السير إسحاق نيوتن - حساب قصير لتاريخ الرياضيات بواسطة و. و. روس بال

⟦PRESERVE⟧

بدأ الرياضيون الذين تم تناولهم في الفصل الأخير بإنشاء تلك العمليات التي تميز الرياضيات الحديثة. لقد مكنت القدرات الاستثنائية لنيوتن من إتقان أكثر تلك العمليات الأولية خلال بضع سنوات، والتقدم بشكل واضح في كل فرع من فروع العلوم الرياضية التي كانت تدرس آنذاك، بالإضافة إلى إنشاء بعض المواضيع الجديدة. كان نيوتن معاصرًا وصديقًا لواليس، هويجنز، وآخرين ممن تم ذكرهم في الفصل الأخير، ولكن على الرغم من أن معظم أعماله الرياضية تمت بين عامي 1665 و1686، إلا أن الجزء الأكبر منها لم يُطبع - على أي حال في شكل كتاب - حتى بعد عدة سنوات.

أقترح مناقشة أعمال نيوتن بشكل أكثر تفصيلًا من أعمال الرياضيين الآخرين، جزئيًا بسبب الأهمية الجوهرية لاكتشافاته، وجزئيًا لأن هذا الكتاب موجه أساسًا للقراء الإنجليز، وكان تطور الرياضيات في بريطانيا لمدة قرن كامل في يد المدرسة النيوتنانية.

وُلِد إسحاق نيوتن في لينكولنشاير، بالقرب من غرانثام، في 25 ديسمبر 1642، وتوفي في كنسينغتون، لندن، في 20 مارس 1727. تم تعليمه في كلية ترينيتي، كامبريدج، وعاش هناك من 1661 حتى 1696، خلال هذه الفترة أنتج الجزء الأكبر من أعماله في الرياضيات؛ في عام 1696 تم تعيينه في منصب حكومي قيم، وانتقل إلى لندن، حيث أقام حتى وفاته.

كان والده، الذي توفي قبل ولادة نيوتن بفترة قصيرة، مزارعًا، وكان من المقرر أن يستمر نيوتن في إدارة المزرعة الأبوية. أُرسل إلى المدرسة في غرانثام، حيث أثار تعليمه وكفاءته الميكانيكية بعض الانتباه. في عام 1656 عاد إلى المنزل ليتعلم مهنة الزراعة، لكنه قضى معظم وقته في حل المشكلات، وإجراء التجارب، أو ابتكار نماذج ميكانيكية؛ ولاحظت والدته ذلك، وقررت بحكمة أن تجد له مهنة أكثر توافقًا، وأوصى عمه، الذي تم تعليمه في كلية ترينيتي، كامبريدج، بإرساله إلى هناك.

في عام 1661، دخل نيوتن كطالب في كامبريدج، حيث وجد نفسه لأول مرة بين بيئة من المحتمل أن تطور قدراته. ومع ذلك، يبدو أنه لم يكن لديه اهتمام كبير بالمجتمع العام أو بأي مساعي سوى العلوم والرياضيات. لحسن الحظ، احتفظ بمذكرات، وبالتالي يمكننا تكوين فكرة عادلة عن مسار تعليم أكثر الطلاب تقدمًا في جامعة إنجليزية في ذلك الوقت. لم يكن قد قرأ أي رياضيات قبل أن يدخل السكن، لكنه كان على دراية بمنطق ساندرسون، الذي كان يُقرأ كثيرًا كمقدمة للرياضيات. في بداية فصل أكتوبر الأول له، صادف أن تجول إلى معرض ستوربريدج، وهناك التقط كتابًا عن التنجيم، لكنه لم يستطع فهمه بسبب الهندسة وعلم المثلثات. لذلك اشترى كتاب إقليدس، ودهش عندما وجد مدى وضوح المقترحات. بعد ذلك قرأ كتاب أوجتريد "Clavis" وكتاب ديكارت "Géométrie"، الذي تمكن من إتقانه بنفسه، على الرغم من بعض الصعوبات. أدى اهتمامه بالموضوع إلى اتخاذ الرياضيات كدراسة جدية بدلاً من الكيمياء. كانت قراءته الرياضية اللاحقة كطالب جامعي تعتمد على "Optics" لكبلر، وأعمال فييتا، و"Miscellanies" لفان شوتن، و"Géométrie" لديكارت، و"Arithmetica Infinitorum" لواليس: كما حضر محاضرات بارو. في وقت لاحق، عند قراءة إقليدس بشكل أكثر دقة، شكل رأيًا عاليًا عنه كأداة تعليمية، وكان يعبر عن أسفه لأنه لم يكرس نفسه للهندسة قبل الانتقال إلى التحليل الجبري.

يوجد مخطوط له، مؤرخ في 28 مايو 1665، كتب في نفس العام الذي حصل فيه على درجة البكالوريوس، وهو أقدم دليل وثائقي على اختراعه للانسيابيات. كان ذلك في نفس الوقت الذي اكتشف فيه نظرية ثنائية الحدود.

بسبب الطاعون، تم إغلاق الكلية خلال أجزاء من عامي 1665 و1666، ولعدة أشهر في ذلك الوقت عاش نيوتن في المنزل. كانت هذه الفترة مليئة بالاكتشافات اللامعة. فكر في المبادئ الأساسية لنظريته في الجاذبية، وهي أن كل جزيء من المادة يجذب كل جزيء آخر، واشتبه في أن الجاذبية تختلف كمنتج لكتلتها وعكسيًا كمعكوس مربع المسافة بينهما. كما عمل على حساب التفاضل بشكل كامل إلى حد ما: في مخطوطة مؤرخة في 13 نوفمبر 1665، استخدم الانسيابيات لإيجاد المماس ونصف قطر الانحناء عند أي نقطة على منحنى، وفي أكتوبر 1666، طبقها على عدة مشكلات في نظرية المعادلات. أبلغ نيوتن أصدقائه وطلابه بهذه النتائج من عام 1669 فصاعدًا، لكنها لم تُنشر في الطباعة حتى بعد سنوات عديدة. كما أنه أثناء إقامته في المنزل في ذلك الوقت، ابتكر بعض الأدوات لطحن العدسات إلى أشكال معينة غير كروية، وربما قام بتفكيك الضوء الشمسي إلى ألوان مختلفة.

إذا استبعدنا التفاصيل وأخذنا الأرقام التقريبية فقط، يبدو أن استدلاله في ذلك الوقت حول نظرية الجاذبية كان كما يلي. اشتبه في أن القوة التي تحتفظ بالقمر في مداره حول الأرض هي نفسها الجاذبية الأرضية، ولتحقق من هذه الفرضية، قام بما يلي. كان يعلم أنه، إذا سُمح لحجر بالسقوط بالقرب من سطح الأرض، فإن جاذبية الأرض (أي وزن الحجر) تسبب له التحرك خلال 16 قدمًا في ثانية واحدة. مدار القمر بالنسبة للأرض قريب من الدائرة؛ وكتقريب خشن، إذا اعتبره كذلك، كان يعرف مسافة القمر، وبالتالي طول مساره؛ كما كان يعرف الوقت الذي يستغرقه القمر للدوران مرة واحدة حوله، وهو شهر.

لذا يمكنه بسهولة العثور على سرعته عند أي نقطة مثل M. وبالتالي يمكنه العثور على المسافة MT التي سيتحرك خلالها في الثانية التالية إذا لم يكن مشدودًا بجاذبية الأرض. في نهاية تلك الثانية، كان مع ذلك عند M'، وبالتالي يجب أن تكون الأرض E قد جذبتها عبر المسافة TM' في ثانية واحدة (مفترضًا أن اتجاه جاذبية الأرض ثابت). الآن، هو وعدد من الفيزيائيين في ذلك الوقت قد تخيلوا من القانون الثالث لكبلر أن جاذبية الأرض على جسم ستجد أنها تتناقص كلما ابتعد الجسم عن الأرض عكسيًا كمعكوس مربع المسافة من مركز الأرض؛ إذا كان هذا هو القانون الفعلي، وإذا كانت الجاذبية هي القوة الوحيدة التي تحتفظ بالقمر في مداره، فإن TM' يجب أن تكون إلى 16 قدمًا عكسيًا كمعكوس مربع المسافة بين القمر ومركز الأرض إلى مربع نصف قطر الأرض. في عام 1679، عندما أعاد التحقيق، وُجد أن TM' كانت لها القيمة المطلوبة من الفرضية، وكان التحقق كاملًا؛ ولكن في عام 1666 كانت تقديراته لمسافة القمر غير دقيقة، وعندما قام بالحساب وجد أن TM' كانت أقل بحوالي ثُمن مما كان ينبغي أن تكون عليه وفقًا لفرضه.

لا يبدو أن هذه الفجوة قد هزت إيمانه بالاعتقاد بأن الجاذبية تمتد حتى القمر وتختلف عكسيًا كمعكوس مربع المسافة؛ ولكن من ملاحظات ويستون لمحادثة مع نيوتن، يبدو أن نيوتن استنتج أن هناك قوة أخرى - ربما دوامات ديكارت - تؤثر على القمر بالإضافة إلى الجاذبية. تؤكد هذه العبارة حساب بيمبرتون للتحقيق. يبدو، علاوة على ذلك، أن نيوتن كان يعتقد بالفعل بقوة في مبدأ الجاذبية العالمية، أي أن كل جزيء من المادة يجذب كل جزيء آخر، واشتبه في أن الجاذبية تختلف كمنتج لكتلتها وعكسيًا كمعكوس مربع المسافة بينهما؛ ولكن من المؤكد أنه لم يكن يعرف حينها ما ستكون جاذبية كتلة كروية على أي نقطة خارجية، ولم يعتقد أنه من المحتمل أن يتم جذب جزيء بواسطة الأرض كما لو كانت الأخيرة مركزة في جزيء واحد في مركزها.

عند عودته إلى كامبريدج في عام 1667، تم انتخاب نيوتن زميلًا في كليته، واستقر هناك بشكل دائم. في الجزء الأول من عام 1669، أو ربما في عام 1668، قام بمراجعة محاضرات بارو له. من المعروف أن نهاية المحاضرة الرابعة عشرة قد كُتبت بواسطة نيوتن، ولكن لا يمكن الآن تحديد مقدار ما يعود إلى اقتراحاته. بمجرد الانتهاء من ذلك، طُلب منه من قبل بارو وكولينز تحرير وإضافة ملاحظات على ترجمة جبر كينكهاوزن؛ وافق على القيام بذلك، ولكن بشرط ألا يظهر اسمه في الأمر. في عام 1670 بدأ أيضًا عرضًا منهجيًا لتحليله بواسطة السلاسل اللانهائية، وكان هدفه هو التعبير عن العمودي لمنحنى في سلسلة جبرية لانهائية يمكن دمج كل حد منها بواسطة قاعدة واليس؛ تم إبلاغ نتائجه في هذا الموضوع إلى بارو وكولينز وآخرين في عام 1669. لم يُكتمل هذا أبدًا: تم نشر الجزء في عام 1711، ولكن جوهره كان قد طُبع كملحق لكتاب "Optics" في عام 1704. كانت هذه الأعمال فقط ثمار وقت فراغ نيوتن، حيث تم تخصيص معظم وقته خلال هذين العامين للأبحاث البصرية.

في أكتوبر 1669، استقال بارو من الكرسي لوكاسيان لصالح نيوتن. خلال فترة توليه للمنصب، كانت ممارسة نيوتن هي إلقاء محاضرات علنية مرة واحدة في الأسبوع، لمدة نصف ساعة إلى ساعة في كل مرة، في فصل واحد من كل عام، ربما يكتب محاضراته بسرعة كما يمكن أن تُدوّن؛ وفي الأسبوع الذي يلي المحاضرة، يخصص أربع ساعات للمواعيد التي يعطيها للطلاب الذين يرغبون في القدوم إلى غرفه لمناقشة نتائج المحاضرة السابقة. لم يكرر أبدًا دورة، والتي عادة ما تتكون من تسع أو عشر محاضرات، وعادة ما تبدأ محاضرات دورة واحدة من النقطة التي انتهت عندها الدورة السابقة. المخطوطات لمحاضراته في سبعة عشر من السنوات الثمانية عشر الأولى من توليه المنصب موجودة.

عند تعيينه لأول مرة، اختار نيوتن علم البصريات كموضوع لمحاضراته وأبحاثه، وقبل نهاية عام 1669، كان قد عمل على تفاصيل اكتشافه لتفكيك شعاع من الضوء الأبيض إلى أشعة بألوان مختلفة بواسطة منشور. تبع ذلك الشرح الكامل لنظرية قوس قزح من هذا الاكتشاف. شكلت هذه الاكتشافات موضوع المحاضرات التي ألقاها كأستاذ لوكاسيان في السنوات 1669 و1670 و1671. تم تضمين النتائج الجديدة الرئيسية في ورقة تم تقديمها إلى الجمعية الملكية في فبراير 1672، ونُشرت لاحقًا في "المعاملات الفلسفية". تم طباعة مخطوطة محاضراته الأصلية في عام 1729 تحت عنوان "Lectiones Opticae". ينقسم هذا العمل إلى كتابين، يحتوي الأول على أربعة أقسام والثاني على خمسة. يتناول القسم الأول من الكتاب الأول تفكيك الضوء الشمسي بواسطة منشور نتيجة للاختلاف في انكسارية الأشعة التي تشكله، ويضاف وصف لتجاربه. يحتوي القسم الثاني على حساب للطريقة التي اخترعها نيوتن لتحديد معاملات الانكسار لأجسام مختلفة. يتم ذلك عن طريق جعل شعاع يمر عبر منشور من المادة بحيث يكون الانحراف في الحد الأدنى؛ ويثبت أنه إذا كان زاوية المنشور i وكان انحراف الشعاع δ، فإن معامل الانكسار سيكون sin ½ (i + δ) cosec ½ i. القسم الثالث يتناول الانكسارات عند الأسطح المستوية؛ هنا يظهر أنه إذا مر شعاع عبر منشور بأقل انحراف، فإن زاوية السقوط تساوي زاوية الخروج؛ يتم تخصيص معظم هذا القسم لحل المشكلات الهندسية المختلفة. يحتوي القسم الرابع على مناقشة للانكسارات عند الأسطح المنحنية. يتناول الكتاب الثاني نظرية نيوتن حول الألوان وقوس قزح.

بسبب فصل غريب من الحوادث، فشل نيوتن في تصحيح الانحراف اللوني للونين بواسطة زوج من المنشورات. لذلك تخلى عن الأمل في صنع تلسكوب انكساري يجب أن يكون عديم اللون، وبدلاً من ذلك صمم تلسكوبًا عاكسًا، ربما على نمط صغير صنعه في عام 1668. الشكل الذي استخدمه هو الذي لا يزال معروفًا باسمه؛ وقد اقترحت فكرة ذلك بشكل طبيعي بواسطة تلسكوب غريغوري. في عام 1672، اخترع ميكروسكوبًا عاكسًا، وبعد عدة سنوات اخترع السدس الذي أعيد اكتشافه بواسطة ج. هادلي في عام 1731.

كانت محاضراته كأستاذ من 1673 إلى 1683 حول الجبر ونظرية المعادلات، ويتم وصفها أدناه؛ لكن الكثير من وقته خلال هذه السنوات كان مشغولًا بأبحاث أخرى، ويمكنني أن ألاحظ أنه طوال حياته، يجب أن يكون نيوتن قد خصص على الأقل نفس القدر من الاهتمام للكيمياء واللاهوت كما للرياضيات، على الرغم من أن استنتاجاته ليست ذات أهمية كافية لتتطلب ذكرها هنا. تم الهجوم في البداية على نظرية نيوتن حول الألوان واستنتاجاته من تجاربه البصرية بشدة. كانت المراسلات التي نتجت عن ذلك مع نيوتن تشغل تقريبًا كل وقته الفراغ في السنوات من 1672 إلى 1675، وأثبتت أنها غير مريحة للغاية له. كتب في 9 ديسمبر 1675، "لقد تعرضت للاضطهاد بسبب المناقشات الناشئة عن نظريتي في الضوء، حتى أنني لاممت نفسي على عدم حكمة تركي لنعمة كبيرة مثل هدوئي لأركض وراء ظل." مرة أخرى، في 18 نوفمبر 1676، يلاحظ، "أرى أنني جعلت نفسي عبدًا للفلسفة؛ ولكن إذا تخلصت من قضية السيد لينوس، سأودعها بحزم إلى الأبد، باستثناء ما أفعله لرضاي الخاص، أو أتركه ليظهر بعدي؛ لأنني أرى أن الرجل يجب أن يقرر إما عدم نشر أي شيء جديد، أو أن يصبح عبدًا للدفاع عنه." كانت الكراهية غير المعقولة لوجود شكوك حول استنتاجاته أو أن يكون متورطًا في أي مراسلات حولها سمة بارزة في شخصية نيوتن.

كان نيوتن مهتمًا بشدة بالسؤال عن كيفية إنتاج آثار الضوء حقًا، وبنهاية عام 1675، كان قد عمل على نظرية الجسيمات أو نظرية الانبعاث، وأظهر كيف يمكن أن تفسر جميع الظواهر المختلفة للبصريات الهندسية، مثل الانعكاس، والانكسار، والألوان، والانكسار، وما إلى ذلك. للقيام بذلك، كان مضطرًا لإضافة راكب صناعي إلى حد ما، وهو أن جسيماته كانت تعاني من نوبات متناوبة من الانعكاس السهل والانكسار السهل التي تم نقلها إليهم بواسطة أثير يملأ الفضاء. تُعرف الآن أن هذه النظرية غير قابلة للدفاع، ولكن يجب ملاحظة أن نيوتن صاغها كفرضية من شأنها أن تتبع منها نتائج معينة: يبدو أنه كان يعتقد أن نظرية الموجات أكثر احتمالًا بطبيعتها، ولكن كانت صعوبة تفسير الانكسار بناءً على تلك النظرية هي التي دفعته إلى اقتراح فرضية أخرى.

تم شرح نظرية نيوتن الجسيمية في مذكرات تم تقديمها إلى الجمعية الملكية في ديسمبر 1675، والتي تم إعادة إنتاجها بشكل أساسي في "Optics"، الذي نُشر في عام 1704. في هذا العمل، تناول بالتفصيل نظرية نيوتن حول نوبات الانعكاس السهل والنقل، وألوان الألواح الرقيقة، التي أضاف إليها تفسيرًا لألوان الألواح السميكة [bk. II، الجزء 4] وملاحظات حول انحناء الضوء [bk. III].

تعتبر رسالتان كتبهما نيوتن في عام 1676 مثيرتين للاهتمام بما يكفي لتبرير الإشارة إليهما. كان ليبنيز، الذي كان في لندن في عام 1673، قد أبلغ الجمعية الملكية ببعض النتائج التي اعتقد أنها جديدة، ولكن تم الإشارة إليه أنها قد تم إثباتها سابقًا بواسطة موتون. أدى ذلك إلى مراسلة مع أولدنبورغ، سكرتير الجمعية. في عام 1674، كتب ليبنيز قائلًا إنه يمتلك "طرق تحليلية عامة تعتمد على السلاسل اللانهائية." في رده، أخبره أولدنبورغ أن نيوتن وغريغوري قد استخدما مثل هذه السلاسل في أعمالهما. ردًا على طلب للحصول على معلومات، كتب نيوتن في 13 يونيو 1676، يقدم حسابًا موجزًا لطريقته، لكنه أضاف توسعات ثنائية الحدود (أي نظرية ثنائية الحدود) وsin -1 x؛ من الأخير استنتج sin x: يبدو أن هذه هي أقدم حالة معروفة لعكس السلاسل. كما أدخل تعبيرًا عن تصحيح قوس بيضاوي في سلسلة لانهائية.

كتب ليبنيز في 27 أغسطس يطلب تفاصيل أكثر؛ وفي رد طويل ولكنه مثير للاهتمام، مؤرخ في 34 أكتوبر 1676، وأرسل عبر أولدنبورغ، يقدم حسابًا للطريقة التي قادته إلى بعض نتائجه.

في هذه الرسالة، يبدأ نيوتن بالقول إنه استخدم ثلاث طرق للتوسع في السلاسل. كانت الأولى قد توصل إليها من دراسة طريقة الاستيفاء التي وجد بها واليس تعبيرات لمساحة دائرة وقطع مكافئ. وبالتالي، من خلال النظر في سلسلة التعبيرات (1— x²) 0/2، (1— x²) 2/2، (1— x²) 4/2، ...، استنتج من خلال الاستيفاء القانون الذي يربط المعاملات المتعاقبة في توسعات (1— x²) 1/2، (1— x²) 3/2، ...؛ ثم حصل بالتشابه على التعبير عن الحد العام في توسع ثنائي الحدود، أي نظرية ثنائية الحدود. يقول إنه تابع لاختبار ذلك من خلال تشكيل مربع توسع (1— x²) 1/2، الذي اختصر إلى 1— x²؛ وتابع بنفس الطريقة مع توسعات أخرى. ثم اختبر النظرية في حالة (1— x²) 1/2 من خلال استخراج الجذر التربيعي لـ 1— x²، بطريقة أكثر حسابية. كما استخدم السلاسل لتحديد مساحات الدائرة وقطع مكافئ في سلاسل لانهائية، ووجد أن النتائج كانت هي نفسها التي توصل إليها بطرق أخرى.

بعد أن أثبت هذه النتيجة، تخلى عن طريقة الاستيفاء في السلاسل، واستخدم نظرية ثنائية الحدود للتعبير (عندما يكون ذلك ممكنًا) عن العمودي لمنحنى في سلسلة لانهائية في قوى متزايدة من الأبسكيس، وبالتالي من خلال طريقة واليس حصل على تعبيرات في سلاسل لانهائية لمساحات وأقواس المنحنيات بالطريقة الموضحة في الملحق لكتابه "Optics" وفي "De Analysi per Equationes Numero Terminorum Infinitas". يذكر أنه استخدم هذه الطريقة الثانية قبل الطاعون في 1665-66، ويواصل القول إنه كان مضطرًا حينها لمغادرة كامبريدج، وبعد ذلك (على الأرجح عند عودته إلى كامبريدج) توقف عن متابعة هذه الأفكار، حيث وجد أن نيكولاس ميركاتور قد استخدم بعضها في "Logarithmo-technica"، الذي نُشر في عام 1668؛ واعتقد أن البقية قد تم اكتشافها أو ستكتشف قبل أن يكون لديه فرصة لنشر اكتشافاته.

يشرح نيوتن بعد ذلك أنه كان لديه أيضًا طريقة ثالثة، والتي (يقول) أنه أرسل حسابًا عنها إلى بارو وكولينز حوالي عام 1669، موضحة بتطبيقات على المساحات، والتصحيح، والتكعيب، وما إلى ذلك. كانت هذه هي طريقة الانسيابيات؛ لكن نيوتن لا يقدم هنا وصفًا لها، على الرغم من أنه يضيف بعض التوضيحات لاستخدامها. التوضيح الأول هو حول تكعيب المنحنى الممثل بالمعادلة

y = ax^m (b + cx^n)^p،

الذي يقول إنه يمكن تحقيقه كمجموع من (m + 1)/n حدود إذا كان (m + 1)/n عددًا صحيحًا موجبًا، والذي يعتقد أنه لا يمكن تحقيقه بأي طريقة أخرى إلا من خلال سلسلة لانهائية. [هذا ليس صحيحًا، التكامل ممكن إذا كان p + (m + 1)/n عددًا صحيحًا.] كما يقدم قائمة بأشكال أخرى يمكن تكاملها على الفور، من بينها الأشكال الرئيسية هي

⟦PRESERVE_1⟧

حيث m عدد صحيح موجب وn أي عدد كان. أخيرًا، يشير إلى أن مساحة أي منحنى يمكن تحديدها بسهولة تقريبًا بواسطة طريقة الاستيفاء الموضحة أدناه في مناقشة "Methodus Differentialis" الخاصة به.

في نهاية رسالته، يشير نيوتن إلى حل "مشكلة المماس العكسية"، وهو موضوع طلب ليبنيز معلومات عنه. يقدم صيغًا لعكس أي سلسلة، لكنه يقول إنه بخلاف هذه الصيغ لديه طريقتان لحل مثل هذه الأسئلة، والتي لن يصفها في الوقت الحالي إلا من خلال أنغرام، والذي، عند قراءته، يكون كما يلي: "Una methodus consistit in extractione fluentis quantitatis ex aequatione simul involvente fluxionem ejus: altera tantum in assumptione seriei pro quantitate qualibet incognita ex qua caetera commode derivari possunt, et in collatione terminorum homologorum aequationis resultantis, as eruendos terminos assumptae seriei."

يوحي في هذه الرسالة بأنه يشعر بالقلق من الأسئلة التي تُطرح عليه والمناقشات التي تُثار حول كل مسألة جديدة ينتجها، مما يظهر تهوره في نشر "quod umbram captando eatenus perdideram quietem meam، rem prorsus substantialem."

رد ليبنيز في رسالته المؤرخة في 21 يونيو 1677، موضحًا طريقته في رسم المماس للمنحنيات، والتي يقول إنها تتم "ليس بواسطة انسيابيات الخطوط، ولكن بواسطة اختلافات الأعداد"؛ ويقدم رموزه dx وdy للاختلافات اللانهائية بين إحداثيات نقطتين متتاليتين على منحنى. كما يقدم حلاً لمشكلة العثور على منحنى يكون تحت المماس ثابتًا، مما يظهر أنه يمكنه التكامل.

في عام 1679، كتب هوك إلى نيوتن بناءً على طلب الجمعية الملكية، معبرًا عن أمله في أن يقدم مزيدًا من الاتصالات للجمعية، ويعلمه بالحقائق المختلفة التي تم اكتشافها مؤخرًا. رد نيوتن قائلًا إنه تخلى عن دراسة الفلسفة، لكنه أضاف أن الحركة اليومية للأرض يمكن إثباتها من خلال تجربة مراقبة الانحراف عن العمودي لحجر يُسقط من ارتفاع إلى الأرض - تجربة تم إجراءها لاحقًا بواسطة الجمعية ونجحت. ذكر هوك في رسالته أبحاث بيكارد الجيوديسية؛ في هذه استخدم بيكارد قيمة لنصف قطر الأرض صحيحة إلى حد كبير. أدى ذلك بنيوتن إلى تكرار حساباته لعام 1666 حول مدار القمر باستخدام بيانات بيكارد، وبالتالي تحقق من افتراضه بأن الجاذبية تمتد حتى القمر وتختلف عكسيًا كمعكوس مربع المسافة. ثم بدأ في النظر في النظرية العامة لحركة جزيء تحت قوة مركزية، أي، واحدة موجهة إلى نقطة ثابتة، وأظهر أن المتجه سيسحب مناطق متساوية في أوقات متساوية. كما أثبت أنه، إذا كان جزيء يصف بيضاويًا تحت قوة مركزية إلى بؤرة، يجب أن يكون القانون هو معكوس مربع المسافة من البؤرة، وبالعكس، أن مدار جزيء مُلقى تحت تأثير مثل هذه القوة سيكون مخروطًا (أو، قد يكون، اعتقد فقط أنه بيضاوي). متبعًا قاعدته بعدم نشر أي شيء يمكن أن يوقعه في جدل علمي، تم قفل هذه النتائج في دفاتره، ولم يكن هناك سوى سؤال محدد موجه إليه بعد خمس سنوات أدى إلى نشرها.

تحتوي "الحساب العالمي"، الذي يتناول الجبر، نظرية المعادلات، ومشكلات متنوعة، على جوهر محاضرات نيوتن خلال سنوات 1673 إلى 1683. لا يزال مخطوطه موجودًا؛ حصل ويستون على إذن متردد من نيوتن لطباعة ذلك، وتم نشره في عام 1707. من بين عدة نظريات جديدة حول نقاط مختلفة في الجبر ونظرية المعادلات، يعلن نيوتن هنا عن النتائج المهمة التالية. يوضح أن المعادلة التي تكون جذورها هي حل لمشكلة معينة سيكون لها عدد من الجذور بقدر ما هناك حالات مختلفة ممكنة؛ وينظر في كيفية حدوث أن المعادلة التي تقود إلى مشكلة قد تحتوي على جذور لا تلبي السؤال الأصلي. يمدد قاعدة ديكارت للإشارات ليعطي حدودًا لعدد الجذور التخيلية. يستخدم مبدأ الاستمرارية لشرح كيف يمكن لجذرين حقيقيين وغير متساويين أن يصبحا تخيليين عند المرور عبر المساواة، ويظهر ذلك من خلال اعتبارات هندسية؛ ومن ثم يظهر أن الجذور التخيلية يجب أن تحدث في أزواج. يقدم نيوتن أيضًا هنا قواعد للعثور على حد أعلى للجذور الإيجابية لمعادلة عددية، ولتحديد القيم التقريبية للجذور العددية. كما يعلن عن النظرية المعروفة باسمه للعثور على مجموع القوى nth لجذور المعادلة، وأسس نظرية الوظائف المتماثلة لجذور المعادلة.

النظرية الأكثر إثارة للاهتمام التي تحتوي عليها العمل هي محاولته لإيجاد قاعدة (مماثلة لتلك الخاصة بالديكارت للجذور الحقيقية) التي يمكن من خلالها تحديد عدد الجذور التخيلية لمعادلة. كان يعلم أن النتيجة التي حصل عليها لم تكن صحيحة عالميًا، لكنه لم يقدم أي دليل ولم يشرح ما هي الاستثناءات للقانون. نظريته هي كما يلي. افترض أن المعادلة من الدرجة nth مرتبة في قوى متناقصة من x (مع كون معامل x^n موجبًا)، وافترض أن يتم تشكيل n + 1 كسور وكتابتها أسفل الحدود المقابلة للمعادلة، ثم، إذا كان مربع أي حد عند ضربه في الكسر المقابل أكبر من حاصل ضرب الحدود على كل جانب منه، ضع علامة زائد فوقه: وإلا ضع علامة ناقص فوقه، وضع علامة زائد فوق الحدود الأولى والأخيرة. الآن اعتبر أي حدين متتاليين في المعادلة الأصلية، والرمزين المكتوبين فوقهما. ثم قد يكون لدينا أي واحدة من الحالات الأربع التالية: (α) الحدود من نفس الإشارة والرموز من نفس الإشارة؛ (β) الحدود من نفس الإشارة والرموز من إشارات متعارضة؛ (γ) الحدود من إشارات متعارضة والرموز من نفس الإشارة؛ (δ) الحدود من إشارات متعارضة والرموز من إشارات متعارضة. ثم تم إظهار أن عدد الجذور السلبية لن يتجاوز عدد الحالات (α)، وعدد الجذور الإيجابية لن يتجاوز عدد الحالات (γ)؛ وبالتالي فإن عدد الجذور التخيلية ليس أقل من عدد الحالات (β) و(δ). بعبارة أخرى، فإن عدد تغييرات الإشارات في صف الرموز المكتوبة فوق المعادلة هو حد أدنى لعدد الجذور التخيلية. ومع ذلك، أكد نيوتن أنه "يمكنك تقريبًا معرفة عدد الجذور المستحيلة" من خلال عد تغييرات الإشارة في سلسلة الرموز المكونة كما هو موضح أعلاه. أي أنه اعتقد أنه بشكل عام يمكن الحصول على العدد الفعلي للجذور الإيجابية والسلبية والتخيلية بواسطة القاعدة وليس مجرد حدود عليا أو دنيا لهذه الأعداد. ولكن على الرغم من أنه كان يعلم أن القاعدة لم تكن عالمية، إلا أنه لم يستطع العثور على (أو على أي حال لم يذكر) ما هي الاستثناءات لها: تمت مناقشة هذه المشكلة لاحقًا بواسطة كامبل، وماكلورين، وأويلر، وكتّاب آخرين؛ وفي النهاية في عام 1865، نجح سيلفستر في إثبات النتيجة العامة.

في أغسطس 1684، جاء هالي إلى كامبريدج لاستشارة نيوتن حول قانون الجاذبية. كان هوك، هويجنز، هالي، ورين قد تخيلوا جميعًا أن قوة جذب الشمس أو الأرض لجزيء خارجي تختلف عكسيًا كمعكوس مربع المسافة. يبدو أن هؤلاء الكتاب قد أظهروا بشكل مستقل أنه، إذا كانت استنتاجات كبلر صحيحة بدقة، والتي لم يكونوا متأكدين منها تمامًا، يجب أن يكون قانون الجاذبية هو قانون المعكوس المربع. ربما كانت حجتهم كما يلي. إذا كانت v هي سرعة كوكب، وr هو نصف قطر مداره الذي يُعتبر دائرة، وT هو زمنه الدوري، فإن v = 2π r/T. ولكن، إذا كانت f هي التسارع نحو مركز الدائرة، فإننا نحصل على f = 4π² r/T². الآن، وفقًا للقانون الثالث لكبلر، يتغير T² كـ r³؛ ومن ثم يتغير f عكسيًا كـ r². ومع ذلك، لم يتمكنوا من استنتاج مدارات الكواكب من القانون. أوضح هالي أن تحقيقاتهم توقفت بسبب عدم قدرتهم على حل هذه المشكلة، وسأل نيوتن إذا كان يمكنه معرفة ما سيكون مدار كوكب إذا كان قانون الجاذبية هو قانون المعكوس المربع. أجاب نيوتن على الفور أنه سيكون بيضاويًا، ووعد بإرسال أو كتابة الدليل الذي وجده في عام 1679. تم إرسال ذلك في نوفمبر 1684.

بتحفيز من هالي، عاد نيوتن الآن إلى مشكلة الجاذبية؛ وقبل خريف عام 1684، كان قد عمل على جوهر الاقتراحات 1-19، 21، 30، 32-35 في الكتاب الأول من "Principia". تم قراءة هذه مع ملاحظات حول قوانين الحركة ومجموعة متنوعة من القوانين، لمحاضراته في فصل ميكائيل، 1684.

في نوفمبر، تلقى هالي الاتصال الموعود من نيوتن، والذي ربما كان يتكون من جوهر الاقتراحات 1، 11 وأما الاقتراح 17 أو النتيجة الأولى للاقتراح 13؛ بعد ذلك، عاد هالي مرة أخرى إلى كامبريدج، حيث رأى "معالجة مثيرة، De Motu، تم إعدادها منذ أغسطس." من المحتمل أن تحتوي هذه على ملاحظات نيوتن المخطوطة للمحاضرات المشار إليها أعلاه: هذه الملاحظات موجودة الآن في مكتبة الجامعة وعنوانها "De Motu Corporum". طلب هالي أن تُنشر النتائج، وأخيرًا حصل على وعد بأنه سيتم إرسالها إلى الجمعية الملكية: وبالتالي تم تقديمها للجمعية في موعد لا يتجاوز فبراير 1685، في الورقة "De Motu"، التي تحتوي على جوهر الاقتراحات التالية في "Principia"، الكتاب الأول، الاقتراحات 1، 4، 6، 7، 10، 11، 15، 17، 32؛ الكتاب الثاني، الاقتراحات 2، 3، 4.

يبدو أيضًا أنه كان بفضل تأثير هالي وحنكته في زيارته في نوفمبر 1684، أن نيوتن قرر مواجهة مشكلة الجاذبية بالكامل، وتعهد عمليًا بنشر نتائجه: هذه موجودة في "Principia". حتى الآن، لم يكن نيوتن قد حدد جاذبية جسم كروي على نقطة خارجية، ولم يكن قد حسب تفاصيل حركات الكواكب حتى لو كانت أعضاء النظام الشمسي يمكن اعتبارها نقاطًا. تم حل المشكلة الأولى في عام 1685، ربما في يناير أو فبراير. "لم يمر وقت طويل،" لنقتبس من خطاب الدكتور غلايشر في الذكرى المئوية الثانية لنشر "Principia"، "حتى أثبت نيوتن هذه النظرية الرائعة - ونعلم من كلماته الخاصة أنه لم يكن يتوقع نتيجة جميلة كهذه حتى ظهرت من تحقيقاته الرياضية - حتى انتشرت كل آلية الكون أمامه. عندما اكتشف النظريات التي تشكل الأقسام الثلاثة الأولى من الكتاب الأول، عندما قدمها في محاضراته عام 1684، لم يكن يدرك أن الشمس والأرض تمارسان جاذبيتهما كما لو كانتا مجرد نقاط. كم كانت هذه الاقتراحات مختلفة في عيني نيوتن عندما أدرك أن هذه النتائج، التي كان يعتقد أنها صحيحة تقريبًا عند تطبيقها على النظام الشمسي، كانت صحيحة تمامًا! حتى الآن، كانت صحيحة فقط بقدر ما يمكنه اعتبار الشمس نقطة مقارنة بمسافة الكواكب، أو الأرض نقطة مقارنة بمسافة القمر - وهي مسافة تصل إلى حوالي ستين مرة من نصف قطر الأرض - ولكن الآن كانت صحيحة رياضيًا، باستثناء فقط الانحراف الطفيف عن الشكل الكروي المثالي للشمس والأرض والكواكب. يمكننا تخيل تأثير هذا الانتقال المفاجئ من التقريب إلى الدقة في تحفيز عقل نيوتن لمزيد من الجهود. كان الآن في قدرته تطبيق التحليل الرياضي بدقة مطلقة على المشكلات الفعلية في علم الفلك."

من المبادئ الثلاثة الأساسية المطبقة في "Principia" يمكننا أن نقول إن فكرة أن كل جزيء يجذب كل جزيء آخر في الكون قد تشكلت على الأقل في وقت مبكر من عام 1666؛ تم إثبات قانون الوصف المتساوي للمناطق، وعواقبه، وحقيقة أنه إذا كان قانون الجاذبية هو قانون المعكوس المربع، فإن مدار جزيء حول مركز القوة سيكون مخروطًا في عام 1679؛ وأخيرًا، تم اكتشاف أن الكرة، التي تعتمد كثافتها عند أي نقطة فقط على المسافة من المركز، تجذب نقطة خارجية كما لو كانت الكتلة بأكملها مركزة في مركزها في عام 1685. كانت هذه الاكتشافات الأخيرة هي التي مكنته من تطبيق المبادئ الأولى على ظواهر الأجسام ذات الحجم المحدود.

تم الانتهاء من مسودة الكتاب الأول من "Principia" قبل صيف عام 1685، لكن التصحيحات والإضافات استغرقت بعض الوقت، ولم يتم تقديم الكتاب إلى الجمعية الملكية حتى 28 أبريل 1686. هذا الكتاب مخصص لدراسة حركة الجزيئات أو الأجسام في الفضاء الحر إما في مدارات معروفة، أو تحت تأثير قوى معروفة، أو تحت جاذبيتها المتبادلة؛ وبشكل خاص للإشارة إلى كيفية حساب آثار القوى المزعجة. كما يعمم نيوتن قانون الجاذبية إلى بيان أن كل جزيء من المادة في الكون يجذب كل جزيء آخر بقوة تختلف مباشرة كمنتج لكتلتها، وعكسيًا كمعكوس مربع المسافة بينهما؛ ومن ثم يستنتج قانون الجاذبية للأصداف الكروية ذات الكثافة الثابتة. يُفتتح الكتاب بمقدمة حول علم الديناميكا، الذي يحدد حدود التحقيق الرياضي. يقول إن هدفه هو تطبيق الرياضيات على ظواهر الطبيعة؛ من بين هذه الظواهر، الحركة هي واحدة من الأهم؛ الآن الحركة هي أثر القوة، وعلى الرغم من أنه لا يعرف ما هي طبيعة القوة أو أصلها، إلا أن العديد من آثارها يمكن قياسها؛ وهذه هي التي تشكل موضوع العمل.