Die im letzten Kapitel betrachteten Mathematiker begannen mit der Schaffung jener Prozesse, die die moderne Mathematik auszeichnen. Die außergewöhnlichen Fähigkeiten von Newton ermöglichten es ihm, innerhalb weniger Jahre die grundlegenderen dieser Prozesse zu perfektionieren und jeden Zweig der damals studierten mathematischen Wissenschaften deutlich voranzubringen, sowie einige neue Themen zu schaffen. Newton war Zeitgenosse und Freund von Wallis, Huygens und anderen der im letzten Kapitel genannten Personen, aber obwohl der Großteil seiner mathematischen Arbeiten zwischen 1665 und 1686 entstand, wurde der Großteil davon nicht gedruckt – jedenfalls nicht in Buchform – bis einige Jahre später.
Ich beabsichtige, die Werke von Newton ausführlicher zu besprechen als die anderer Mathematiker, partly wegen der intrinsischen Bedeutung seiner Entdeckungen und partly weil dieses Buch hauptsächlich für englische Leser gedacht ist, und die Entwicklung der Mathematik in Großbritannien war ein Jahrhundert lang vollständig in den Händen der newtonschen Schule.
Isaac Newton wurde am 25. Dezember 1642 in Lincolnshire, nahe Grantham, geboren und starb am 20. März 1727 in Kensington, London. Er wurde am Trinity College in Cambridge ausgebildet und lebte dort von 1661 bis 1696, während dieser Zeit produzierte er den Großteil seiner Arbeiten in der Mathematik; 1696 wurde er in ein wertvolles Regierungsamt berufen und zog nach London, wo er bis zu seinem Tod lebte.
Sein Vater, der kurz vor Newtons Geburt gestorben war, war ein Landwirt, und es war beabsichtigt, dass Newton den väterlichen Hof weiterführen sollte. Er wurde zur Schule in Grantham geschickt, wo sein Lernen und seine mechanischen Fähigkeiten einige Aufmerksamkeit erregten. 1656 kehrte er nach Hause zurück, um das Geschäft eines Landwirts zu lernen, verbrachte jedoch die meiste Zeit damit, Probleme zu lösen, Experimente durchzuführen oder mechanische Modelle zu entwerfen; seine Mutter bemerkte dies und beschloss sinnvollerweise, eine passendere Beschäftigung für ihn zu finden, und sein Onkel, der selbst am Trinity College in Cambridge ausgebildet worden war, empfahl, ihn dorthin zu schicken.
1661 trat Newton folglich als Student in Cambridge ein, wo er zum ersten Mal in einer Umgebung war, die wahrscheinlich seine Fähigkeiten entwickeln würde. Er schien jedoch wenig Interesse an der allgemeinen Gesellschaft oder an anderen Beschäftigungen außer Wissenschaft und Mathematik zu haben. Glücklicherweise führte er ein Tagebuch, und so können wir uns ein gutes Bild vom Bildungsweg der fortgeschrittensten Studenten an einer englischen Universität zu dieser Zeit machen. Er hatte vor seinem Aufenthalt keine Mathematik gelesen, war jedoch mit Sandersons Logik vertraut, die damals häufig als Vorstudium zur Mathematik gelesen wurde. Zu Beginn seines ersten Oktobersemesters schlenderte er zufällig zur Stourbridge Fair und fand dort ein Buch über Astrologie, konnte es jedoch aufgrund der Geometrie und Trigonometrie nicht verstehen. Daher kaufte er sich einen Euklid und war überrascht, wie offensichtlich die Sätze schienen. Daraufhin las er Oughtreds Clavis und Descartes' Géométrie, letzteres konnte er sich selbstständig aneignen, wenn auch mit einiger Mühe. Das Interesse, das er für das Thema empfand, führte ihn dazu, Mathematik anstelle von Chemie als ernsthaftes Studium zu wählen. Seine nachfolgenden mathematischen Lektüren als Student basierten auf Keplers Optik, den Werken von Vieta, van Schootens Miscellanies, Descartes' Géométrie und Wallis' Arithmetica Infinitorum: er besuchte auch Barrows Vorlesungen. Zu einem späteren Zeitpunkt, als er Euklid sorgfältiger las, bildete er sich eine hohe Meinung über ihn als Bildungsinstrument und drückte sein Bedauern aus, dass er sich nicht früher mit Geometrie beschäftigt hatte, bevor er zur algebraischen Analyse überging.
Es gibt ein Manuskript von ihm, datiert auf den 28. Mai 1665, das im selben Jahr geschrieben wurde, in dem er seinen B.A.-Abschluss machte, das der früheste dokumentarische Beweis seiner Erfindung der Fluxionen ist. Etwa zur gleichen Zeit entdeckte er den binomischen Lehrsatz.
Aufgrund der Pest wurde das College während Teilen der Jahre 1665 und 1666 geschlossen, und mehrere Monate lebte Newton zu dieser Zeit zu Hause. Diese Zeit war mit brillanten Entdeckungen gefüllt. Er dachte über die grundlegenden Prinzipien seiner Gravitationstheorie nach, nämlich dass jedes Materieteilchen jedes andere Teilchen anzieht, und er vermutete, dass die Anziehung als Produkt ihrer Massen und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands zwischen ihnen variierte. Er arbeitete auch den fluxionalen Kalkül ziemlich vollständig aus: in einem Manuskript, datiert auf den 13. November 1665, verwendete er Fluxionen, um die Tangente und den Krümmungsradius an einem Punkt auf einer Kurve zu finden, und im Oktober 1666 wandte er sie auf mehrere Probleme in der Gleichungstheorie an. Newton kommunizierte diese Ergebnisse ab 1669 an seine Freunde und Schüler, aber sie wurden erst viele Jahre später veröffentlicht. Es war auch während seines Aufenthalts zu Hause zu dieser Zeit, dass er einige Instrumente entwarf, um Linsen in andere als sphärische Formen zu schleifen, und vielleicht zerlegte er das Sonnenlicht in verschiedene Farben.
Wenn man Details weglässt und nur Rundzahlen betrachtet, scheint sein Denken zu dieser Zeit über die Gravitationstheorie wie folgt gewesen zu sein. Er vermutete, dass die Kraft, die den Mond in seiner Umlaufbahn um die Erde hielt, die gleiche wie die terrestrische Schwerkraft war, und um diese Hypothese zu überprüfen, ging er folgendermaßen vor. Er wusste, dass, wenn ein Stein in der Nähe der Erdoberfläche fallen gelassen wird, die Anziehung der Erde (das heißt, das Gewicht des Steins) ihn dazu bringt, in einer Sekunde 16 Fuß zu fallen. Die Umlaufbahn des Mondes relativ zur Erde ist fast ein Kreis; und als grobe Annäherung, wenn man sie so betrachtet, kannte er die Entfernung des Mondes und damit die Länge seines Weges; er wusste auch, wie lange der Mond brauchte, um einmal um ihn zu kreisen, nämlich einen Monat.
Daher konnte er leicht seine Geschwindigkeit an einem Punkt wie M finden. Er konnte daher die Entfernung MT finden, durch die er sich in der nächsten Sekunde bewegen würde, wenn er nicht von der Anziehung der Erde gezogen würde. Am Ende dieser Sekunde war er jedoch bei M', und daher musste die Erde E ihn in einer Sekunde durch die Entfernung TM' gezogen haben (unter der Annahme, dass die Richtung der Anziehung der Erde konstant ist). Nun hatten er und mehrere Physiker seiner Zeit aus Keplers drittem Gesetz vermutet, dass die Anziehung der Erde auf einen Körper abnehmen würde, je weiter der Körper von der Erde entfernt wird, umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung vom Erdmittelpunkt; wenn dies das tatsächliche Gesetz wäre und wenn die Schwerkraft die einzige Kraft wäre, die den Mond in seiner Umlaufbahn hielt, dann sollte TM' zu 16 Fuß umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung des Mondes vom Erdmittelpunkt im Quadrat des Erdradius sein. 1679, als er die Untersuchung wiederholte, wurde festgestellt, dass TM' den Wert hatte, der von der Hypothese gefordert wurde, und die Überprüfung war vollständig; aber 1666 war seine Schätzung der Entfernung des Mondes ungenau, und als er die Berechnung anstellte, stellte er fest, dass TM' etwa ein Achtel weniger war, als es nach seiner Hypothese hätte sein sollen.
Diese Diskrepanz scheint seinen Glauben an die Überzeugung nicht erschüttert zu haben, dass die Schwerkraft bis zum Mond reicht und umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung variiert; aber aus Whistons Notizen eines Gesprächs mit Newton scheint es, dass Newton schloss, dass eine andere Kraft – wahrscheinlich Descartes' Wirbel – sowohl auf den Mond als auch auf die Schwerkraft wirkte. Diese Aussage wird durch Pembertons Bericht über die Untersuchung bestätigt. Es scheint außerdem, dass Newton bereits fest an das Prinzip der universellen Gravitation glaubte, das heißt, dass jedes Materieteilchen jedes andere Teilchen anzieht, und vermutete, dass die Anziehung als Produkt ihrer Massen und umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung zwischen ihnen variierte; aber es ist sicher, dass er damals nicht wusste, wie die Anziehung einer sphärischen Masse auf einen externen Punkt wäre, und hielt es nicht für wahrscheinlich, dass ein Teilchen von der Erde angezogen würde, als ob letztere in einem einzigen Teilchen an ihrem Zentrum konzentriert wäre.
Bei seiner Rückkehr nach Cambridge im Jahr 1667 wurde Newton in ein Stipendium an seinem College gewählt und nahm dort dauerhaft seinen Wohnsitz. In der frühen Phase von 1669, oder vielleicht 1668, überarbeitete er Barrows Vorlesungen für ihn. Das Ende der vierzehnten Vorlesung ist bekanntlich von Newton verfasst worden, aber wie viel vom Rest auf seine Vorschläge zurückgeht, kann jetzt nicht mehr bestimmt werden. Sobald dies abgeschlossen war, wurde er von Barrow und Collins gebeten, eine Übersetzung von Kinckhuysens Algebra zu bearbeiten und Anmerkungen hinzuzufügen; er stimmte zu, dies zu tun, aber unter der Bedingung, dass sein Name nicht in der Angelegenheit erscheinen sollte. 1670 begann er auch mit einer systematischen Darstellung seiner Analyse durch unendliche Reihen, deren Ziel es war, die Ordinate einer Kurve in einer unendlichen algebraischen Reihe auszudrücken, deren jedes Glied durch Wallis' Regel integriert werden kann; seine Ergebnisse zu diesem Thema waren 1669 Barrow, Collins und anderen mitgeteilt worden. Dies wurde nie fertiggestellt: das Fragment wurde 1711 veröffentlicht, aber der Inhalt war 1704 als Anhang zu den Optiken gedruckt worden. Diese Arbeiten waren nur die Frucht von Newtons Freizeit, da die meiste Zeit während dieser beiden Jahre seinen optischen Forschungen gewidmet war.
Im Oktober 1669 trat Barrow von dem Lucasian Chair zugunsten von Newton zurück. Während seiner Amtszeit als Professor war es Newtons Praxis, einmal pro Woche öffentlich Vorlesungen zu halten, für eine halbe Stunde bis eine Stunde, in einem Semester jedes Jahr, wahrscheinlich diktierte er seine Vorlesungen so schnell, wie sie aufgeschrieben werden konnten; und in der Woche nach der Vorlesung widmete er vier Stunden für Termine, die er Studenten gab, die zu ihm kommen wollten, um die Ergebnisse der vorherigen Vorlesung zu besprechen. Er wiederholte nie einen Kurs, der normalerweise aus neun oder zehn Vorlesungen bestand, und in der Regel begannen die Vorlesungen eines Kurses an dem Punkt, an dem der vorherige Kurs geendet hatte. Die Manuskripte seiner Vorlesungen für siebzehn der ersten achtzehn Jahre seiner Amtszeit sind erhalten.
Bei seiner ersten Ernennung wählte Newton Optik als Thema seiner Vorlesungen und Forschungen, und vor Ende 1669 hatte er die Einzelheiten seiner Entdeckung der Zerlegung eines Strahls weißen Lichts in Strahlen verschiedener Farben durch ein Prisma ausgearbeitet. Die vollständige Erklärung der Theorie des Regenbogens folgte aus dieser Entdeckung. Diese Entdeckungen bildeten den Gegenstand der Vorlesungen, die er als Lucasian Professor in den Jahren 1669, 1670 und 1671 hielt. Die wichtigsten neuen Ergebnisse wurden in einem Papier zusammengefasst, das im Februar 1672 der Royal Society übermittelt und anschließend in den Philosophical Transactions veröffentlicht wurde. Das Manuskript seiner ursprünglichen Vorlesungen wurde 1729 unter dem Titel Lectiones Opticae gedruckt. Dieses Werk ist in zwei Bücher unterteilt, von denen das erste vier Abschnitte und das zweite fünf enthält. Der erste Abschnitt des ersten Buches behandelt die Zerlegung des Sonnenlichts durch ein Prisma aufgrund der ungleichen Brechbarkeit der Strahlen, die es zusammensetzen, und eine Beschreibung seiner Experimente wird hinzugefügt. Der zweite Abschnitt enthält einen Bericht über die Methode, die Newton erfunden hat, um die Brechungskoeffizienten verschiedener Körper zu bestimmen. Dies geschieht, indem ein Strahl durch ein Prisma des Materials geleitet wird, sodass die Ablenkung ein Minimum ist; und er beweist, dass, wenn der Winkel des Prismas i und die Ablenkung des Strahls δ ist, der Brechungsindex sin ½ (i + δ) cosec ½ i sein wird. Der dritte Abschnitt behandelt die Brechungen an ebenen Flächen; hier zeigt er, dass, wenn ein Strahl durch ein Prisma mit minimaler Ablenkung geht, der Einfallswinkel gleich dem Austrittswinkel ist; der größte Teil dieses Abschnitts ist geometrischen Lösungen verschiedener Probleme gewidmet. Der vierte Abschnitt enthält eine Diskussion über Brechungen an gekrümmten Flächen. Das zweite Buch behandelt seine Theorie der Farben und des Regenbogens.
Durch ein kurioses Kapitel von Unfällen gelang es Newton nicht, die chromatische Aberration von zwei Farben durch ein Paar Prismen zu korrigieren. Daher gab er die Hoffnung auf, ein brechendes Teleskop zu bauen, das achromatisch sein sollte, und entwarf stattdessen ein reflektierendes Teleskop, wahrscheinlich nach dem Modell eines kleinen, das er 1668 gebaut hatte. Die Form, die er verwendete, ist die, die noch heute nach ihm benannt ist; die Idee dazu wurde ihm natürlich durch Gregorys Teleskop nahegelegt. 1672 erfand er ein reflektierendes Mikroskop, und einige Jahre später erfand er das Sextant, das 1731 von J. Hadley wiederentdeckt wurde.
Seine Professurvorlesungen von 1673 bis 1683 behandelten Algebra und die Theorie der Gleichungen und werden im Folgenden beschrieben; aber ein Großteil seiner Zeit während dieser Jahre war mit anderen Untersuchungen beschäftigt, und ich möchte anmerken, dass Newton während seines gesamten Lebens mindestens ebenso viel Aufmerksamkeit der Chemie und Theologie gewidmet haben muss wie der Mathematik, obwohl seine Schlussfolgerungen nicht von ausreichendem Interesse sind, um hier erwähnt zu werden. Seine Theorie der Farben und seine Ableitungen aus seinen optischen Experimenten wurden zunächst mit erheblichem Nachdruck angegriffen. Die Korrespondenz, die dies für Newton mit sich brachte, nahm fast seine gesamte Freizeit in den Jahren 1672 bis 1675 in Anspruch und erwies sich als äußerst unangenehm für ihn. Am 9. Dezember 1675 schrieb er: "Ich wurde so verfolgt von Diskussionen, die aus meiner Lichttheorie entstanden, dass ich meine eigene Unbesonnenheit dafür beschuldigte, mit einem so substanziellen Segen wie meiner Ruhe zu brechen, um einem Schatten nachzujagen." Wiederum bemerkte er am 18. November 1676: "Ich sehe, ich habe mich zu einem Sklaven der Philosophie gemacht; aber wenn ich die Angelegenheit von Mr. Linus loswerde, werde ich entschlossen für immer Lebewohl dazu sagen, außer für das, was ich zu meinem privaten Vergnügen tue, oder was ich hinterlasse, um nach mir herauszukommen; denn ich sehe, ein Mann muss entweder beschließen, nichts Neues herauszugeben, oder ein Sklave werden, um es zu verteidigen." Die unvernünftige Abneigung, seine Schlussfolgerungen in Frage gestellt zu sehen oder in irgendeine Korrespondenz darüber verwickelt zu werden, war ein herausragendes Merkmal von Newtons Charakter.
Newton war tief interessiert an der Frage, wie die Effekte des Lichts tatsächlich erzeugt wurden, und bis Ende 1675 hatte er die corpuscularische oder Emissionstheorie ausgearbeitet und gezeigt, wie sie alle verschiedenen Phänomene der geometrischen Optik, wie Reflexion, Brechung, Farben, Beugung usw., erklären würde. Um dies zu tun, war er jedoch gezwungen, einen etwas künstlichen Zusatz hinzuzufügen, dass seine Corpuskel wechselnde Anfälle von einfacher Reflexion und einfacher Brechung hatten, die ihnen durch einen Äther vermittelt wurden, der den Raum füllte. Die Theorie ist heute als unhaltbar bekannt, aber es sollte beachtet werden, dass Newton sie als Hypothese formulierte, aus der bestimmte Ergebnisse folgen würden: es scheint, dass er die Wellentheorie als intrinsisch wahrscheinlicher ansah, aber die Schwierigkeit, die Beugung nach dieser Theorie zu erklären, führte ihn dazu, eine andere Hypothese vorzuschlagen.
Newton's corpuscularische Theorie wurde in Memoiren dargelegt, die im Dezember 1675 der Royal Society übermittelt wurden, die im Wesentlichen in seinen Optiken, veröffentlicht 1704, wiedergegeben sind. In letzterem Werk behandelte er ausführlich seine Theorie der Anfälle einfacher Reflexion und Transmission sowie die Farben dünner Platten, zu denen er eine Erklärung der Farben dicker Platten [bk. II, Teil 4] und Beobachtungen zur Ablenkung des Lichts [bk. III] hinzufügte.
Zwei Briefe, die Newton im Jahr 1676 schrieb, sind ausreichend interessant, um eine Erwähnung wert zu sein. Leibniz, der 1673 in London gewesen war, hatte einige Ergebnisse der Royal Society mitgeteilt, die er für neu hielt, die ihm jedoch als zuvor von Mouton bewiesen aufgezeigt wurden. Dies führte zu einer Korrespondenz mit Oldenburg, dem Sekretär der Gesellschaft. 1674 schrieb Leibniz, dass er "allgemeine analytische Methoden besitze, die auf unendlichen Reihen basieren." Oldenburg antwortete ihm, dass Newton und Gregory solche Reihen in ihren Arbeiten verwendet hatten. Als Antwort auf eine Anfrage nach Informationen schrieb Newton am 13. Juni 1676 und gab einen kurzen Bericht über seine Methode, fügte jedoch die Erweiterungen eines Binoms (das heißt, den binomischen Lehrsatz) und von sin -1 x hinzu; aus letzterem leitete er das von sin x ab: dies scheint das früheste bekannte Beispiel einer Umkehrung von Reihen zu sein. Er fügte auch einen Ausdruck für die Rektifikation eines elliptischen Bogens in einer unendlichen Reihe ein.
Leibniz schrieb am 27. August und bat um ausführlichere Details; und Newton gab in einer langen, aber interessanten Antwort, datiert auf den 34. Oktober 1676 und über Oldenburg gesendet, einen Bericht über die Art und Weise, wie er zu einigen seiner Ergebnisse gekommen war.
In diesem Brief beginnt Newton zu sagen, dass er insgesamt drei Methoden für die Expansion in Reihen verwendet hat. Seine erste wurde aus dem Studium der Interpolationsmethode abgeleitet, mit der Wallis Ausdrücke für die Fläche eines Kreises und einer Hyperbel gefunden hatte. So deduzierte er durch Interpolationen das Gesetz, das die aufeinanderfolgenden Koeffizienten in den Erweiterungen von (1—x²) 1/2, (1—x²) 3/2, ... verbindet; und dann erhielt er durch Analogie den Ausdruck für das allgemeine Glied in der Erweiterung eines Binoms, das heißt, den binomischen Lehrsatz. Er sagt, dass er dies testete, indem er das Quadrat der Erweiterung von (1—x²) 1/2 bildete, das sich auf 1—x² reduzierte; und er verfuhr auf ähnliche Weise mit anderen Erweiterungen. Er testete dann den Lehrsatz im Fall von (1—x²) 1/2, indem er die Quadratwurzel von 1—x² extrahierte, mehr arithmetisch. Er verwendete auch die Reihen, um die Flächen des Kreises und der Hyperbel in unendlichen Reihen zu bestimmen, und stellte fest, dass die Ergebnisse die gleichen waren wie die, die er auf andere Weise erzielt hatte.
Nachdem er dieses Ergebnis festgestellt hatte, verworf er die Methode der Interpolation in Reihen und verwendete seinen binomischen Lehrsatz, um (wenn möglich) die Ordinate einer Kurve in einer unendlichen Reihe in aufsteigenden Potenzen der Abszisse auszudrücken, und so erhielt er durch Wallis' Methode Ausdrücke in unendlichen Reihen für die Flächen und Bögen von Kurven in der Weise, die im Anhang zu seinen Optiken und in seiner De Analysi per Equationes Numero Terminorum Infinitas beschrieben ist. Er erklärt, dass er diese zweite Methode vor der Pest 1665-66 angewendet hatte, und fährt fort zu sagen, dass er dann gezwungen war, Cambridge zu verlassen, und anschließend (vermutlich bei seiner Rückkehr nach Cambridge) aufhörte, diese Ideen zu verfolgen, da er fand, dass Nicholas Mercator einige davon in seiner Logarithmo-technica, veröffentlicht 1668, verwendet hatte; und er nahm an, dass der Rest entdeckt worden war oder entdeckt werden würde, bevor er selbst seine Entdeckungen veröffentlichen konnte.
Newton erklärt dann, dass er auch eine dritte Methode hatte, von der (sagt er) er etwa 1669 einen Bericht an Barrow und Collins geschickt hatte, die durch Anwendungen auf Flächen, Rektifikation, Kubatur usw. veranschaulicht wurde. Dies war die Methode der Fluxionen; aber Newton gibt hier keine Beschreibung davon, obwohl er einige Illustrationen ihrer Verwendung hinzufügt. Die erste Illustration betrifft die Quadratur der Kurve, die durch die Gleichung
y = ax^m (b + cx^n)^p,
repräsentiert wird, die er sagt, kann als Summe von (m + 1)/n Gliedern durchgeführt werden, wenn (m + 1)/n eine positive ganze Zahl ist, und die er denkt, kann nicht anders durchgeführt werden, außer durch eine unendliche Reihe. [Das ist nicht so, die Integration ist möglich, wenn p + (m + 1)/n eine ganze Zahl ist.] Er gibt auch eine Liste anderer Formen, die sofort integrierbar sind, von denen die wichtigsten sind
,
,
,
;
wobei m eine positive ganze Zahl und n eine beliebige Zahl ist. Schließlich weist er darauf hin, dass die Fläche einer Kurve leicht ungefähr durch die Methode der Interpolation bestimmt werden kann, die unten bei der Diskussion seiner Methodus Differentialis beschrieben wird.
Am Ende seines Briefes spielt Newton auf die Lösung des "inverse Problems der Tangenten" an, ein Thema, zu dem Leibniz um Informationen gebeten hatte. Er gibt Formeln zur Umkehrung beliebiger Reihen an, sagt jedoch, dass er neben diesen Formeln zwei Methoden zur Lösung solcher Fragen hat, die er vorerst nicht beschreiben wird, außer durch ein Anagramm, das, wenn es gelesen wird, wie folgt lautet: "Una methodus consistit in extractione fluentis quantitatis ex aequatione simul involvente fluxionem ejus: altera tantum in assumptione seriei pro quantitate qualibet incognita ex qua caetera commode derivari possunt, et in collatione terminorum homologorum aequationis resultantis, as eruendos terminos assumptae seriei."
Er impliziert in diesem Brief, dass ihn die Fragen, die ihm gestellt werden, und die Kontroversen, die über jedes neue Thema, das er produziert, aufgeworfen werden, beunruhigen, was seine Unbesonnenheit beim Veröffentlichen zeigt: "quod umbram captando eatenus perdideram quietem meam, rem prorsus substantialem."
Leibniz erklärt in seiner Antwort, datiert auf den 21. Juni 1677, seine Methode, Tangenten an Kurven zu ziehen, die er sagt, "nicht durch Fluxionen von Linien, sondern durch die Unterschiede von Zahlen" verläuft; und er führt seine Notation dx und dy für die infinitesimalen Unterschiede zwischen den Koordinaten zweier aufeinanderfolgender Punkte auf einer Kurve ein. Er gibt auch eine Lösung des Problems an, eine Kurve zu finden, deren Subtangente konstant ist, was zeigt, dass er integrieren konnte.
1679 schrieb Hooke auf Anfrage der Royal Society an Newton und äußerte die Hoffnung, dass er weitere Mitteilungen an die Gesellschaft machen würde, und informierte ihn über verschiedene kürzlich entdeckte Fakten. Newton antwortete, dass er das Studium der Philosophie aufgegeben hatte, fügte jedoch hinzu, dass die tägliche Bewegung der Erde durch das Experiment bewiesen werden könnte, indem man die Abweichung von der Senkrechten eines Steins beobachtet, der aus einer Höhe auf den Boden fallen gelassen wird – ein Experiment, das später von der Gesellschaft durchgeführt und erfolgreich war. Hooke erwähnte in seinem Brief Picards geodätische Forschungen; in diesen verwendete Picard einen Wert für den Radius der Erde, der im Wesentlichen korrekt ist. Dies führte Newton dazu, mit Picards Daten seine Berechnungen von 1666 zur Mondumlaufbahn zu wiederholen, und so verifizierte er seine Annahme, dass die Schwerkraft bis zum Mond reicht und umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung variiert. Er fuhr dann fort, die allgemeine Theorie der Bewegung eines Teilchens unter einer zentripetalen Kraft zu betrachten, das heißt, einer Kraft, die auf einen festen Punkt gerichtet ist, und zeigte, dass der Vektor in gleichen Zeiten gleiche Flächen überstreichen würde. Er bewies auch, dass, wenn ein Teilchen eine Ellipse unter einer zentripetalen Kraft zu einem Fokus beschreibt, das Gesetz das der umgekehrten Quadrate der Entfernung vom Fokus sein muss, und umgekehrt, dass die Umlaufbahn eines Teilchens, das unter dem Einfluss einer solchen Kraft projiziert wird, konisch (oder, so dachte er, nur eine Ellipse) wäre. Indem er seiner Regel folgte, nichts zu veröffentlichen, was ihn in eine wissenschaftliche Kontroverse bringen könnte, wurden diese Ergebnisse in seinen Notizbüchern eingeschlossen, und es war nur eine spezifische Frage, die ihm fünf Jahre später gestellt wurde, die zu ihrer Veröffentlichung führte.
Die Universal Arithmetic, die sich mit Algebra, der Theorie der Gleichungen und verschiedenen Problemen befasst, enthält den Inhalt von Newtons Vorlesungen in den Jahren 1673 bis 1683. Sein Manuskript davon ist noch erhalten; Whiston erhielt eine etwas widerwillige Erlaubnis von Newton, es zu drucken, und es wurde 1707 veröffentlicht. Unter mehreren neuen Theoremen zu verschiedenen Punkten in der Algebra und der Theorie der Gleichungen formuliert Newton hier die folgenden wichtigen Ergebnisse. Er erklärt, dass die Gleichung, deren Wurzeln die Lösung eines gegebenen Problems sind, so viele Wurzeln haben wird, wie es verschiedene mögliche Fälle gibt; und er betrachtet, wie es kommt, dass die Gleichung, zu der ein Problem führt, Wurzeln enthalten kann, die die ursprüngliche Frage nicht erfüllen. Er erweitert Descartes' Regel der Vorzeichen, um Grenzen für die Anzahl der imaginären Wurzeln zu geben. Er verwendet das Prinzip der Kontinuität, um zu erklären, wie zwei reelle und ungleiche Wurzeln imaginär werden können, wenn sie durch Gleichheit gehen, und veranschaulicht dies durch geometrische Überlegungen; von dort zeigt er, dass imaginäre Wurzeln paarweise auftreten müssen. Newton gibt auch hier Regeln an, um eine obere Grenze für die positiven Wurzeln einer numerischen Gleichung zu finden und die ungefähren Werte der numerischen Wurzeln zu bestimmen. Er formuliert ferner den Lehrsatz, der nach ihm benannt ist, um die Summe der n-ten Potenzen der Wurzeln einer Gleichung zu finden, und legte das Fundament der Theorie der symmetrischen Funktionen der Wurzeln einer Gleichung.
Das interessanteste Theorem, das in dem Werk enthalten ist, ist sein Versuch, eine Regel (analog zu der von Descartes für reelle Wurzeln) zu finden, mit der die Anzahl der imaginären Wurzeln einer Gleichung bestimmt werden kann. Er wusste, dass das Ergebnis, das er erhielt, nicht allgemein wahr war, aber er gab keinen Beweis und erklärte nicht, was die Ausnahmen von der Regel waren. Sein Theorem lautet wie folgt. Angenommen, die Gleichung ist n-ten Grades, angeordnet in absteigenden Potenzen von x (der Koeffizient von x^n ist positiv), und nehmen wir an, dass die n + 1 Brüche
gebildet und unter den entsprechenden Termen der Gleichung geschrieben werden, dann, wenn das Quadrat eines Terms, wenn es mit dem entsprechenden Bruch multipliziert wird, größer ist als das Produkt der Terme auf jeder Seite davon, setzen Sie ein Pluszeichen darüber: andernfalls setzen Sie ein Minuszeichen darüber und setzen Sie ein Pluszeichen über die ersten und letzten Terme. Betrachten Sie nun zwei aufeinanderfolgende Terme in der ursprünglichen Gleichung und die beiden Symbole, die über ihnen geschrieben sind. Dann können wir einen der vier folgenden Fälle haben: (α) die Terme des gleichen Vorzeichens und die Symbole des gleichen Vorzeichens; (β) die Terme des gleichen Vorzeichens und die Symbole entgegengesetzten Vorzeichens; (γ) die Terme entgegengesetzten Vorzeichens und die Symbole des gleichen Vorzeichens; (δ) die Terme entgegengesetzten Vorzeichens und die Symbole entgegengesetzten Vorzeichens. Dann wurde gezeigt, dass die Anzahl der negativen Wurzeln die Anzahl der Fälle (α) nicht überschreiten wird, und die Anzahl der positiven Wurzeln wird die Anzahl der Fälle (γ) nicht überschreiten; und daher ist die Anzahl der imaginären Wurzeln nicht geringer als die Anzahl der Fälle (β) und (δ). Mit anderen Worten, die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Reihe der Symbole, die über der Gleichung geschrieben sind, ist eine untere Grenze für die Anzahl der imaginären Wurzeln. Newton behauptete jedoch, dass "man fast wissen kann, wie viele Wurzeln unmöglich sind", indem man die Vorzeichenwechsel in der Reihe der Symbole zählt, die wie oben beschrieben gebildet werden. Das heißt, er dachte, dass im Allgemeinen die tatsächliche Anzahl der positiven, negativen und imaginären Wurzeln durch die Regel und nicht nur durch obere oder untere Grenzen für diese Zahlen ermittelt werden könnte. Aber obwohl er wusste, dass die Regel nicht universell war, konnte er nicht finden (oder gab zumindest nicht an), was die Ausnahmen davon waren: dieses Problem wurde später von Campbell, Maclaurin, Euler und anderen Autoren diskutiert; schließlich gelang es Sylvester 1865, das allgemeine Ergebnis zu beweisen.
Im August 1684 kam Halley nach Cambridge, um Newton über das Gesetz der Gravitation zu konsultieren. Hooke, Huygens, Halley und Wren hatten alle vermutet, dass die Anziehungskraft der Sonne oder der Erde auf ein externes Teilchen umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung variierte. Diese Autoren scheinen unabhängig gezeigt zu haben, dass, wenn Keplers Schlussfolgerungen rigoros wahr wären, was sie sich nicht ganz sicher waren, das Gesetz der Anziehung das des umgekehrten Quadrats sein müsste. Wahrscheinlich war ihr Argument wie folgt. Wenn v die Geschwindigkeit eines Planeten, r der Radius seiner Umlaufbahn, der als Kreis betrachtet wird, und T seine Periodenzeit ist, dann gilt v = 2πr/T. Aber wenn f die Beschleunigung zum Mittelpunkt des Kreises ist, haben wir f = 4π²r/T². Nun, nach Keplers drittem Gesetz variiert T² als r³; daher variiert f umgekehrt als r². Sie konnten jedoch aus dem Gesetz die Umlaufbahnen der Planeten nicht ableiten. Halley erklärte, dass ihre Untersuchungen durch ihre Unfähigkeit, dieses Problem zu lösen, gestoppt wurden, und fragte Newton, ob er herausfinden könne, was die Umlaufbahn eines Planeten wäre, wenn das Gesetz der Anziehung das des umgekehrten Quadrats wäre. Newton antwortete sofort, dass es eine Ellipse sei, und versprach, die Demonstration, die er 1679 gefunden hatte, zu senden oder neu zu schreiben. Dies wurde im November 1684 gesendet.
Angestachelt von Halley kehrte Newton nun zu dem Problem der Gravitation zurück; und vor dem Herbst 1684 hatte er den Inhalt der Propositionen 1-19, 21, 30, 32-35 im ersten Buch der Principia ausgearbeitet. Diese zusammen mit Notizen über die Gesetze der Bewegung und verschiedenen Lemmas wurden für seine Vorlesungen im Michaelmas-Term 1684 gelesen.
Im November erhielt Halley Newtons versprochene Mitteilung, die wahrscheinlich den Inhalt der Propositionen 1, 11 und entweder Proposition 17 oder den ersten Korollar von Proposition 13 umfasste; daraufhin ging Halley erneut nach Cambridge, wo er "eine neugierige Abhandlung, De Motu, die seit August verfasst wurde" sah. Höchstwahrscheinlich enthielt dies Newtons Manuskriptnotizen der oben erwähnten Vorlesungen: diese Notizen sind jetzt in der Universitätsbibliothek und tragen die Überschrift "De Motu Corporum". Halley bat darum, dass die Ergebnisse veröffentlicht werden könnten, und sicherte sich schließlich das Versprechen, dass sie der Royal Society übermittelt werden sollten: sie wurden der Gesellschaft spätestens im Februar 1685 in dem Papier De Motu mitgeteilt, das den Inhalt der folgenden Propositionen in den Principia, Buch I, Props. 1, 4, 6, 7, 10, 11, 15, 17, 32; Buch II, Props. 2, 3, 4, enthält.
Es scheint auch dem Einfluss und der Taktik von Halley bei seinem Besuch im November 1684 zu verdanken zu sein, dass Newton sich entschloss, das gesamte Problem der Gravitation anzugehen, und sich praktisch verpflichtete, seine Ergebnisse zu veröffentlichen: diese sind in den Principia enthalten. Bis zu diesem Zeitpunkt hatte Newton die Anziehung einer sphärischen Masse auf einen externen Punkt noch nicht bestimmt, noch hatte er die Details der planetarischen Bewegungen berechnet, selbst wenn die Mitglieder des Sonnensystems als Punkte betrachtet werden könnten. Das erste Problem wurde 1685 gelöst, wahrscheinlich entweder im Januar oder im Februar. "Kaum hatte Newton diesen großartigen Lehrsatz bewiesen – und wir wissen aus seinen eigenen Worten, dass er keine Erwartung eines so schönen Ergebnisses hatte, bis es aus seiner mathematischen Untersuchung hervorging – da lag die gesamte Mechanik des Universums auf einmal vor ihm ausgebreitet. Als er die Theoreme entdeckte, die die ersten drei Abschnitte des Buches I bilden, als er sie in seinen Vorlesungen von 1684 gab, war ihm nicht bewusst, dass die Sonne und die Erde ihre Anziehungskräfte ausübten, als wären sie nur Punkte. Wie anders mussten diese Propositionen in Newtons Augen erscheinen, als ihm klar wurde, dass diese Ergebnisse, von denen er geglaubt hatte, sie seien nur annähernd wahr, wenn sie auf das Sonnensystem angewendet wurden, tatsächlich exakt waren! Bis dahin waren sie nur insoweit wahr, als er die Sonne als Punkt im Vergleich zur Entfernung der Planeten oder die Erde als Punkt im Vergleich zur Entfernung des Mondes betrachten konnte – eine Entfernung, die nur etwa sechzigmal dem Radius der Erde entsprach – aber jetzt waren sie mathematisch wahr, abgesehen von der leichten Abweichung von einer perfekt sphärischen Form der Sonne, Erde und Planeten. Wir können uns die Wirkung dieses plötzlichen Übergangs von Annäherung zu Genauigkeit vorstellen, um Newtons Geist zu noch größeren Anstrengungen zu stimulieren. Es war ihm nun möglich, mathematische Analysen mit absoluter Präzision auf die tatsächlichen Probleme der Astronomie anzuwenden."
Von den drei grundlegenden Prinzipien, die in den Principia angewendet werden, können wir sagen, dass die Idee, dass jedes Teilchen jedes andere Teilchen im Universum anzieht, mindestens so früh wie 1666 formuliert wurde; das Gesetz der gleichmäßigen Beschreibung von Flächen, seine Konsequenzen und die Tatsache, dass, wenn das Gesetz der Anziehung das des umgekehrten Quadrats wäre, die Umlaufbahn eines Teilchens um ein Kraftzentrum eine Kegelschnitte wäre, wurden 1679 bewiesen; und schließlich wurde die Entdeckung, dass eine Kugel, deren Dichte an jedem Punkt nur von der Entfernung vom Zentrum abhängt, einen externen Punkt anzieht, als ob die gesamte Masse an ihrem Zentrum gesammelt wäre, 1685 gemacht. Es war diese letzte Entdeckung, die es ihm ermöglichte, die ersten beiden Prinzipien auf die Phänomene von Körpern endlicher Größe anzuwenden.
Der Entwurf des ersten Buches der Principia wurde vor dem Sommer 1685 fertiggestellt, aber die Korrekturen und Ergänzungen benötigten einige Zeit, und das Buch wurde erst am 28. April 1686 der Royal Society übergeben. Dieses Buch widmet sich der Betrachtung der Bewegung von Teilchen oder Körpern im freien Raum, entweder in bekannten Umlaufbahnen oder unter dem Einfluss bekannter Kräfte oder unter ihrer gegenseitigen Anziehung; und insbesondere der Angabe, wie die Effekte störender Kräfte berechnet werden können. In ihm generalisiert Newton das Gesetz der Anziehung zu einer Aussage, dass jedes Materieteilchen im Universum jedes andere Teilchen mit einer Kraft anzieht, die direkt proportional zum Produkt ihrer Massen und umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung zwischen ihnen variiert; und er leitet von dort das Gesetz der Anziehung für sphärische Schalen konstanter Dichte ab. Das Buch wird von einer Einführung in die Wissenschaft der Dynamik eingeleitet, die die Grenzen mathematischer Untersuchungen definiert. Sein Ziel, sagt er, ist es, Mathematik auf die Phänomene der Natur anzuwenden; unter diesen Phänomenen ist Bewegung eines der wichtigsten; nun ist Bewegung die Wirkung von Kraft, und obwohl er nicht weiß, was die Natur oder der Ursprung der Kraft ist, können dennoch viele ihrer Effekte gemessen werden; und es sind diese, die den Gegenstand der Arbeit bilden.
