Para matematikawan yang dibahas dalam bab terakhir memulai penciptaan proses-proses yang membedakan matematika modern. Kemampuan luar biasa Newton memungkinkannya dalam beberapa tahun untuk menyempurnakan proses-proses yang lebih mendasar, dan untuk memajukan dengan jelas setiap cabang ilmu matematika yang kemudian dipelajari, serta menciptakan beberapa subjek baru. Newton adalah teman dan sezaman Wallis, Huygens, dan lainnya yang disebutkan dalam bab terakhir, tetapi meskipun sebagian besar karya matematikanya dilakukan antara tahun 1665 dan 1686, sebagian besar tidak dicetak — setidaknya dalam bentuk buku — sampai beberapa tahun kemudian.
Saya bermaksud untuk membahas karya-karya Newton lebih lengkap daripada matematikawan lainnya, sebagian karena pentingnya penemuan-penemuannya, dan sebagian karena buku ini terutama ditujukan untuk pembaca Inggris, dan perkembangan matematika di Inggris Raya selama satu abad sepenuhnya berada di tangan aliran Newtonian.
Isaac Newton lahir di Lincolnshire, dekat Grantham, pada tanggal 25 Desember 1642, dan meninggal di Kensington, London, pada tanggal 20 Maret 1727. Ia dididik di Trinity College, Cambridge, dan tinggal di sana dari tahun 1661 hingga 1696, selama waktu itu ia menghasilkan sebagian besar karyanya dalam matematika; pada tahun 1696 ia diangkat ke jabatan Pemerintah yang berharga, dan pindah ke London, tempat ia tinggal sampai kematiannya.
Ayahnya, yang meninggal tak lama sebelum Newton lahir, adalah seorang petani yeoman, dan Newton dimaksudkan untuk melanjutkan pertanian ayahnya. Ia dikirim ke sekolah di Grantham, di mana pembelajaran dan keahlian mekaniknya menarik perhatian. Pada tahun 1656 ia kembali ke rumah untuk mempelajari bisnis seorang petani, tetapi menghabiskan sebagian besar waktunya untuk memecahkan masalah, melakukan eksperimen, atau merancang model mekanik; ibunya memperhatikan hal ini, dengan bijaksana memutuskan untuk menemukan pekerjaan yang lebih cocok untuknya, dan pamannya, yang telah dididik di Trinity College, Cambridge, merekomendasikan agar ia dikirim ke sana.
Pada tahun 1661 Newton kemudian masuk sebagai mahasiswa di Cambridge, di mana untuk pertama kalinya ia menemukan dirinya di antara lingkungan yang kemungkinan akan mengembangkan kekuatannya. Namun, ia tampaknya hanya memiliki sedikit minat pada masyarakat umum atau untuk pengejaran apa pun kecuali sains dan matematika. Untungnya ia menyimpan buku harian, dan dengan demikian kita dapat membentuk gagasan yang adil tentang jalannya pendidikan siswa paling maju di sebuah universitas Inggris pada waktu itu. Ia belum membaca matematika apa pun sebelum masuk, tetapi akrab dengan Logika Sanderson, yang kemudian sering dibaca sebagai pendahuluan untuk matematika. Pada awal masa jabatan Oktober pertamanya, ia kebetulan berjalan-jalan ke Stourbridge Fair, dan di sana mengambil sebuah buku tentang astrologi, tetapi tidak dapat memahaminya karena geometri dan trigonometri. Karena itu ia membeli sebuah Euclid, dan terkejut menemukan betapa jelasnya proposisi itu tampak. Ia kemudian membaca Clavis Oughtred dan Géométrie Descartes, yang terakhir ia berhasil kuasai sendiri, meskipun dengan beberapa kesulitan. Minat yang ia rasakan dalam subjek tersebut membuatnya mengambil matematika daripada kimia sebagai studi yang serius. Bacaan matematikanya selanjutnya sebagai mahasiswa sarjana didasarkan pada Optik Kepler, karya Vieta, Miscellanies van Schooten, Géométrie Descartes, dan Arithmetica Infinitorum Wallis: ia juga menghadiri kuliah Barrow. Di kemudian hari, setelah membaca Euclid lebih hati-hati, ia membentuk pendapat yang tinggi tentangnya sebagai instrumen pendidikan, dan ia biasa mengungkapkan penyesalannya bahwa ia belum menerapkan dirinya pada geometri sebelum melanjutkan ke analisis aljabar.
Ada sebuah manuskripnya, bertanggal 28 Mei 1665, ditulis pada tahun yang sama ketika ia meraih gelar B.A., yang merupakan bukti dokumenter paling awal dari penemuannya tentang fluksion. Sekitar waktu yang sama ia menemukan teorema binomial.
Karena wabah, Perguruan Tinggi diturunkan selama bagian tahun 1665 dan 1666, dan selama beberapa bulan pada saat ini Newton tinggal di rumah. Periode ini dipenuhi dengan penemuan-penemuan brilian. Ia memikirkan prinsip-prinsip dasar teori gravitasinya, yaitu, bahwa setiap partikel materi menarik setiap partikel lainnya, dan ia menduga bahwa tarikan bervariasi sebagai hasil kali massa mereka dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak di antara mereka. Ia juga mengerjakan kalkulus fluksional secara cukup lengkap: ini dalam sebuah manuskrip bertanggal 13 November 1665, ia menggunakan fluksion untuk menemukan garis singgung dan jari-jari kelengkungan pada titik mana pun pada sebuah kurva, dan pada Oktober 1666 ia menerapkannya pada beberapa masalah dalam teori persamaan. Newton mengkomunikasikan hasil ini kepada teman-teman dan murid-muridnya dari dan setelah tahun 1669, tetapi mereka tidak diterbitkan dalam bentuk cetak sampai bertahun-tahun kemudian. Juga saat tinggal di rumah pada saat ini ia merancang beberapa instrumen untuk menggiling lensa ke bentuk tertentu selain bentuk bola, dan mungkin ia menguraikan cahaya matahari menjadi warna yang berbeda.
Dengan meninggalkan detail dan hanya mengambil angka bulat, penalaran pada saat ini tentang teori gravitasi tampaknya adalah sebagai berikut. Ia menduga bahwa gaya yang menahan bulan di orbitnya mengelilingi bumi adalah sama dengan gravitasi terestrial, dan untuk memverifikasi hipotesis ini ia melanjutkan demikian. Ia tahu bahwa, jika sebuah batu dibiarkan jatuh di dekat permukaan bumi, tarikan bumi (yaitu, berat batu) menyebabkannya bergerak sejauh 16 kaki dalam satu detik. Orbit bulan relatif terhadap bumi hampir merupakan lingkaran; dan sebagai perkiraan kasar, menganggapnya demikian, ia tahu jarak bulan, dan oleh karena itu panjang lintasannya; ia juga tahu bahwa waktu yang dibutuhkan bulan untuk mengelilinginya sekali, yaitu, sebulan.
Karena itu ia dapat dengan mudah menemukan kecepatannya pada titik mana pun seperti M. Karena itu ia dapat menemukan jarak MT yang akan ditempuhnya dalam detik berikutnya jika tidak ditarik oleh tarikan bumi. Pada akhir detik itu ia berada di M', dan oleh karena itu bumi E harus menariknya melalui jarak TM' dalam satu detik (dengan asumsi arah tarikan bumi konstan). Sekarang ia dan beberapa fisikawan pada saat itu telah menduga dari hukum ketiga Kepler bahwa tarikan bumi pada sebuah benda akan ditemukan berkurang ketika benda itu dipindahkan lebih jauh dari bumi berbanding terbalik dengan kuadrat jarak dari pusat bumi; jika ini adalah hukum yang sebenarnya, dan jika gravitasi adalah satu-satunya gaya yang menahan bulan di orbitnya, maka TM' harus menjadi 16 kaki berbanding terbalik dengan kuadrat jarak bulan dari pusat bumi ke kuadrat jari-jari bumi. Pada tahun 1679, ketika ia mengulangi penyelidikan, TM' ditemukan memiliki nilai yang diperlukan oleh hipotesis, dan verifikasi selesai; tetapi pada tahun 1666 perkiraannya tentang jarak bulan tidak akurat, dan ketika ia membuat perhitungan ia menemukan bahwa TM' sekitar seperdelapan kurang dari yang seharusnya berdasarkan hipotesisnya.
Perbedaan ini tampaknya tidak menggoyahkan keyakinannya pada keyakinan bahwa gravitasi meluas sejauh bulan dan bervariasi berbanding terbalik dengan kuadrat jarak; tetapi dari catatan Whiston tentang percakapan dengan Newton, tampaknya Newton menyimpulkan bahwa beberapa gaya lain — mungkin pusaran Descartes — bekerja pada bulan serta gravitasi. Pernyataan ini dikonfirmasi oleh catatan Pemberton tentang penyelidikan tersebut. Terlebih lagi, tampaknya Newton sudah percaya teguh pada prinsip gravitasi universal, yaitu, bahwa setiap partikel materi menarik setiap partikel lainnya, dan menduga bahwa tarikan bervariasi sebagai hasil kali massa mereka dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak di antara mereka; tetapi pasti bahwa ia kemudian tidak tahu apa yang akan menjadi tarikan massa bola pada titik eksternal mana pun, dan tidak menganggapnya mungkin bahwa sebuah partikel akan tertarik oleh bumi seolah-olah yang terakhir terkonsentrasi menjadi satu partikel di pusatnya.
Sekembalinya ke Cambridge pada tahun 1667 Newton terpilih menjadi anggota di perguruannya, dan secara permanen menempati kediamannya di sana. Pada awal tahun 1669, atau mungkin pada tahun 1668, ia merevisi kuliah Barrow untuknya. Akhir dari kuliah keempat belas diketahui telah ditulis oleh Newton, tetapi berapa banyak sisanya yang disebabkan oleh sarannya sekarang tidak dapat ditentukan. Segera setelah ini selesai ia diminta oleh Barrow dan Collins untuk mengedit dan menambahkan catatan ke terjemahan Aljabar Kinckhuysen; ia setuju untuk melakukan ini, tetapi dengan syarat bahwa namanya tidak boleh muncul dalam masalah tersebut. Pada tahun 1670 ia juga memulai paparan sistematis tentang analisisnya dengan deret tak hingga, yang tujuannya adalah untuk mengekspresikan ordinat sebuah kurva dalam deret aljabar tak hingga setiap suku yang dapat diintegrasikan dengan aturan Wallis; hasil-hasilnya tentang subjek ini telah dikomunikasikan kepada Barrow, Collins, dan lainnya pada tahun 1669. Ini tidak pernah selesai: fragmen itu diterbitkan pada tahun 1711, tetapi intinya telah dicetak sebagai lampiran untuk Optik pada tahun 1704. Karya-karya ini hanyalah buah dari waktu luang Newton, sebagian besar waktunya selama dua tahun ini diberikan untuk penelitian optik.
Pada Oktober 1669, Barrow mengundurkan diri dari kursi Lucasian untuk mendukung Newton. Selama masa jabatannya sebagai profesor, adalah kebiasaan Newton untuk mengajar di depan umum sekali seminggu, selama setengah jam hingga satu jam setiap kali, dalam satu semester setiap tahun, mungkin mendikte kuliahnya secepat yang bisa diturunkan; dan pada minggu setelah kuliah untuk mencurahkan empat jam untuk janji temu yang ia berikan kepada siswa yang ingin datang ke kamarnya untuk membahas hasil kuliah sebelumnya. Ia tidak pernah mengulangi kursus, yang biasanya terdiri dari sembilan atau sepuluh kuliah, dan umumnya kuliah dari satu kursus dimulai dari titik di mana kursus sebelumnya telah berakhir. Manuskrip kuliahnya selama tujuh belas dari delapan belas tahun pertama masa jabatannya masih ada.
Ketika pertama kali diangkat Newton memilih optik untuk subjek kuliah dan penelitiannya, dan sebelum akhir tahun 1669 ia telah mengerjakan detail penemuannya tentang dekomposisi seberkas cahaya putih menjadi berkas warna yang berbeda dengan menggunakan prisma. Penjelasan lengkap tentang teori pelangi mengikuti dari penemuan ini. Penemuan-penemuan ini membentuk pokok bahasan dari kuliah yang ia sampaikan sebagai profesor Lucasian pada tahun 1669, 1670 dan 1671. Hasil-hasil baru utama diwujudkan dalam sebuah makalah yang dikomunikasikan kepada Royal Society pada Februari 1672, dan kemudian diterbitkan dalam Philosophical Transactions. Manuskrip kuliah aslinya dicetak pada tahun 1729 dengan judul Lectiones Opticae. Karya ini dibagi menjadi dua buku, yang pertama berisi empat bagian dan yang kedua lima. Bagian pertama dari buku pertama membahas dekomposisi cahaya matahari oleh prisma sebagai akibat dari refraksi yang tidak merata dari sinar yang menyusunnya, dan deskripsi tentang eksperimennya ditambahkan. Bagian kedua berisi catatan tentang metode yang ditemukan Newton untuk menentukan koefisien refraksi dari berbagai benda. Ini dilakukan dengan membuat seberkas melewati prisma dari bahan sehingga deviasi adalah minimum; dan ia membuktikan bahwa, jika sudut prisma adalah i dan deviasi sinar adalah δ, indeks bias akan menjadi sin ½ ( i + δ) cosec ½ i. Bagian ketiga adalah tentang refraksi pada permukaan bidang; di sini ia menunjukkan bahwa jika seberkas melewati prisma dengan deviasi minimum, sudut datang sama dengan sudut keluar; sebagian besar bagian ini dikhususkan untuk solusi geometris dari masalah yang berbeda. Bagian keempat berisi diskusi tentang refraksi pada permukaan melengkung. Buku kedua membahas tentang teori warna dan pelangi.
Dengan bab kecelakaan yang aneh Newton gagal memperbaiki aberasi kromatik dari dua warna dengan menggunakan beberapa prisma. Karena itu ia meninggalkan harapan untuk membuat teleskop refraksi yang harus akromatik, dan sebagai gantinya merancang teleskop refleksi, mungkin pada modal yang kecil yang telah ia buat pada tahun 1668. Bentuk yang ia gunakan adalah yang masih dikenal dengan namanya; idenya secara alami disarankan oleh teleskop Gregory. Pada tahun 1672 ia menemukan mikroskop refleksi, dan beberapa tahun kemudian ia menemukan sekstan yang ditemukan kembali oleh J. Hadley pada tahun 1731.
Kuliah profesinya dari tahun 1673 hingga 1683 adalah tentang aljabar dan teori persamaan, dan dijelaskan di bawah ini; tetapi sebagian besar waktunya selama tahun-tahun ini dihabiskan untuk penyelidikan lain, dan saya dapat mengamati bahwa sepanjang hidupnya Newton harus mencurahkan setidaknya perhatian sebanyak matematika untuk kimia dan teologi, meskipun kesimpulannya tidak cukup menarik untuk memerlukan penyebutan di sini. Teori warnanya dan deduksinya dari eksperimen optiknya pada awalnya diserang dengan semangat yang cukup besar. Korespondensi yang ditimbulkan hal ini pada Newton menghabiskan hampir semua waktu luangnya pada tahun 1672 hingga 1675, dan terbukti sangat tidak menyenangkan baginya. Menulis pada tanggal 9 Desember 1675, ia berkata, "Saya sangat dianiaya dengan diskusi yang timbul dari teori cahaya saya, sehingga saya menyalahkan kecerobohan saya sendiri karena berpisah dengan berkat yang begitu substansial seperti ketenangan saya untuk mengejar bayangan." Sekali lagi, pada tanggal 18 November 1676, ia mengamati, "Saya melihat saya telah menjadikan diri saya sebagai budak filsafat; tetapi jika saya menyingkirkan urusan Mr. Linus, saya akan dengan tegas mengucapkan selamat tinggal padanya selamanya, kecuali apa yang saya lakukan untuk kepuasan pribadi saya, atau biarkan keluar setelah saya; karena saya melihat seorang pria harus memutuskan untuk tidak mengeluarkan sesuatu yang baru, atau menjadi budak untuk membelanya." Ketidaksukaan yang tidak masuk akal untuk meragukan kesimpulannya atau terlibat dalam korespondensi apa pun tentang mereka adalah ciri khas dalam karakter Newton.
Newton sangat tertarik pada pertanyaan tentang bagaimana efek cahaya benar-benar dihasilkan, dan pada akhir tahun 1675 ia telah mengerjakan teori korpuskular atau emisi, dan telah menunjukkan bagaimana ia akan memperhitungkan semua berbagai fenomena optik geometris, seperti refleksi, refraksi, warna, difraksi, dll. Untuk melakukan ini, bagaimanapun, ia terpaksa menambahkan penunggang yang agak buatan, bahwa korpuskulnya memiliki pasang surut refleksi mudah dan refraksi mudah yang dikomunikasikan kepada mereka oleh eter yang memenuhi ruang. Teori ini sekarang diketahui tidak dapat dipertahankan, tetapi harus dicatat bahwa Newton mengemukakannya sebagai hipotesis dari mana hasil tertentu akan mengikuti: tampaknya ia percaya bahwa teori gelombang secara intrinsik lebih mungkin, tetapi kesulitan menjelaskan difraksi pada teori itulah yang membuatnya menyarankan hipotesis lain.
Teori korpuskular Newton diuraikan dalam memoar yang dikomunikasikan kepada Royal Society pada Desember 1675, yang secara substansial direproduksi dalam Optiknya, yang diterbitkan pada tahun 1704. Dalam karya terakhir ia membahas secara rinci teorinya tentang pasang surut refleksi dan transmisi yang mudah, dan warna pelat tipis, yang ia tambahkan penjelasan tentang warna pelat tebal [bk. II, bagian 4] dan pengamatan tentang infleksi cahaya [bk. III].
Dua surat yang ditulis oleh Newton pada tahun 1676 cukup menarik untuk membenarkan sebuah singgungan kepada mereka. Leibnitz, yang telah berada di London pada tahun 1673, telah mengkomunikasikan beberapa hasil kepada Royal Society yang ia duga baru, tetapi yang telah ditunjukkan kepadanya sebelumnya telah dibuktikan oleh Mouton. Hal ini menyebabkan korespondensi dengan Oldenburg, sekretaris Masyarakat. Pada tahun 1674 Leibnitz menulis mengatakan bahwa ia memiliki "metode analitis umum yang bergantung pada deret tak hingga." Oldenburg, sebagai balasan, memberitahunya bahwa Newton dan Gregory telah menggunakan deret tersebut dalam karya mereka. Sebagai jawaban atas permintaan informasi, Newton menulis pada tanggal 13 Juni 1676, memberikan penjelasan singkat tentang metodenya, tetapi menambahkan ekspansi binomial (yaitu, teorema binomial) dan sin -1 x; dari yang terakhir ia menyimpulkan bahwa sin x: ini tampaknya menjadi contoh paling awal yang diketahui dari pembalikan deret. Ia juga memasukkan ekspresi untuk perbaikan busur elips dalam deret tak hingga.
Leibnitz menulis pada tanggal 27 Agustus meminta detail yang lebih lengkap; dan Newton dalam balasan yang panjang tetapi menarik, bertanggal 34 Oktober 1676, dan dikirim melalui Oldenburg, memberikan penjelasan tentang cara ia telah dipimpin ke beberapa hasilnya.
Dalam surat ini Newton memulai dengan mengatakan bahwa secara keseluruhan ia telah menggunakan tiga metode untuk ekspansi dalam deret. Yang pertama tiba dari studi metode interpolasi di mana Wallis telah menemukan ekspresi untuk luas lingkaran dan hiperbola. Dengan demikian, dengan mempertimbangkan deret ekspresi (1— x 2 ) 0/2 , (1— x 2 ) 2/2 , (1— x 2 ) 4/2 , ..., ia menyimpulkan dengan interpolasi hukum yang menghubungkan koefisien berturut-turut dalam ekspansi (1— x 2 ) 1/2 , (1— x 2 ) 3/2 , ...; dan kemudian dengan analogi memperoleh ekspresi untuk suku umum dalam ekspansi binomial, yaitu, teorema binomial. Ia mengatakan bahwa ia melanjutkan untuk menguji ini dengan membentuk kuadrat dari ekspansi (1— x 2 ) 1/2 , yang direduksi menjadi 1—x²; dan ia melanjutkan dengan cara yang sama dengan ekspansi lainnya. Ia selanjutnya menguji teorema dalam kasus (1— x 2 ) 1/2 dengan mengekstraksi akar kuadrat dari 1— x ², lebih arithmetico. Ia juga menggunakan deret untuk menentukan luas lingkaran dan hiperbola dalam deret tak hingga, dan ia menemukan bahwa hasilnya sama dengan yang telah ia capai dengan cara lain.
Setelah menetapkan hasil ini, ia kemudian membuang metode interpolasi dalam deret, dan menggunakan teorema binomialnya untuk mengekspresikan (jika memungkinkan) ordinat sebuah kurva dalam deret tak hingga dalam pangkat yang naik dari absis, dan dengan demikian dengan metode Wallis ia memperoleh ekspresi dalam deret tak hingga untuk luas dan busur kurva dengan cara yang dijelaskan dalam lampiran untuk Optiknya dan dalam De Analysi per Equationes Numero Terminorum Infinitas. Ia menyatakan bahwa ia telah menggunakan metode kedua ini sebelum wabah pada tahun 1665-66, dan melanjutkan untuk mengatakan bahwa ia kemudian terpaksa meninggalkan Cambridge, dan kemudian (mungkin setelah kembali ke Cambridge) ia berhenti mengejar ide-ide ini, karena ia menemukan bahwa Nicholas Mercator telah menggunakan beberapa dari mereka dalam Logarithmo-technica-nya, yang diterbitkan pada tahun 1668; dan ia menganggap bahwa sisanya telah atau akan ditemukan sebelum ia sendiri kemungkinan akan menerbitkan penemuannya.
Newton selanjutnya menjelaskan bahwa ia juga memiliki metode ketiga, yang (katanya) sekitar tahun 1669 ia telah mengirimkan sebuah catatan kepada Barrow dan Collins, yang diilustrasikan oleh aplikasi ke area, perbaikan, kubatur, dll. Ini adalah metode fluksion; tetapi Newton tidak memberikan deskripsi tentangnya di sini, meskipun ia menambahkan beberapa ilustrasi tentang penggunaannya. Ilustrasi pertama adalah pada kuadratur kurva yang diwakili oleh persamaan
y = ax m ( b + cx n ) p,
yang ia katakan dapat dilakukan sebagai jumlah dari ( m + 1)/ n suku jika ( m + 1)/ n menjadi bilangan bulat positif, dan yang ia pikir tidak dapat dilakukan kecuali dengan deret tak hingga. [Ini tidak demikian, integrasi dimungkinkan jika p + ( m + 1)/ n menjadi bilangan bulat.] Ia juga memberikan daftar bentuk lain yang langsung dapat diintegrasikan, yang utamanya adalah
, , , , ;
di mana m adalah bilangan bulat positif dan n adalah bilangan apa pun. Terakhir, ia menunjukkan bahwa luas kurva apa pun dapat dengan mudah ditentukan secara kasar dengan metode interpolasi yang dijelaskan di bawah ini dalam membahas Methodus Differentialis-nya.
Pada akhir suratnya Newton menyinggung solusi dari "masalah garis singgung terbalik," sebuah subjek yang telah diminta informasinya oleh Leibnitz. Ia memberikan rumus untuk membalikkan deret apa pun, tetapi mengatakan bahwa selain rumus-rumus ini ia memiliki dua metode untuk memecahkan pertanyaan-pertanyaan tersebut, yang untuk saat ini ia tidak akan menjelaskannya kecuali dengan anagram yang, jika dibaca, adalah sebagai berikut, "Una methodus consistit in extractione fluentis quantitatis ex aequatione simul involvente fluxionem ejus: altera tantum in assumptione seriei pro quantitate qualibet incognita ex qua caetera commode derivari possunt, et in collatione terminorum homologorum aequationis resultantis, as eruendos terminos assumptae seriei."
Ia menyiratkan dalam surat ini bahwa ia khawatir dengan pertanyaan yang diajukan dan kontroversi yang muncul tentang setiap masalah baru yang ia hasilkan, yang menunjukkan kecerobohannya dalam menerbitkan "quod umbram captando eatenus perdideram quietem meam, rem prorsus substantialem."
Leibnitz, dalam jawabannya, bertanggal 21 Juni 1677, menjelaskan metodenya untuk menggambar garis singgung ke kurva, yang ia katakan melanjutkan "bukan dengan fluksion garis, tetapi dengan perbedaan angka"; dan ia memperkenalkan notasi dx dan dy untuk perbedaan infinitesimal antara koordinat dari dua titik berurutan pada sebuah kurva. Ia juga memberikan solusi dari masalah untuk menemukan kurva yang subtangensnya konstan, yang menunjukkan bahwa ia dapat mengintegrasikan.
Pada tahun 1679 Hooke, atas permintaan Royal Society, menulis kepada Newton yang menyatakan harapan bahwa ia akan membuat komunikasi lebih lanjut kepada Masyarakat, dan memberitahunya tentang berbagai fakta yang baru-baru ini ditemukan. Newton menjawab dengan mengatakan bahwa ia telah meninggalkan studi filsafat, tetapi ia menambahkan bahwa gerakan harian bumi dapat dibuktikan dengan eksperimen mengamati penyimpangan dari tegak lurusnya sebuah batu yang dijatuhkan dari ketinggian ke tanah — sebuah eksperimen yang kemudian dilakukan oleh Masyarakat dan berhasil. Hooke dalam suratnya menyebutkan penelitian geodetik Picard; dalam hal ini Picard menggunakan nilai jari-jari bumi yang pada dasarnya benar. Hal ini menyebabkan Newton mengulangi, dengan data Picard, perhitungannya pada tahun 1666 pada orbit bulan, dan dengan demikian ia memverifikasi dugaannya bahwa gravitasi meluas sejauh bulan dan bervariasi berbanding terbalik dengan kuadrat jarak. Ia kemudian melanjutkan untuk mempertimbangkan teori umum gerakan partikel di bawah gaya sentripetal, yaitu, yang diarahkan ke titik tetap, dan menunjukkan bahwa vektor akan menyapu area yang sama dalam waktu yang sama. Ia juga membuktikan bahwa, jika sebuah partikel menggambarkan sebuah elips di bawah gaya sentripetal ke fokus, hukumnya haruslah hukum kuadrat terbalik dari jarak dari fokus, dan sebaliknya, bahwa orbit sebuah partikel yang diproyeksikan di bawah pengaruh gaya seperti itu akan menjadi konik (atau, mungkin, ia hanya berpikir sebuah elips). Mematuhi aturannya untuk tidak menerbitkan apa pun yang dapat membuatnya terlibat dalam kontroversi ilmiah, hasil ini dikunci di buku catatannya, dan hanya pertanyaan spesifik yang ditujukan kepadanya lima tahun kemudian yang menyebabkan publikasinya.
Aritmatika Universal, yang membahas aljabar, teori persamaan, dan masalah-masalah lain-lain, berisi substansi kuliah Newton selama tahun 1673 hingga 1683. Manuskripnya masih ada; Whiston mengekstrak izin yang agak enggan dari Newton untuk mencetaknya, dan diterbitkan pada tahun 1707. Di antara beberapa teorema baru tentang berbagai poin dalam aljabar dan teori persamaan, Newton di sini mengumumkan hasil penting berikut. Ia menjelaskan bahwa persamaan yang akarnya adalah solusi dari masalah yang diberikan akan memiliki akar sebanyak kasus yang mungkin berbeda; dan ia mempertimbangkan bagaimana hal itu terjadi bahwa persamaan yang mengarah pada masalah dapat berisi akar yang tidak memenuhi pertanyaan asli. Ia memperluas aturan tanda Descartes untuk memberikan batas pada jumlah akar imajiner. Ia menggunakan prinsip kontinuitas untuk menjelaskan bagaimana dua akar nyata dan tidak sama dapat menjadi imajiner dalam melewati kesetaraan, dan mengilustrasikannya dengan pertimbangan geometris; dari sana ia menunjukkan bahwa akar imajiner harus terjadi berpasangan. Newton juga di sini memberikan aturan untuk menemukan batas superior untuk akar positif dari persamaan numerik, dan untuk menentukan nilai perkiraan dari akar numerik. Ia selanjutnya mengumumkan teorema yang dikenal dengan namanya untuk menemukan jumlah pangkat ke-n dari akar persamaan, dan meletakkan dasar teori fungsi simetris dari akar persamaan.
Teorema yang paling menarik yang terkandung dalam karya tersebut adalah usahanya untuk menemukan aturan (analog dengan Descartes untuk akar nyata) di mana jumlah akar imajiner dari sebuah persamaan dapat ditentukan. Ia tahu bahwa hasil yang ia peroleh tidak berlaku secara universal, tetapi ia tidak memberikan bukti dan tidak menjelaskan apa saja pengecualian terhadap aturan tersebut. Teoremanya adalah sebagai berikut. Misalkan persamaan berderajat ke-n yang disusun dalam pangkat x yang menurun (koefisien x n positif), dan misalkan n + 1 pecahan
dibentuk dan ditulis di bawah suku-suku persamaan yang sesuai, kemudian, jika kuadrat dari suku apa pun ketika dikalikan dengan pecahan yang sesuai lebih besar dari hasil kali suku di setiap sisinya, letakkan tanda plus di atasnya: jika tidak, letakkan tanda minus di atasnya, dan letakkan tanda plus di atas suku pertama dan terakhir. Sekarang pertimbangkan dua suku berurutan dalam persamaan asli, dan dua simbol yang ditulis di atasnya. Kemudian kita dapat memiliki salah satu dari empat kasus berikut: (α) suku-suku dengan tanda yang sama dan simbol-simbol dengan tanda yang sama; (β) suku-suku dengan tanda yang sama dan simbol-simbol dengan tanda yang berlawanan; (γ) suku-suku dengan tanda yang berlawanan dan simbol-simbol dengan tanda yang sama; (δ) suku-suku dengan tanda yang berlawanan dan simbol-simbol dengan tanda yang berlawanan. Kemudian telah ditunjukkan bahwa jumlah akar negatif tidak akan melebihi jumlah kasus (α), dan jumlah akar positif tidak akan melebihi jumlah kasus (γ); dan oleh karena itu jumlah akar imajiner tidak kurang dari jumlah kasus (β) dan (δ). Dengan kata lain jumlah perubahan tanda dalam baris simbol yang ditulis di atas persamaan adalah batas inferior untuk jumlah akar imajiner. Newton, bagaimanapun, menegaskan bahwa "Anda hampir dapat mengetahui berapa banyak akar yang tidak mungkin" dengan menghitung perubahan tanda dalam deret simbol yang dibentuk seperti di atas. Artinya, ia berpikir bahwa secara umum jumlah sebenarnya dari akar positif, negatif, dan imajiner dapat diperoleh dengan aturan dan bukan hanya batas superior atau inferior untuk angka-angka ini. Tetapi meskipun ia tahu bahwa aturan itu tidak universal, ia tidak dapat menemukan (atau setidaknya tidak menyatakan) apa saja pengecualiannya: masalah ini kemudian dibahas oleh Campbell, Maclaurin, Euler, dan penulis lainnya; akhirnya pada tahun 1865 Sylvester berhasil membuktikan hasil umumnya.
Pada bulan Agustus 1684, Halley datang ke Cambridge untuk berkonsultasi dengan Newton tentang hukum gravitasi. Hooke, Huygens, Halley, dan Wren semuanya menduga bahwa gaya tarikan matahari atau bumi pada partikel eksternal bervariasi berbanding terbalik dengan kuadrat jarak. Penulis-penulis ini tampaknya secara independen telah menunjukkan bahwa, jika kesimpulan Kepler benar secara ketat, yang mana mereka tidak begitu yakin, hukum tarikan haruslah hukum kuadrat terbalik. Mungkin argumen mereka adalah sebagai berikut. Jika v adalah kecepatan sebuah planet, r adalah jari-jari orbitnya yang dianggap sebagai lingkaran, dan T adalah waktu periodiknya, v = 2π r/T. Tetapi, jika f adalah percepatan ke pusat lingkaran, kita memiliki f = 4π² r/T ². Sekarang, dengan hukum ketiga Kepler, T ² bervariasi sebagai r ³; oleh karena itu f bervariasi berbanding terbalik dengan r ². Namun, mereka tidak dapat menyimpulkan dari hukum tersebut orbit planet. Halley menjelaskan bahwa penyelidikan mereka dihentikan oleh ketidakmampuan mereka untuk memecahkan masalah ini, dan bertanya kepada Newton apakah ia dapat menemukan apa yang akan menjadi orbit sebuah planet jika hukum tarikannya adalah hukum kuadrat terbalik. Newton segera menjawab bahwa itu adalah sebuah elips, dan berjanji untuk mengirim atau menulis ulang demonstrasinya yang telah ia temukan pada tahun 1679. Ini dikirim pada bulan November 1684.
Didorong oleh Halley, Newton sekarang kembali ke masalah gravitasi; dan sebelum musim gugur 1684, ia telah mengerjakan substansi proposisi 1-19, 21, 30, 32-35 dalam buku pertama Principia. Ini bersama dengan catatan tentang hukum gerak dan berbagai lemma, dibacakan untuk kuliahnya pada Semester Michaelmas, 1684.
Pada bulan November Halley menerima komunikasi yang dijanjikan Newton, yang mungkin terdiri dari substansi proposisi 1, 11 dan proposisi 17 atau korolari pertama dari proposisi 13; setelah itu Halley kembali ke Cambridge, di mana ia melihat "sebuah risalah yang menarik, De Motu, yang disusun sejak Agustus." Kemungkinan besar ini berisi catatan manuskrip Newton tentang kuliah yang disebutkan di atas: catatan ini sekarang ada di perpustakaan universitas dan berjudul "De Motu Corporum." Halley memohon agar hasilnya dapat dipublikasikan, dan akhirnya mengamankan janji bahwa mereka harus dikirim ke Royal Society: mereka sesuai dengan itu dikomunikasikan kepada Masyarakat tidak lebih lambat dari Februari 1685, dalam makalah De Motu, yang berisi substansi dari proposisi berikut dalam Principia, buku I, prop. 1, 4, 6, 7, 10, 11, 15, 17, 32; buku II, prop. 2,3,4.
Tampaknya juga karena pengaruh dan taktik Halley pada kunjungannya pada bulan November 1684, bahwa Newton berjanji untuk menyerang seluruh masalah gravitasi, dan secara praktis berjanji untuk mempublikasikan hasilnya: ini terkandung dalam Principia. Sampai sekarang Newton belum menentukan tarikan sebuah benda bola pada titik eksternal, juga ia belum menghitung detail gerakan planet bahkan jika anggota tata surya dapat dianggap sebagai titik. Masalah pertama dipecahkan pada tahun 1685, mungkin pada bulan Januari atau Februari. "Tidak lama kemudian," mengutip dari pidato Dr. Glaisher pada peringatan dua abad publikasi Principia, "Newton telah membuktikan teorema yang luar biasa ini — dan kita tahu dari kata-katanya sendiri bahwa ia tidak memiliki harapan hasil yang begitu indah sampai muncul dari penyelidikan matematikanya — kemudian semua mekanisme alam semesta sekaligus terbentang di hadapannya. Ketika ia menemukan teorema yang membentuk tiga bagian pertama dari buku I, ketika ia memberikannya dalam kuliahnya tahun 1684, ia tidak menyadari bahwa matahari dan bumi mengerahkan daya tariknya seolah-olah mereka hanyalah titik. Betapa berbedanya proposisi ini bagi mata Newton ketika ia menyadari bahwa hasil ini, yang ia yakini hanya benar secara kasar ketika diterapkan pada tata surya, benar-benar tepat! Sampai sekarang mereka hanya benar sejauh ia dapat menganggap matahari sebagai titik dibandingkan dengan jarak planet, atau bumi sebagai titik dibandingkan dengan jarak bulan — jarak yang hanya sekitar enam puluh kali jari-jari bumi — tetapi sekarang mereka benar secara matematis, kecuali hanya untuk sedikit penyimpangan dari bentuk yang sempurna dari matahari, bumi, dan planet. Kita dapat membayangkan efek dari transisi tiba-tiba dari perkiraan ke ketepatan dalam merangsang pikiran Newton untuk upaya yang lebih besar. Sekarang ia memiliki kekuatan untuk menerapkan analisis matematika dengan presisi absolut pada masalah astronomi yang sebenarnya."
Dari tiga prinsip dasar yang diterapkan dalam Principia kita dapat mengatakan bahwa gagasan bahwa setiap partikel menarik setiap partikel lain di alam semesta dibentuk setidaknya pada awal tahun 1666; hukum deskripsi area yang merata, konsekuensinya, dan fakta bahwa jika hukum tarikan adalah hukum kuadrat terbalik, orbit sebuah partikel di sekitar pusat gaya akan menjadi konik dibuktikan pada tahun 1679; dan, terakhir, penemuan bahwa sebuah bola, yang kerapatannya pada titik mana pun hanya bergantung pada jarak dari pusat, menarik titik eksternal seolah-olah seluruh massa dikumpulkan di pusatnya dibuat pada tahun 1685. Penemuan terakhir inilah yang memungkinkannya untuk menerapkan dua prinsip pertama pada fenomena benda berukuran hingga.
Rancangan buku pertama Principia selesai sebelum musim panas 1685, tetapi koreksi dan penambahan membutuhkan waktu, dan buku itu tidak diserahkan kepada Royal Society sampai 28 April 1686. Buku ini diberikan untuk pertimbangan gerakan partikel atau benda di ruang bebas baik di orbit yang diketahui, atau di bawah aksi gaya yang diketahui, atau di bawah tarikan timbal balik mereka; dan khususnya untuk menunjukkan bagaimana efek dari gaya pengganggu dapat dihitung. Di dalamnya juga Newton menggeneralisasi hukum tarikan menjadi pernyataan bahwa setiap partikel materi di alam semesta menarik setiap partikel lainnya dengan gaya yang bervariasi langsung sebagai hasil kali massa mereka, dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak di antara mereka; dan dari sana ia menyimpulkan hukum tarikan untuk cangkang bola dengan kerapatan konstan. Buku ini didahului oleh pengantar tentang ilmu dinamika, yang mendefinisikan batas-batas penyelidikan matematika. Tujuannya, katanya, adalah untuk menerapkan matematika pada fenomena alam; di antara fenomena ini gerakan adalah salah satu yang paling penting; sekarang gerakan adalah efek dari gaya, dan, meskipun ia tidak tahu apa sifat atau asal usul gaya, namun banyak efeknya dapat diukur; dan inilah yang membentuk pokok bahasan dari karya tersebut.
Buku kedua Principia selesai pada musim panas 1
