Brook Taylor, born at Edmonton on August 18, 1685, and died in London on December 29, 1731, was educated at St. John's College, Cambridge, and was among the most enthusiastic of Newton's admirers. From the year 1712 onwards he wrote numerous papers in the Philosophical Transactions , in which, among other things, he discussed the motion of projectiles, the centre of oscillation, and the forms taken by liquids when raised by capillarity. In 1719 he resigned the secretaryship of the Royal Society and abandoned the study of mathematics. His earliest work, and that by which he is generally known, is his Methodus Incrementorum Directa et Inversa , published in London in 1715. This contains [prop. 7] a proof of the well-known theorem
f ( x + h ) = f ( x ) + hf′ ( x ) + h 2 /2! f ″( x ) + ... ,
by which a function of a single variable can be expanded in powers of it. He does not consider the convergency of the series, and the proof which involves numerous assumptions is not worth reproducing. The work also includes several theorems on interpolation. Taylor was the earliest writer to deal with theorems on the change of the independent variable; he was perhaps the first to realize the possibility of a calculus of operation, and just as he denotes the n th differential coefficient of y by y n so he uses y -1 to represent the integral of y ; lastly, he is usually recognized as the creator of the theory of finite differences.
The applications of the calculus to various questions given in the Methodus have hardly received that attention they deserve. The most important of them is the theory of the transverse vibrations of strings, a problem which had baffled previous investigators. In this investigation Taylor shews that the number of half-vibrations executed in a second is
where L is the length of the string, N its weight, P the weight which stretches it, and D the length of a seconds pendulum. This is correct, but in arriving at it he assumes that every point of the string will pass through its position of equilibrium at the same instant, a restriction which D'Alembert subsequently shewed to be unnecessary. Taylor also found the form which the string assumes at any instant.
The Methodus also contains the earliest determination of the differential equation of the path of a ray of light when traversing a heterogeneous medium; and, assuming that the density of the air depends only in its distance from the earth's surface, Taylor obtained by means of quadratures the approximate form of the curve. The form of the catenary and the determination of the centres of oscillation and percussion are also discussed.
A treatise on perspective by Taylor, published in 1719, contains the earliest general enunciation of the principle of vanishing points; though the idea of vanishing points for horizontal and parallel lines in a picture hung in a vertical plane had been enunciated by Guido Ubaldi in his Perspectivae Libri , Pisa, 1600, and by Stevinus in his Sciagraphia , Leyden, 1608.
Einführung in Brook Taylor und seine Arbeit
Brook Taylor war ein brillanter Mathematiker, der 1685 in Edmonton, England, geboren wurde. Er studierte an der Cambridge University und war ein großer Bewunderer von Sir Isaac Newton, einem der berühmtesten Wissenschaftler der Geschichte. Taylor leistete wichtige Beiträge zur Mathematik, insbesondere auf dem Gebiet der Analysis, einem Zweig der Mathematik, der sich mit Veränderung und Bewegung befasst. Sein berühmtestes Werk, Methodus Incrementorum Directa et Inversa (1715), führte die Taylorreihe ein – eine Methode, um Funktionen als unendliche Summen von Termen darzustellen, die aus den Ableitungen der Funktion berechnet werden.
Hintergrund und Entstehung von Taylors Werk
Im frühen 18. Jahrhundert entwickelte sich die Mathematik rasant weiter. Wissenschaftler und Mathematiker waren bestrebt, die natürliche Welt durch präzise Berechnungen und Formeln zu verstehen. Taylors Arbeit entstand zu einer Zeit, als die Analysis noch neu war und von großen Denkern wie Newton und Leibniz entwickelt wurde. Taylor trug dazu bei, Ideen zu formalisieren, die Mathematikern und Wissenschaftlern halfen, komplexe Probleme in Bezug auf Bewegung, Licht und Schwingungen zu lösen.
Taylors Beiträge verstehen
Taylors Theorem ermöglicht es uns, komplizierte Funktionen durch einfachere Polynomausdrücke anzunähern. Dies ist in der Physik, im Ingenieurwesen und in der Informatik äußerst nützlich, da es Berechnungen einfacher und handhabbarer macht. Wenn man beispielsweise die Schwingungen von Saiten auf Musikinstrumenten oder den Weg des Lichts durch verschiedene Materialien untersucht, helfen Taylors Formeln, das Verhalten genau vorherzusagen.
Er arbeitete auch an der Theorie der endlichen Differenzen, einer Methode zur Untersuchung von Veränderungen in Folgen und Funktionen, und legte damit den Grundstein für die numerische Analyse, die heute in Computern verwendet wird.
Bedeutung von Taylors Entdeckungen
Eine von Taylors wichtigen Leistungen war die Analyse der Schwingungen von Saiten, die dazu beitrug, zu erklären, wie Musikinstrumente Schall erzeugen. Er zeigte, wie die Schwingungsfrequenz von der Länge, dem Gewicht und der Spannung der Saite abhängt. Dieses Verständnis ist grundlegend für die Akustik und das Instrumentendesign.
Taylor untersuchte auch, wie sich Licht durch unterschiedliche Luftdichten ausbreitet, und leistete damit einen Beitrag zur Optik, der Lehre vom Licht. Seine Arbeit zur Perspektive in der Kunst führte das Prinzip der Fluchtpunkte ein, das Künstler verwenden, um realistische dreidimensionale Bilder auf flachen Oberflächen zu erzeugen.
Lektionen und Inspirationen für Schüler
Das Studium von Taylors Leben und Werk lehrt uns mehrere wertvolle Lektionen:
- Neugier und Ausdauer: Taylors Engagement für das Verständnis komplexer Probleme zeigt, wie wichtig es ist, neugierig und beharrlich zu lernen.
- Interdisziplinäres Denken: Seine Arbeit kombinierte Mathematik, Physik und sogar Kunst und zeigte, wie Wissen in einem Bereich das Verständnis in einem anderen Bereich verbessern kann.
- Grundlage für die moderne Wissenschaft: Taylors Entdeckungen sind die Bausteine für viele moderne Technologien und erinnern uns daran, dass grundlegendes Wissen für Innovationen unerlässlich ist.
Wie Schüler diese Lektionen anwenden können
- Im Lernen: Wenn Schüler mit schwierigen Fächern konfrontiert werden, sollten sie sich an Taylors Beispiel erinnern und weiterhin verschiedene Ansätze erforschen, bis sie Lösungen finden.
- Beim Problemlösen: Die Verwendung von Schritt-für-Schritt-Methoden wie Taylors Reihe kann helfen, komplexe Probleme in überschaubare Teile zu zerlegen.
- In der Kreativität: Das Verständnis von Prinzipien wie der Perspektive kann die künstlerischen Fähigkeiten verbessern, während mathematisches Denken das logische Denken verbessern kann.
Positive Einstellungen und Fähigkeiten kultivieren
Taylors Leben ermutigt die Schüler, Folgendes zu entwickeln:
- Analytisches Denken: Probleme logisch und sorgfältig aufschlüsseln.
- Aufgeschlossenheit: Bereit sein, neue Ideen zu erforschen und Annahmen zu hinterfragen.
- Liebe zum Detail: Präzision ist sowohl in der Mathematik als auch in alltäglichen Aufgaben wichtig.
Schlussfolgerung
Brook Taylors Beiträge gehen über die Mathematik hinaus; sie inspirieren eine Denkweise der Erforschung, Kreativität und Widerstandsfähigkeit. Indem sie sich mit seiner Arbeit befassen, erwerben die Schüler nicht nur Wissen, sondern auch wertvolle Fähigkeiten und Einstellungen, die ihnen helfen können, in der Schule, im sozialen Leben und in zukünftigen Karrieren erfolgreich zu sein. Den Geist der Entdeckung und die Freude am Lernen zu umarmen, kann zu großen Leistungen führen, so wie es bei Taylor der Fall war.
