা দুটি প্রতীক বিবেচনা করুন। তাহলে আমাদের নিম্নলিখিত চারটি ক্ষেত্রের যেকোনো একটি থাকতে পারে: (α) একই চিহ্নের পদ এবং একই চিহ্নের প্রতীক; (β) একই চিহ্নের পদ এবং বিপরীত চিহ্নের প্রতীক; (γ) বিপরীত চিহ্নের পদ এবং একই চিহ্নের প্রতীক; (δ) বিপরীত চিহ্নের পদ এবং বিপরীত চিহ্নের প্রতীক। তারপর দেখানো হয়েছে যে ঋণাত্মক মূলের সংখ্যা α ক্ষেত্রের সংখ্যার বেশি হবে না এবং ধনাত্মক মূলের সংখ্যা γ ক্ষেত্রের সংখ্যার বেশি হবে না; এবং সেই কারণে কাল্পনিক মূলের সংখ্যা β এবং δ ক্ষেত্রের সংখ্যার চেয়ে কম নয়। অন্য কথায় সমীকরণের উপরে লেখা প্রতীকগুলির সারিতে চিহ্নের পরিবর্তনের সংখ্যা কাল্পনিক মূলের সংখ্যার একটি নিকৃষ্ট সীমা। নিউটন, তবে, জোর দিয়েছিলেন যে “আপনি প্রায় জানতে পারেন কতগুলি মূল অসম্ভব” উপরের মতো গঠিত প্রতীকগুলির সারিতে চিহ্নের পরিবর্তন গণনা করে। অর্থাৎ, তিনি মনে করেছিলেন যে সাধারণভাবে ইতিবাচক, নেতিবাচক এবং কাল্পনিক মূলের প্রকৃত সংখ্যা নিয়ম দ্বারা পাওয়া যেতে পারে এবং এই সংখ্যাগুলির কেবল উচ্চ বা নিকৃষ্ট সীমা নয়। কিন্তু যদিও তিনি জানতেন যে নিয়মটি সর্বজনীন ছিল না, তিনি খুঁজে বের করতে পারেননি (বা কোনো ক্ষেত্রে উল্লেখ করেননি) এর ব্যতিক্রমগুলি কী ছিল: এই সমস্যাটি পরবর্তীতে ক্যাম্পবেল, ম্যাকলরিন, ইউলার এবং অন্যান্য লেখকদের দ্বারা আলোচনা করা হয়েছিল; অবশেষে ১৮৬৫ সালে সিলভেস্টার সাধারণ ফলাফল প্রমাণ করতে সফল হন।

আগস্ট ১68৪ সালে, হ্যালি মহাকর্ষের নিয়ম সম্পর্কে নিউটনের সাথে পরামর্শ করার জন্য কেমব্রিজে এসেছিলেন। হুক, হাইগেনস, হ্যালি এবং রেন সবাই অনুমান করেছিলেন যে একটি বাহ্যিক কণার উপর সূর্যের বা পৃথিবীর আকর্ষণের শক্তি দূরত্বের বর্গের ব্যস্তানুপাতে পরিবর্তিত হয়। এই লেখকরা সম্ভবত স্বাধীনভাবে দেখিয়েছেন যে, যদি কেপলারের সিদ্ধান্তগুলি কঠোরভাবে সত্য হয়, যা নিয়ে তাঁরা সম্পূর্ণ নিশ্চিত ছিলেন না, তবে আকর্ষণের নিয়মটি অবশ্যই ব্যস্ত বর্গক্ষেত্র হতে হবে। সম্ভবত তাঁদের যুক্তি ছিল এইরকম। যদি v একটি গ্রহের বেগ হয়, r তার কক্ষপথের ব্যাসার্ধকে একটি বৃত্ত হিসাবে নেওয়া হয় এবং T তার পর্যায়কাল হয়, তাহলে v = ২π r/T । কিন্তু, যদি f বৃত্তের কেন্দ্রে ত্বরণ হয়, তাহলে আমাদের f = ৪π² r/T ² এখন, কেপলারের তৃতীয় সূত্র অনুসারে, T ² r ³ হিসাবে পরিবর্তিত হয়; সুতরাং f ব্যস্তানুপাতে r ² হিসাবে পরিবর্তিত হয়। তবে, তাঁরা নিয়ম থেকে গ্রহগুলির কক্ষপথ বের করতে পারেননি। হ্যালি ব্যাখ্যা করেছিলেন যে এই সমস্যাটি সমাধান করতে না পারার কারণে তাঁদের তদন্ত বন্ধ হয়ে গিয়েছিল এবং নিউটনকে জিজ্ঞাসা করেছিলেন যে আকর্ষণের নিয়মটি যদি ব্যস্ত বর্গক্ষেত্র হয় তবে তিনি একটি গ্রহের কক্ষপথ খুঁজে বের করতে পারবেন কিনা। নিউটন অবিলম্বে উত্তর দিয়েছিলেন যে এটি একটি উপবৃত্ত এবং তিনি ১67৯ সালে খুঁজে পাওয়া এটির প্রমাণটি আবার পাঠাতে বা লিখতে রাজি হয়েছিলেন। এটি ১68৪ সালের নভেম্বরে পাঠানো হয়েছিল।

হ্যালির প্ররোচনায়, নিউটন এখন মহাকর্ষের সমস্যাটিতে ফিরে আসেন; এবং ১68৪ সালের শরতের আগে, তিনি প্রিন্সিপিয়ার প্রথম বইয়ের প্রস্তাবনা ১-১৯, ২১, ৩০, ৩২-৩৫-এর বিষয়বস্তু তৈরি করেছিলেন। এগুলি গতির নিয়ম এবং বিভিন্ন লেমার উপর নোট সহ, ১68৪ সালের মাইকেলমাস টার্মে তাঁর বক্তৃতার জন্য পাঠ করা হয়েছিল।

নভেম্বরে হ্যালি নিউটনের প্রতিশ্রুত যোগাযোগ পান, যা সম্ভবত প্রস্তাবনা ১, ১১ এবং প্রস্তাবনা ১৭ বা প্রস্তাবনা ১৩-এর প্রথম কোরোলারি নিয়ে গঠিত ছিল; এর পরে হ্যালি আবার কেমব্রিজে যান, যেখানে তিনি “একটি কৌতূহলোদ্দীপক প্রবন্ধ, De Motu , আগস্ট মাস থেকে তৈরি” দেখেন। সম্ভবত এতে উপরে উল্লিখিত বক্তৃতাগুলির নিউটনের পান্ডুলিপি নোট ছিল: এই নোটগুলি এখন বিশ্ববিদ্যালয় লাইব্রেরিতে রয়েছে এবং এর শিরোনাম “De Motu Corporum।” হ্যালি অনুরোধ করেছিলেন যে ফলাফলগুলি প্রকাশ করা হোক এবং অবশেষে একটি প্রতিশ্রুতি আদায় করেন যে সেগুলি রয়্যাল সোসাইটিতে পাঠানো হবে: সেই অনুযায়ী সেগুলি ১68৫ সালের ফেব্রুয়ারির মধ্যে সোসাইটিতে জানানো হয়েছিল, De Motu নামক পেপারে, যা প্রিন্সিপিয়ার নিম্নলিখিত প্রস্তাবনাগুলির বিষয়বস্তু ধারণ করে, বই I, props. ১, ৪, ৬, ৭, ১০, ১১, ১৫, ১৭, ৩২; বই II, props. ২,৩,৪।

মনে হয় ১68৪ সালের নভেম্বরে তাঁর পরিদর্শনের সময় হ্যালির প্রভাব এবং কৌশলের কারণে নিউটন মহাকর্ষের পুরো সমস্যাটি মোকাবেলা করতে রাজি হয়েছিলেন এবং কার্যত তাঁর ফলাফলগুলি প্রকাশ করার প্রতিশ্রুতি দিয়েছিলেন: এগুলি প্রিন্সিপিয়া-তে রয়েছে। এখনো নিউটন একটি বাহ্যিক বিন্দুতে একটি গোলাকার দেহের আকর্ষণ নির্ধারণ করেননি, এমনকি সৌরজগতের সদস্যগণকে বিন্দু হিসাবে বিবেচনা করা গেলেও তিনি গ্রহীয় গতির বিস্তারিত হিসাব করেননি। প্রথম সমস্যাটি ১68৫ সালে সমাধান করা হয়েছিল, সম্ভবত জানুয়ারি বা ফেব্রুয়ারিতে। “প্রকাশনার দ্বিশতবার্ষিকী উপলক্ষে ডক্টর গ্লেইশারের ভাষণ থেকে উদ্ধৃত করে, প্রিন্সিপিয়া-র, “নিউটনের এই দুর্দান্ত উপপাদ্যটি প্রমাণ করার সঙ্গে সঙ্গেই — এবং আমরা তাঁর নিজের কথা থেকে জানি যে তাঁর গাণিতিক তদন্ত থেকে এটি উদ্ভূত না হওয়া পর্যন্ত তাঁর এত সুন্দর ফলাফলের কোনো প্রত্যাশা ছিল না — মহাবিশ্বের সমস্ত প্রক্রিয়া তাঁর সামনে উন্মোচিত হয়েছিল। যখন তিনি বই I-এর প্রথম তিনটি অংশ তৈরি করেন, যখন তিনি ১68৪ সালের তাঁর বক্তৃতায় সেগুলি দেন, তখন তিনি অবগত ছিলেন না যে সূর্য এবং পৃথিবী এমনভাবে আকর্ষণ করে যেন তারা কেবল বিন্দু। এই প্রস্তাবনাগুলি নিউটনের চোখে কতটা আলাদা মনে হয়েছিল যখন তিনি বুঝতে পেরেছিলেন যে এই ফলাফলগুলি, যা তিনি সৌরজগতের ক্ষেত্রে শুধুমাত্র প্রায় সঠিক বলে মনে করেছিলেন, সেগুলি সত্যিই সঠিক! এতদিন পর্যন্ত তারা কেবল তখনই সত্য ছিল যখন তিনি গ্রহগুলির দূরত্বের তুলনায় সূর্যকে একটি বিন্দু হিসাবে বিবেচনা করতে পারতেন, অথবা চাঁদের দূরত্বের তুলনায় পৃথিবীকে একটি বিন্দু হিসাবে বিবেচনা করতে পারতেন — একটি দূরত্ব যা পৃথিবীর ব্যাসার্ধের প্রায় ষাট গুণ — কিন্তু এখন তারা গাণিতিকভাবে সত্য ছিল, সূর্য, পৃথিবী এবং গ্রহগুলির একটি নিখুঁত গোলাকার আকার থেকে সামান্য বিচ্যুতি ছাড়া। আমরা কল্পনা করতে পারি যে এই হঠাৎ পরিবর্তনটি আনুমানিকতা থেকে নির্ভুলতার দিকে নিউটনের মনকে আরও বৃহত্তর প্রচেষ্টার জন্য উদ্দীপিত করেছিল। এখন তাঁর পক্ষে জ্যোতির্বিদ্যার প্রকৃত সমস্যাগুলির জন্য পরম নির্ভুলতার সাথে গাণিতিক বিশ্লেষণ প্রয়োগ করা সম্ভব ছিল।”

প্রিন্সিপিয়া-তে প্রয়োগ করা তিনটি মৌলিক নীতির মধ্যে আমরা বলতে পারি যে মহাবিশ্বের প্রতিটি কণা অন্য প্রতিটি কণাকে আকর্ষণ করে এই ধারণাটি কমপক্ষে ১666 সালের প্রথম দিকে গঠিত হয়েছিল; সমান ক্ষেত্রফলের বর্ণনা, এর ফলাফল এবং আকর্ষণের নিয়মটি যদি ব্যস্ত বর্গক্ষেত্র হয় তবে একটি কেন্দ্রবিন্দু সম্পর্কে একটি কণার কক্ষপথ একটি কোণিক হবে এই সত্যটি ১67৯ সালে প্রমাণিত হয়েছিল; এবং সবশেষে, এই আবিষ্কার যে একটি গোলক, যার ঘনত্ব কোনো বিন্দুতে কেন্দ্র থেকে দূরত্বের উপর নির্ভর করে, একটি বাহ্যিক বিন্দুকে আকর্ষণ করে যেন পুরো ভরটি তার কেন্দ্রে সংগ্রহ করা হয়েছে, ১68৫ সালে করা হয়েছিল। এই শেষ আবিষ্কারটি তাঁকে সসীম আকারের দেহের ঘটনাগুলির জন্য প্রথম দুটি নীতি প্রয়োগ করতে সক্ষম করে।

প্রিন্সিপিয়ার প্রথম বইটির খসড়া ১68৫ সালের গ্রীষ্মের আগে শেষ হয়েছিল, কিন্তু সংশোধন এবং সংযোজন করতে কিছু সময় লেগেছিল এবং বইটি ১68৬ সালের ২৮শে এপ্রিল পর্যন্ত রয়্যাল সোসাইটিতে পেশ করা হয়নি। এই বইটি হয় পরিচিত কক্ষপথে বা পরিচিত শক্তির অধীনে বা তাদের পারস্পরিক আকর্ষণের অধীনে মুক্ত স্থানে কণা বা দেহের গতির বিবেচনার জন্য উৎসর্গীকৃত; এবং বিশেষ করে ব্যাঘাত সৃষ্টিকারী শক্তির প্রভাবগুলি কীভাবে গণনা করা যেতে পারে তা নির্দেশ করার জন্য। এতে নিউটন আকর্ষণের নিয়মকে এমন একটি বিবৃতিতে সাধারণ করেন যে মহাবিশ্বের পদার্থের প্রতিটি কণা অন্য প্রতিটি কণাকে একটি শক্তি দিয়ে আকর্ষণ করে যা তাদের ভরের গুণফলের সাথে সরাসরি পরিবর্তিত হয় এবং তাদের মধ্যে দূরত্বের বর্গের ব্যস্তানুপাতে পরিবর্তিত হয়; এবং তিনি সেখান থেকে ধ্রুব ঘনত্বের গোলাকার খোলসের জন্য আকর্ষণের নিয়ম বের করেন। বইটির শুরুতে গতিবিদ্যার বিজ্ঞান সম্পর্কিত একটি ভূমিকা রয়েছে, যা গাণিতিক তদন্তের সীমা সংজ্ঞায়িত করে। তিনি বলেন, তাঁর উদ্দেশ্য হল প্রকৃতির ঘটনাগুলির জন্য গণিত প্রয়োগ করা; এই ঘটনাগুলির মধ্যে গতি সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ একটি; এখন গতি হল শক্তির ফল, এবং, যদিও তিনি জানেন না শক্তির প্রকৃতি বা উৎপত্তি কী, তবুও এর অনেক প্রভাব পরিমাপ করা যেতে পারে; এবং এগুলিই কাজের বিষয়বস্তু তৈরি করে।

প্রিন্সিপিয়ার দ্বিতীয় বইটি ১68৫ সালের গ্রীষ্মের মধ্যে সম্পন্ন হয়েছিল।