Almost contemporaneously with the publication in 1637 of Descartes' geometry, the principles of the integral calculus, so far as they are concerned with summation, were being worked out in Italy. This was effected by what was called the principle of indivisibles, and was the invention of Cavalieri. It was applied by him and his contemporaries to numerous problems connected with the quadrature of curves and surfaces, the determination on volumes, and the positions of centres of mass. It served the same purpose as the tedious method of exhaustions used by the Greeks; in principle the methods are the same, but the notation of indivisibles is more concise and convenient. It was, in its turn, superceded at the beginning of the eighteenth century by the integral calculus.
Bonaventura Cavalieri was born at Milan in 1598, and died at Bologna on November 27, 1647. He became a Jesuit at an early age; on the recommendation of the Order he was in 1629 made professor of mathematics at Bologna; and he continued to occupy the chair there until his death. I have already mentioned Cavalieri's name in connection with the introduction of the use of logarithms into Italy, and have alluded to his discovery of the expression for the area of a spherical triangle in terms of the spherical excess. He was one of the most influential mathematicians of his time, but his subsequent reputation rests mainly on his invention of the principle of indivisibles.
The principle of indivisibles had been used by Kepler in 1604 and 1615 in a somewhat crude form. It was first stated by Cavalieri in 1629, but he did not publish his results till 1635. In his early enunciation of the principle in 1635 Cavalieri asserted that a line was made up of an infinite number of points (each without magnitude), a surface of infinite number of lines (each without breadth), and a volume of an infinite number of surfaces (each without thickness). To meet the objections of Guldinus and others, the statement was recast, and in its final form as used by the mathematicians of the seventeenth century it was published in Cavalieri's Exercitationes Geometricae in 1647; the third exercise is devoted to a defence of the theory. This book contains the earliest demonstration of the properties of Pappus. Cavalieri's works on indivisibles were reissued with his later corrections in 1653.
The method of indivisibles rests, in effect, on the assumption that any magnitude may be divided into an infinite number of small quantities which can be made to bear any required ratios ( ex. gr. equality) one to the other. The analysis given by Cavalieri is hardly worth quoting except as being one of the first steps taken towards the formation of an infinitesimal calculus. One example will suffice. Suppose it be required to find the area of a right-angled triangle. Let the base be made up of, or contain n points (or indivisibles), and similarly let the other side contain na points, then the ordinates at the successive points of the base will contain a , 2 a ..., na points. Therefore the number of points in the area is a + 2 a + ... + na ; the sum of which is 1/2 n 2 a + 1/2 na . Since n is very large, we may neglect 1/2 na for it is inconsiderable compared with 1/2 n 2 a . Hence the area is equal to 1/2( na ) n , that is, 1/2 x altitude x base. There is no difficulty in criticizing such a proof, but, although the form in which it is presented is indefensible, the substance of it is correct.
It would be misleading to give the above as the only specimen of the method of indivisibles, and I therefore quote another example, taken from a later writer, which will fairly illustrate the use of the method when modified and corrected by the method of limits.
Let it be required to find the area outside a parabola APC and bounded by the curve, the tangent at A , and a line DC parallel to AB the diameter at A . Complete the parallelogram ABCD . Divide AD into n equal parts, let AM contain r of them, and let MN be the ( r + 1)th part. Draw MP and NQ parallel to AB , and draw PR parallel to AD . Then when n becomes indefinitely large, the curvilinear area APCD will be the the limit of the sum of all parallelograms like PN . Now
area PN : area BD = MP . MN : DC . AD .
But by the properties of the parabola
MP : DC = AM 2 : AD 2 = r 2 : n 2 ,
and MN : AD = 1 : n . Hence MP . MN : DC . AD = r 2 : n 3 . Therefore area PN : area BD = r 2 : n 3 . Therefore, ultimately,
area APCD : area BD = 1 2 + 2 2 + ... + (n-1) 2 : n 3 = 1/6 n (n-1)(2n-1) : n 3
which, in the limit, = 1 : 3.
It is perhaps worth noticing that Cavalieri and his successors always used the method to find the ratio of two areas, volumes, or magnitudes of the same kind and dimensions, that is, they never thought of an area as containing so many units of area. The idea of comparing a magnitude with a unit of the same kind seems to have been due to Wallis.
It is evident that in its direct form the method is applicable to only a few curves. Cavalieri proved that, if m be a positive integer, then the limit, when n is infinite, of (1 m + 2 m + ... + n m )/ n m+1 is 1/( m +1), which is equivalent to saying that he found the integral of x to x m from x = 0 to x = 1; he also discussed the quadrature of the hyperbola.
Hintergrund und Einführung des Autors
Dieser Text stellt die bahnbrechende Arbeit von Bonaventura Cavalieri vor, einer wichtigen Figur in der Geschichte der Mathematik im frühen 17. Jahrhundert. Cavalieri, geboren 1598 in Mailand, war ein Jesuit und Professor für Mathematik in Bologna. Seine Arbeit legte den Grundstein für die Integralrechnung, einen Zweig der Mathematik, der sich mit der Summation unendlich vieler kleiner Größen befasst, um Flächen, Volumina und andere Größen zu finden. Cavaliers Prinzip der Unteilbaren war eine revolutionäre Idee, die Mathematikern half, sich über die antiken griechischen Erschöpfungsmethoden hinaus zu bewegen und einen einfacheren und flexibleren Ansatz zur Berechnung von Flächen und Volumina anzubieten.
Das Prinzip der Unteilbaren verstehen
Cavaliers Prinzip besagt, dass eine Linie aus unendlich vielen Punkten besteht, eine Fläche aus unendlich vielen Linien und ein Volumen aus unendlich vielen Flächen. Diese Idee mag zunächst abstrakt oder sogar verwirrend klingen, aber sie ist ein wichtiger Schritt in Richtung des Konzepts der Integration in der modernen Analysis. Indem er sich Formen als aus unendlich dünnen Scheiben oder Punkten zusammengesetzt vorstellte, konnte Cavalieri Flächen und Volumina berechnen, indem er diese Scheiben zwischen verschiedenen Formen verglich.
Um beispielsweise die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks zu finden, stellte sich Cavalieri vor, dass die Basis aus vielen Punkten besteht und die Höhe eine proportionale Anzahl von Punkten enthält. Durch die Summierung dieser Punkte gelangte er zu der bekannten Formel für die Fläche eines Dreiecks: die Hälfte der Basis mal der Höhe. Obwohl seiner Methode die Strenge fehlte, die wir heute erwarten, war die zugrunde liegende Idee richtig und ebnete den Weg für zukünftige Mathematiker.
Bedeutung und Auswirkungen
Cavalieris Arbeit war bedeutsam, weil sie eine neue Art des Denkens über Geometrie und Messung einführte, die intuitiver und weniger umständlich war als frühere Methoden. Sein Prinzip der Unteilbaren nahm die Integralrechnung vorweg, die später von Newton und Leibniz entwickelt wurde. Diese Methode ermöglichte es Mathematikern, Probleme mit Kurven und Oberflächen zu lösen, die zuvor sehr schwierig oder unmöglich zu handhaben waren.
Seine Arbeit beeinflusste auch das Studium von Parabeln, Kugeln und Hyperbeln und erweiterte das Verständnis dieser Formen und ihrer Eigenschaften. Cavaliers Ansatz trug dazu bei, die Kluft zwischen Geometrie und Algebra zu überbrücken, was zu den leistungsstarken mathematischen Werkzeugen führte, die heute in Wissenschaft und Technik eingesetzt werden.
Was Schüler lernen können
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Mathematische Kreativität und Innovation: Cavaliers Geschichte zeigt, wie neue Ideen oft auf alten aufbauen. Er nahm die antike griechische Erschöpfungsmethode und verbesserte sie, indem er sich Formen als aus unteilbaren Teilen zusammengesetzt vorstellte. Dies lehrt die Schüler den Wert des kreativen Denkens und der Betrachtung von Problemen aus neuen Perspektiven.
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Grundlagen der Analysis: Während die Analysis kompliziert erscheinen mag, bietet Cavaliers Prinzip eine einfache Einführung in das Konzept der Summierung unendlich vieler kleiner Teile, um ein Ganzes zu finden. Das Verständnis dieses Prinzips hilft den Schülern, die Ursprünge und die Bedeutung der Analysis zu verstehen.
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Historischer Kontext: Das Lernen über Cavalieri hilft den Schülern zu sehen, wie sich die Mathematik im Laufe der Zeit entwickelt hat und wie verschiedene Kulturen zum Wissen beigetragen haben. Es zeigt auch, wie Wissenschaft und Religion koexistierten, da Cavalieri ein Jesuit und Mathematiker war.
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Problemlösung: Die gegebenen Beispiele, wie z. B. das Finden der Fläche unter einer Parabel, zeigen, wie mathematisches Denken praktische Probleme lösen kann. Die Schüler können lernen, logische Schritte anzuwenden und Näherungen zu verwenden, um sich komplexen Fragen zu nähern.
Anwendung dieser Lektionen im Leben und Lernen
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In der Schule: Die Schüler können Cavaliers Prinzip als Sprungbrett verwenden, um die Integration in den Analysiskursen zu verstehen. Es fördert das Aufteilen komplexer Probleme in kleinere, überschaubare Teile, eine nützliche Fähigkeit in jedem Fach.
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Im täglichen Leben: Die Idee, kleine Teile zu summieren, um ein Ganzes zu verstehen, kann beim Budgetieren, Kochen oder Planen von Projekten angewendet werden. Zum Beispiel spiegelt das Zeitmanagement durch die Aufteilung von Aufgaben in kleinere Segmente den Ansatz der Unteilbaren wider.
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In sozialen Situationen: Cavaliers Engagement für Glauben und Wissenschaft zeigt, wie wichtig es ist, verschiedene Aspekte des Lebens in Einklang zu bringen und verschiedene Wissensbereiche zu respektieren. Die Schüler können lernen, mehrere Standpunkte zu schätzen und disziplinübergreifend zusammenzuarbeiten.
Förderung positiver Eigenschaften aus Cavaliers Arbeit
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Neugier und Aufgeschlossenheit: Cavaliers Bereitschaft, neue Ideen zu erforschen, ermutigt die Schüler, neugierig zu bleiben und offen für das Lernen zu sein, auch wenn Konzepte schwierig oder unbekannt erscheinen.
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Ausdauer: Seine Arbeit wurde zunächst kritisiert und nicht vollständig akzeptiert, aber er verfeinerte seine Ideen weiter. Dies lehrt den Wert der Beharrlichkeit angesichts von Herausforderungen.
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Analytisches Denken: Die Methode der Unteilbaren erfordert sorgfältige Analyse und logisches Denken, Fähigkeiten, die in der Wissenschaft und bei alltäglichen Entscheidungen wertvoll sind.
Schlussfolgerung
Bonaventura Cavaliers Prinzip der Unteilbaren ist mehr als nur eine mathematische Technik; es ist eine Geschichte von Innovation, Ausdauer und der Entwicklung des menschlichen Verständnisses. Für die Schüler bietet es einen Einblick in die Ursprünge der Analysis und die Kraft des andersartigen Denkens. Durch das Studium seiner Arbeit können junge Lernende Einblicke in die Problemlösung, die Geschichte der Wissenschaft und die Bedeutung der Kombination von Kreativität mit Logik gewinnen. Diese Lektionen gehen über die Mathematik hinaus und fördern eine Denkweise, die neugierig, beharrlich und analytisch ist – Eigenschaften, die ihnen in allen Lebensbereichen zugute kommen werden.
