Almost contemporaneously with the publication in 1637 of Descartes' geometry, the principles of the integral calculus, so far as they are concerned with summation, were being worked out in Italy. This was effected by what was called the principle of indivisibles, and was the invention of Cavalieri. It was applied by him and his contemporaries to numerous problems connected with the quadrature of curves and surfaces, the determination on volumes, and the positions of centres of mass. It served the same purpose as the tedious method of exhaustions used by the Greeks; in principle the methods are the same, but the notation of indivisibles is more concise and convenient. It was, in its turn, superceded at the beginning of the eighteenth century by the integral calculus.
Bonaventura Cavalieri was born at Milan in 1598, and died at Bologna on November 27, 1647. He became a Jesuit at an early age; on the recommendation of the Order he was in 1629 made professor of mathematics at Bologna; and he continued to occupy the chair there until his death. I have already mentioned Cavalieri's name in connection with the introduction of the use of logarithms into Italy, and have alluded to his discovery of the expression for the area of a spherical triangle in terms of the spherical excess. He was one of the most influential mathematicians of his time, but his subsequent reputation rests mainly on his invention of the principle of indivisibles.
The principle of indivisibles had been used by Kepler in 1604 and 1615 in a somewhat crude form. It was first stated by Cavalieri in 1629, but he did not publish his results till 1635. In his early enunciation of the principle in 1635 Cavalieri asserted that a line was made up of an infinite number of points (each without magnitude), a surface of infinite number of lines (each without breadth), and a volume of an infinite number of surfaces (each without thickness). To meet the objections of Guldinus and others, the statement was recast, and in its final form as used by the mathematicians of the seventeenth century it was published in Cavalieri's Exercitationes Geometricae in 1647; the third exercise is devoted to a defence of the theory. This book contains the earliest demonstration of the properties of Pappus. Cavalieri's works on indivisibles were reissued with his later corrections in 1653.
The method of indivisibles rests, in effect, on the assumption that any magnitude may be divided into an infinite number of small quantities which can be made to bear any required ratios ( ex. gr. equality) one to the other. The analysis given by Cavalieri is hardly worth quoting except as being one of the first steps taken towards the formation of an infinitesimal calculus. One example will suffice. Suppose it be required to find the area of a right-angled triangle. Let the base be made up of, or contain n points (or indivisibles), and similarly let the other side contain na points, then the ordinates at the successive points of the base will contain a , 2 a ..., na points. Therefore the number of points in the area is a + 2 a + ... + na ; the sum of which is 1/2 n 2 a + 1/2 na . Since n is very large, we may neglect 1/2 na for it is inconsiderable compared with 1/2 n 2 a . Hence the area is equal to 1/2( na ) n , that is, 1/2 x altitude x base. There is no difficulty in criticizing such a proof, but, although the form in which it is presented is indefensible, the substance of it is correct.
It would be misleading to give the above as the only specimen of the method of indivisibles, and I therefore quote another example, taken from a later writer, which will fairly illustrate the use of the method when modified and corrected by the method of limits.
Let it be required to find the area outside a parabola APC and bounded by the curve, the tangent at A , and a line DC parallel to AB the diameter at A . Complete the parallelogram ABCD . Divide AD into n equal parts, let AM contain r of them, and let MN be the ( r + 1)th part. Draw MP and NQ parallel to AB , and draw PR parallel to AD . Then when n becomes indefinitely large, the curvilinear area APCD will be the the limit of the sum of all parallelograms like PN . Now
area PN : area BD = MP . MN : DC . AD .
But by the properties of the parabola
MP : DC = AM 2 : AD 2 = r 2 : n 2 ,
and MN : AD = 1 : n . Hence MP . MN : DC . AD = r 2 : n 3 . Therefore area PN : area BD = r 2 : n 3 . Therefore, ultimately,
area APCD : area BD = 1 2 + 2 2 + ... + (n-1) 2 : n 3 = 1/6 n (n-1)(2n-1) : n 3
which, in the limit, = 1 : 3.
It is perhaps worth noticing that Cavalieri and his successors always used the method to find the ratio of two areas, volumes, or magnitudes of the same kind and dimensions, that is, they never thought of an area as containing so many units of area. The idea of comparing a magnitude with a unit of the same kind seems to have been due to Wallis.
It is evident that in its direct form the method is applicable to only a few curves. Cavalieri proved that, if m be a positive integer, then the limit, when n is infinite, of (1 m + 2 m + ... + n m )/ n m+1 is 1/( m +1), which is equivalent to saying that he found the integral of x to x m from x = 0 to x = 1; he also discussed the quadrature of the hyperbola.
Antecedentes e introducción del autor
Este texto presenta la obra pionera de Bonaventura Cavalieri, una figura importante en la historia de las matemáticas a principios del siglo XVII. Nacido en Milán en 1598, Cavalieri fue sacerdote jesuita y profesor de matemáticas en Bolonia. Su trabajo sentó las bases del cálculo integral, una rama de las matemáticas que se ocupa de sumar cantidades infinitamente pequeñas para hallar áreas, volúmenes y otras cantidades. El principio de los indivisibles de Cavalieri fue una idea revolucionaria que ayudó a los matemáticos a ir más allá de los antiguos métodos griegos de agotamiento, ofreciendo un enfoque más sencillo y flexible para calcular áreas y volúmenes.
Comprender el principio de los indivisibles
El principio de Cavalieri establece que una línea está formada por infinitos puntos, una superficie por infinitas líneas y un volumen por infinitas superficies. Esta idea puede sonar abstracta o incluso confusa al principio, pero es un paso clave hacia el concepto de integración en el cálculo moderno. Al imaginar las formas como compuestas por rebanadas o puntos infinitamente delgados, Cavalieri pudo calcular áreas y volúmenes comparando estas rebanadas entre diferentes formas.
Por ejemplo, para hallar el área de un triángulo rectángulo, Cavalieri imaginó la base formada por muchos puntos y la altura que contenía un número proporcional de puntos. Al sumar estos puntos, llegó a la fórmula familiar para el área de un triángulo: la mitad de la base por la altura. Aunque su método carecía del rigor que esperamos hoy en día, la idea subyacente era correcta y allanó el camino para los futuros matemáticos.
Significado e impacto
La obra de Cavalieri fue significativa porque introdujo una nueva forma de pensar sobre la geometría y la medición que era más intuitiva y menos engorrosa que los métodos anteriores. Su principio de los indivisibles anticipó el cálculo integral desarrollado más tarde por Newton y Leibniz. Este método permitió a los matemáticos resolver problemas que involucraban curvas y superficies que antes eran muy difíciles o imposibles de manejar.
Su trabajo también influyó en el estudio de las parábolas, las esferas y las hipérbolas, ampliando la comprensión de estas formas y sus propiedades. El enfoque de Cavalieri ayudó a cerrar la brecha entre la geometría y el álgebra, lo que condujo a las poderosas herramientas matemáticas que se utilizan en la ciencia y la ingeniería en la actualidad.
Qué pueden aprender los estudiantes
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Creatividad e innovación matemáticas: La historia de Cavalieri muestra cómo las nuevas ideas a menudo se basan en las antiguas. Tomó el antiguo método griego de agotamiento y lo mejoró imaginando las formas como compuestas por partes indivisibles. Esto enseña a los estudiantes el valor del pensamiento creativo y la observación de los problemas desde nuevas perspectivas.
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Fundamentos del cálculo: Si bien el cálculo puede parecer complicado, el principio de Cavalieri proporciona una simple introducción al concepto de sumar infinitas partes pequeñas para hallar un todo. Comprender este principio ayuda a los estudiantes a apreciar los orígenes y la importancia del cálculo.
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Contexto histórico: Aprender sobre Cavalieri ayuda a los estudiantes a ver cómo las matemáticas se desarrollaron con el tiempo y cómo las diferentes culturas contribuyeron al conocimiento. También muestra cómo la ciencia y la religión coexistieron, ya que Cavalieri era sacerdote jesuita y matemático.
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Resolución de problemas: Los ejemplos dados, como hallar el área bajo una parábola, demuestran cómo el razonamiento matemático puede resolver problemas prácticos. Los estudiantes pueden aprender a aplicar pasos lógicos y utilizar aproximaciones para abordar preguntas complejas.
Aplicación de estas lecciones en la vida y el aprendizaje
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En la escuela: Los estudiantes pueden utilizar el principio de Cavalieri como un trampolín para comprender la integración en las clases de cálculo. Anima a descomponer los problemas complejos en partes más pequeñas y manejables, una habilidad útil en cualquier asignatura.
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En la vida diaria: La idea de sumar pequeñas partes para comprender un todo puede aplicarse en la elaboración de presupuestos, la cocina o la planificación de proyectos. Por ejemplo, la gestión del tiempo dividiendo las tareas en segmentos más pequeños refleja el enfoque indivisible.
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En situaciones sociales: La dedicación de Cavalieri tanto a la fe como a la ciencia muestra la importancia de equilibrar los diferentes aspectos de la vida y respetar los diversos campos del conocimiento. Los estudiantes pueden aprender a apreciar múltiples puntos de vista y a colaborar entre disciplinas.
Cultivar rasgos positivos a partir de la obra de Cavalieri
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Curiosidad y mentalidad abierta: La disposición de Cavalieri a explorar nuevas ideas anima a los estudiantes a mantenerse curiosos y abiertos al aprendizaje, incluso cuando los conceptos parecen difíciles o desconocidos.
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Perseverancia: Su trabajo fue inicialmente criticado y no fue totalmente aceptado, pero continuó refinando sus ideas. Esto enseña el valor de la persistencia frente a los desafíos.
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Pensamiento analítico: El método de los indivisibles requiere un análisis cuidadoso y un razonamiento lógico, habilidades que son valiosas en el ámbito académico y en la toma de decisiones cotidianas.
Conclusión
El principio de los indivisibles de Bonaventura Cavalieri es más que una simple técnica matemática; es una historia de innovación, perseverancia y la evolución de la comprensión humana. Para los estudiantes, ofrece una visión de los orígenes del cálculo y del poder de pensar de forma diferente. Al estudiar su obra, los jóvenes estudiantes pueden obtener información sobre la resolución de problemas, la historia de la ciencia y la importancia de combinar la creatividad con la lógica. Estas lecciones se extienden más allá de las matemáticas, fomentando una mentalidad curiosa, persistente y analítica, cualidades que les servirán en todas las áreas de la vida.
