Los matemáticos considerados en el último capítulo comenzaron la creación de los procesos que distinguen las matemáticas modernas. Las extraordinarias habilidades de Newton le permitieron, en pocos años, perfeccionar los procesos más elementales y avanzar claramente en todas las ramas de la ciencia matemática entonces estudiadas, así como crear algunos temas nuevos. Newton fue contemporáneo y amigo de Wallis, Huygens y otros de los mencionados en el capítulo anterior, pero aunque la mayor parte de su trabajo matemático se realizó entre los años 1665 y 1686, la mayor parte no se imprimió, al menos en forma de libro, hasta algunos años después.
Me propongo discutir las obras de Newton con más detalle que las de otros matemáticos, en parte debido a la importancia intrínseca de sus descubrimientos, y en parte porque este libro está principalmente destinado a lectores ingleses, y el desarrollo de las matemáticas en Gran Bretaña estuvo durante un siglo enteramente en manos de la escuela newtoniana.
Isaac Newton nació en Lincolnshire, cerca de Grantham, el 25 de diciembre de 1642, y murió en Kensington, Londres, el 20 de marzo de 1727. Se educó en el Trinity College, Cambridge, y vivió allí desde 1661 hasta 1696, tiempo durante el cual produjo la mayor parte de su trabajo en matemáticas; en 1696 fue nombrado para un valioso cargo gubernamental y se trasladó a Londres, donde residió hasta su muerte.
Su padre, que había muerto poco antes de que naciera Newton, era un granjero, y se pretendía que Newton continuara con la granja paterna. Fue enviado a la escuela en Grantham, donde su aprendizaje y su destreza mecánica despertaron cierta atención. En 1656 regresó a casa para aprender el oficio de agricultor, pero pasó la mayor parte de su tiempo resolviendo problemas, haciendo experimentos o ideando modelos mecánicos; su madre, al darse cuenta de esto, resolvió sensatamente encontrarle alguna ocupación más afín, y su tío, que se había educado en el Trinity College, Cambridge, recomendó que lo enviaran allí.
En 1661 Newton ingresó como estudiante en Cambridge, donde por primera vez se encontró en un entorno que probablemente desarrollaría sus poderes. Sin embargo, parece que tuvo poco interés por la sociedad en general o por cualquier actividad que no fuera la ciencia y las matemáticas. Afortunadamente, llevaba un diario, y así podemos hacernos una idea justa del curso de educación de los estudiantes más avanzados de una universidad inglesa en aquella época. No había leído ninguna matemática antes de ingresar, pero estaba familiarizado con la Lógica de Sanderson, que entonces se leía con frecuencia como preliminar a las matemáticas. Al comienzo de su primer trimestre de octubre, se encontró paseando por la Feria de Stourbridge, y allí recogió un libro sobre astrología, pero no pudo entenderlo debido a la geometría y la trigonometría. Por lo tanto, compró un Euclides, y se sorprendió al encontrar lo obvias que parecían las proposiciones. A continuación, leyó Clavis de Oughtred y Géométrie de Descartes, este último lo dominó por sí mismo, aunque con cierta dificultad. El interés que sentía por el tema le llevó a dedicarse a las matemáticas en lugar de a la química como estudio serio. Sus lecturas matemáticas posteriores como estudiante de pregrado se basaron en Óptica de Kepler, las obras de Vieta, Misceláneas de van Schooten, Géométrie de Descartes y Arithmetica Infinitorum de Wallis: también asistió a las conferencias de Barrow. Más tarde, al leer Euclides con más atención, formó una alta opinión de él como instrumento de educación, y solía expresar su pesar por no haberse aplicado a la geometría antes de pasar al análisis algebraico.
Existe un manuscrito suyo, fechado el 28 de mayo de 1665, escrito en el mismo año en que obtuvo su licenciatura, que es la primera prueba documental de su invención de las fluxiones. Fue más o menos en la misma época cuando descubrió el teorema del binomio.
Debido a la peste, el Colegio fue clausurado durante partes del año 1665 y 1666, y durante varios meses en esta época Newton vivió en casa. Este período estuvo repleto de brillantes descubrimientos. Pensó en los principios fundamentales de su teoría de la gravitación, a saber, que cada partícula de materia atrae a cualquier otra partícula, y sospechó que la atracción variaba como el producto de sus masas e inversamente como el cuadrado de la distancia entre ellas. También elaboró el cálculo de fluxiones de forma bastante completa: en un manuscrito fechado el 13 de noviembre de 1665, utilizó las fluxiones para hallar la tangente y el radio de curvatura en cualquier punto de una curva, y en octubre de 1666 las aplicó a varios problemas de la teoría de ecuaciones. Newton comunicó estos resultados a sus amigos y alumnos a partir de 1669, pero no se publicaron hasta muchos años después. También fue mientras se quedaba en casa en esta época cuando ideó algunos instrumentos para pulir lentes con formas particulares distintas de la esférica, y quizás descompuso la luz solar en diferentes colores.
Dejando de lado los detalles y tomando sólo números redondos, su razonamiento en esta época sobre la teoría de la gravitación parece haber sido el siguiente. Sospechaba que la fuerza que mantenía a la luna en su órbita alrededor de la tierra era la misma que la gravedad terrestre, y para verificar esta hipótesis procedió de la siguiente manera. Sabía que, si se dejaba caer una piedra cerca de la superficie de la tierra, la atracción de la tierra (es decir, el peso de la piedra) hacía que se moviera 16 pies en un segundo. La órbita de la luna con respecto a la tierra es casi un círculo; y como una aproximación aproximada, tomándola como tal, conocía la distancia de la luna, y por lo tanto la longitud de su trayectoria; también sabía el tiempo que tardaba la luna en dar una vuelta, es decir, un mes.
Por lo tanto, podía hallar fácilmente su velocidad en cualquier punto como M. Por lo tanto, podía hallar la distancia MT que recorrería en el siguiente segundo si no fuera atraída por la atracción de la tierra. Al final de ese segundo, sin embargo, estaba en M', y por lo tanto la tierra E debe haberla atraído a través de la distancia TM' en un segundo (suponiendo que la dirección de la atracción de la tierra sea constante). Ahora bien, él y varios físicos de la época habían conjeturado a partir de la tercera ley de Kepler que la atracción de la tierra sobre un cuerpo disminuiría a medida que el cuerpo se alejara de la tierra inversamente al cuadrado de la distancia desde el centro de la tierra; si esta fuera la ley real, y si la gravedad fuera la única fuerza que mantenía a la luna en su órbita, entonces TM' debería ser a 16 pies inversamente al cuadrado de la distancia de la luna desde el centro de la tierra al cuadrado del radio de la tierra. En 1679, cuando repitió la investigación, se descubrió que TM' tenía el valor requerido por la hipótesis, y la verificación fue completa; pero en 1666 su estimación de la distancia de la luna era inexacta, y cuando hizo el cálculo descubrió que TM' era aproximadamente un octavo menos de lo que debería haber sido según su hipótesis.
Esta discrepancia no parece haber sacudido su fe en la creencia de que la gravedad se extendía hasta la luna y variaba inversamente al cuadrado de la distancia; pero de las notas de Whiston de una conversación con Newton, parecería que Newton dedujo que alguna otra fuerza, probablemente los vórtices de Descartes, actuaba sobre la luna además de la gravedad. Esta afirmación es confirmada por el relato de Pemberton sobre la investigación. Parece, además, que Newton ya creía firmemente en el principio de la gravitación universal, es decir, que cada partícula de materia atrae a cualquier otra partícula, y sospechaba que la atracción variaba como el producto de sus masas e inversamente como el cuadrado de la distancia entre ellas; pero es seguro que entonces no sabía cuál sería la atracción de una masa esférica sobre cualquier punto externo, y no creía probable que una partícula fuera atraída por la tierra como si esta última estuviera concentrada en una sola partícula en su centro.
A su regreso a Cambridge en 1667, Newton fue elegido miembro de su colegio, y fijó permanentemente su residencia allí. A principios de 1669, o quizás en 1668, revisó las conferencias de Barrow para él. Se sabe que el final de la decimocuarta conferencia fue escrito por Newton, pero no se puede determinar ahora cuánto del resto se debe a sus sugerencias. Tan pronto como esto terminó, Barrow y Collins le pidieron que editara y añadiera notas a una traducción del Álgebra de Kinckhuysen; accedió a hacerlo, pero con la condición de que su nombre no apareciera en el asunto. En 1670 también comenzó una exposición sistemática de su análisis por series infinitas, cuyo objetivo era expresar la ordenada de una curva en una serie algebraica infinita, cada término de la cual puede ser integrado por la regla de Wallis; sus resultados sobre este tema habían sido comunicados a Barrow, Collins y otros en 1669. Esto nunca se terminó: el fragmento se publicó en 1711, pero la sustancia del mismo se había impreso como apéndice a la Óptica en 1704. Estas obras fueron sólo el fruto del tiempo libre de Newton, ya que la mayor parte de su tiempo durante estos dos años se dedicó a investigaciones ópticas.
En octubre de 1669, Barrow renunció a la cátedra lucasiana en favor de Newton. Durante su mandato como profesor, la práctica de Newton era dar conferencias públicamente una vez a la semana, durante media hora o una hora cada vez, en un trimestre de cada año, probablemente dictando sus conferencias tan rápidamente como podían ser tomadas; y en la semana siguiente a la conferencia dedicaba cuatro horas a citas que daba a los estudiantes que deseaban ir a sus habitaciones para discutir los resultados de la conferencia anterior. Nunca repitió un curso, que solía constar de nueve o diez conferencias, y generalmente las conferencias de un curso comenzaban desde el punto en que había terminado el curso anterior. Los manuscritos de sus conferencias durante diecisiete de los primeros dieciocho años de su mandato existen.
Cuando fue nombrado por primera vez, Newton eligió la óptica como tema de sus conferencias e investigaciones, y antes de finales de 1669 había elaborado los detalles de su descubrimiento de la descomposición de un rayo de luz blanca en rayos de diferentes colores por medio de un prisma. La explicación completa de la teoría del arco iris se derivó de este descubrimiento. Estos descubrimientos fueron el tema de las conferencias que impartió como profesor lucasiano en los años 1669, 1670 y 1671. Los principales resultados nuevos se incorporaron en un artículo comunicado a la Royal Society en febrero de 1672, y posteriormente publicado en las Philosophical Transactions. El manuscrito de sus conferencias originales se imprimió en 1729 con el título Lectiones Opticae. Esta obra se divide en dos libros, el primero de los cuales contiene cuatro secciones y el segundo cinco. La primera sección del primer libro trata de la descomposición de la luz solar por un prisma como consecuencia de la desigual refrangibilidad de los rayos que la componen, y se añade una descripción de sus experimentos. La segunda sección contiene una descripción del método que Newton inventó para determinar los coeficientes de refracción de diferentes cuerpos. Esto se hace haciendo pasar un rayo a través de un prisma del material de modo que la desviación sea mínima; y demuestra que, si el ángulo del prisma es i y la desviación del rayo es δ, el índice de refracción será sin ½ ( i + δ) cosec ½ i. La tercera sección trata de las refracciones en superficies planas; aquí demuestra que si un rayo pasa a través de un prisma con desviación mínima, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de emergencia; la mayor parte de esta sección se dedica a soluciones geométricas de diferentes problemas. La cuarta sección contiene una discusión de las refracciones en superficies curvas. El segundo libro trata de su teoría de los colores y del arco iris.
Por un curioso capítulo de accidentes, Newton no logró corregir la aberración cromática de dos colores por medio de un par de prismas. Por lo tanto, abandonó la esperanza de hacer un telescopio refractante que fuera acromático, y en su lugar diseñó un telescopio reflector, probablemente sobre el modelo de uno pequeño que había hecho en 1668. La forma que utilizó es la que todavía se conoce con su nombre; la idea se la sugirió naturalmente el telescopio de Gregory. En 1672 inventó un microscopio reflector, y unos años más tarde inventó el sextante que fue redescubierto por J. Hadley en 1731.
Sus conferencias como profesor de 1673 a 1683 versaron sobre álgebra y la teoría de ecuaciones, y se describen a continuación; pero gran parte de su tiempo durante estos años estuvo ocupado con otras investigaciones, y puedo señalar que a lo largo de su vida Newton debió dedicar al menos tanta atención a la química y la teología como a las matemáticas, aunque sus conclusiones no son de suficiente interés como para requerir una mención aquí. Su teoría de los colores y sus deducciones de sus experimentos ópticos fueron atacadas al principio con considerable vehemencia. La correspondencia que esto le acarreó a Newton ocupó casi todo su tiempo libre en los años 1672 a 1675, y le resultó extremadamente desagradable. Escribiendo el 9 de diciembre de 1675, dice: "Fui tan perseguido con discusiones derivadas de mi teoría de la luz, que culpé a mi propia imprudencia por deshacerme de una bendición tan sustancial como mi tranquilidad para perseguir una sombra". De nuevo, el 18 de noviembre de 1676, observa: "Veo que me he convertido en esclavo de la filosofía; pero si me deshago de los asuntos del Sr. Linus, le diré adiós resueltamente para siempre, excepto lo que hago para mi satisfacción privada, o lo que dejo para que salga después de mí; porque veo que un hombre debe resolver no publicar nada nuevo, o convertirse en esclavo para defenderlo". La irracional aversión a que se dudara de sus conclusiones o a verse envuelto en cualquier correspondencia sobre ellas fue un rasgo prominente en el carácter de Newton.
Newton estaba profundamente interesado en la cuestión de cómo se producían realmente los efectos de la luz, y a finales de 1675 había elaborado la teoría corpuscular o de emisión, y había demostrado cómo daría cuenta de todos los diversos fenómenos de la óptica geométrica, como la reflexión, la refracción, los colores, la difracción, etc. Para ello, sin embargo, se vio obligado a añadir un corolario algo artificial, que sus corpúsculos tenían alternativamente periodos de fácil reflexión y fácil refracción comunicados a ellos por un éter que llenaba el espacio. La teoría es ahora insostenible, pero cabe señalar que Newton la enunció como una hipótesis de la que se derivarían ciertos resultados: parecería que creía que la teoría ondulatoria era intrínsecamente más probable, pero fue la dificultad de explicar la difracción con esa teoría lo que le llevó a sugerir otra hipótesis.
La teoría corpuscular de Newton fue expuesta en memorias comunicadas a la Royal Society en diciembre de 1675, que se reproducen sustancialmente en su Óptica, publicada en 1704. En esta última obra trató en detalle su teoría de los periodos de fácil reflexión y transmisión, y los colores de las placas delgadas, a lo que añadió una explicación de los colores de las placas gruesas [libro II, parte 4] y observaciones sobre la inflexión de la luz [libro III].
Dos cartas escritas por Newton en el año 1676 son lo suficientemente interesantes como para justificar una alusión a ellas. Leibnitz, que había estado en Londres en 1673, había comunicado algunos resultados a la Royal Society que suponía que eran nuevos, pero a los que se le señaló que habían sido probados previamente por Mouton. Esto condujo a una correspondencia con Oldenburg, el secretario de la Sociedad. En 1674, Leibnitz escribió diciendo que poseía "métodos analíticos generales que dependen de series infinitas". Oldenburg, en respuesta, le dijo que Newton y Gregory habían utilizado tales series en su trabajo. En respuesta a una solicitud de información, Newton escribió el 13 de junio de 1676, dando una breve descripción de su método, pero añadiendo las expansiones de un binomio (es decir, el teorema del binomio) y de sin -1 x; de este último dedujo el de sin x: este parece ser el primer caso conocido de una reversión de series. También insertó una expresión para la rectificación de un arco elíptico en una serie infinita.
Leibnitz escribió el 27 de agosto pidiendo más detalles; y Newton, en una larga pero interesante respuesta, fechada el 34 de octubre de 1676, y enviada a través de Oldenburg, da una descripción de la forma en que había llegado a algunos de sus resultados.
En esta carta, Newton comienza diciendo que en total había utilizado tres métodos para la expansión en series. El primero lo obtuvo del estudio del método de interpolación mediante el cual Wallis había encontrado expresiones para el área de un círculo y una hipérbola. Así, considerando la serie de expresiones (1— x 2 ) 0/2 , (1— x 2 ) 2/2 , (1— x 2 ) 4/2 , ..., dedujo por interpolaciones la ley que conecta los coeficientes sucesivos en las expansiones de (1— x 2 ) 1/2 , (1— x 2 ) 3/2 , ...; y luego, por analogía, obtuvo la expresión para el término general en la expansión de un binomio, es decir, el teorema del binomio. Dice que procedió a probar esto formando el cuadrado de la expansión de (1— x 2 ) 1/2 , que se redujo a 1—x²; y procedió de forma similar con otras expansiones. A continuación, probó el teorema en el caso de (1— x 2 ) 1/2 extrayendo la raíz cuadrada de 1— x ², más arithmetico. También utilizó la serie para determinar las áreas del círculo y la hipérbola en series infinitas, y descubrió que los resultados eran los mismos que los que había obtenido por otros medios.
Habiendo establecido este resultado, descartó entonces el método de interpolación en serie, y empleó su teorema del binomio para expresar (cuando fuera posible) la ordenada de una curva en una serie infinita en potencias ascendentes de la abscisa, y así, por el método de Wallis, obtuvo expresiones en series infinitas para las áreas y arcos de curvas de la manera descrita en el apéndice de su Óptica y en su De Analysi per Equationes Numero Terminorum Infinitas. Afirma que había empleado este segundo método antes de la peste en 1665-66, y continúa diciendo que entonces se vio obligado a abandonar Cambridge, y posteriormente (presumiblemente a su regreso a Cambridge) dejó de perseguir estas ideas, ya que descubrió que Nicholas Mercator las había empleado en su Logarithmo-technica, publicada en 1668; y supuso que el resto se había descubierto o se descubriría antes de que él mismo publicara sus descubrimientos.
Newton explica a continuación que también tenía un tercer método, del cual (dice) había enviado una descripción a Barrow y Collins hacia 1669, ilustrada con aplicaciones a áreas, rectificación, cubatura, etc. Este era el método de las fluxiones; pero Newton no da ninguna descripción de él aquí, aunque añade algunas ilustraciones de su uso. La primera ilustración es sobre la cuadratura de la curva representada por la ecuación
y = ax m ( b + cx n ) p,
que dice que puede efectuarse como una suma de ( m + 1)/ n términos si ( m + 1)/ n es un entero positivo, y que cree que no puede efectuarse de otra manera excepto por una serie infinita. [Esto no es así, la integración es posible si p + ( m + 1)/ n es un entero.] También da una lista de otras formas que son inmediatamente integrables, de las cuales las principales son
, , , , ;
donde m es un entero positivo y n es cualquier número. Por último, señala que el área de cualquier curva puede determinarse fácilmente de forma aproximada mediante el método de interpolación descrito a continuación al discutir su Methodus Differentialis.
Al final de su carta, Newton alude a la solución del "problema inverso de las tangentes", tema sobre el que Leibnitz había pedido información. Da fórmulas para invertir cualquier serie, pero dice que, además de estas fórmulas, tiene dos métodos para resolver tales cuestiones, que por el momento no describirá excepto por un anagrama que, leído, es el siguiente: "Una methodus consistit in extractione fluentis quantitatis ex aequatione simul involvente fluxionem ejus: altera tantum in assumptione seriei pro quantitate qualibet incognita ex qua caetera commode derivari possunt, et in collatione terminorum homologorum aequationis resultantis, as eruendos terminos assumptae seriei".
Implica en esta carta que está preocupado por las preguntas que le hacen y las controversias que se suscitan sobre cada nueva materia que produce, lo que demuestra su imprudencia al publicar "quod umbram captando eatenus perdideram quietem meam, rem prorsus substantialem".
Leibnitz, en su respuesta, fechada el 21 de junio de 1677, explica su método para trazar tangentes a las curvas, que dice que procede "no por fluxiones de líneas, sino por las diferencias de los números"; e introduce su notación de dx y dy para las diferencias infinitesimales entre las coordenadas de dos puntos consecutivos de una curva. También da una solución al problema de hallar una curva cuya subtangente es constante, lo que demuestra que podía integrar.
En 1679, Hooke, a petición de la Royal Society, escribió a Newton expresando la esperanza de que hiciera más comunicaciones a la Sociedad, e informándole de varios hechos descubiertos recientemente. Newton respondió diciendo que había abandonado el estudio de la filosofía, pero añadió que el movimiento diurno de la tierra podría demostrarse mediante el experimento de observar la desviación de la perpendicular de una piedra que se deja caer desde una altura al suelo, un experimento que posteriormente realizó la Sociedad y que tuvo éxito. Hooke, en su carta, mencionó las investigaciones geodésicas de Picard; en ellas, Picard utilizó un valor del radio de la tierra que es sustancialmente correcto. Esto llevó a Newton a repetir, con los datos de Picard, sus cálculos de 1666 sobre la órbita lunar, y así verificó su suposición de que la gravedad se extendía hasta la luna y variaba inversamente al cuadrado de la distancia. A continuación, procedió a considerar la teoría general del movimiento de una partícula bajo una fuerza centrípeta, es decir, una dirigida a un punto fijo, y demostró que el vector barrería áreas iguales en tiempos iguales. También demostró que, si una partícula describe una elipse bajo una fuerza centrípeta a un foco, la ley debe ser la del inverso del cuadrado de la distancia desde el foco, y a la inversa, que la órbita de una partícula proyectada bajo la influencia de tal fuerza sería una cónica (o, tal vez, sólo pensó en una elipse). Obedeciendo su regla de no publicar nada que pudiera meterle en una controversia científica, estos resultados fueron encerrados en sus cuadernos, y sólo una pregunta específica que se le dirigió cinco años después le llevó a su publicación.
La Aritmética Universal, que trata sobre álgebra, teoría de ecuaciones y problemas diversos, contiene la sustancia de las conferencias de Newton durante los años 1673 a 1683. Su manuscrito aún existe; Whiston obtuvo de Newton un permiso algo reacio para imprimirlo, y se publicó en 1707. Entre varios teoremas nuevos sobre varios puntos del álgebra y la teoría de ecuaciones, Newton enuncia aquí los siguientes resultados importantes. Explica que la ecuación cuyas raíces son la solución de un problema dado tendrá tantas raíces como casos posibles diferentes haya; y considera cómo sucede que la ecuación a la que conduce un problema puede contener raíces que no satisfacen la pregunta original. Extiende la regla de los signos de Descartes para dar límites al número de raíces imaginarias. Utiliza el principio de continuidad para explicar cómo dos raíces reales y desiguales pueden volverse imaginarias al pasar por la igualdad, e ilustra esto con consideraciones geométricas; de ahí demuestra que las raíces imaginarias deben aparecer por pares. Newton también da aquí reglas para hallar un límite superior a las raíces positivas de una ecuación numérica, y para determinar los valores aproximados de las raíces numéricas. Además, enuncia el teorema conocido por su nombre para hallar la suma de las potencias n-ésimas de las raíces de una ecuación, y sentó las bases de la teoría de las funciones simétricas de las raíces de una ecuación.
El teorema más interesante contenido en la obra es su intento de hallar una regla (análoga a la de Descartes para las raíces reales) mediante la cual se pueda determinar el número de raíces imaginarias de una ecuación. Sabía que el resultado que obtenía no era universalmente cierto, pero no dio ninguna prueba y no explicó cuáles eran las excepciones a la regla. Su teorema es el siguiente. Supongamos que la ecuación es de grado n dispuesta en potencias descendentes de x (siendo positivo el coeficiente de x n), y supongamos que se forman las n + 1 fracciones
para que se formen y se escriban debajo de los términos correspondientes de la ecuación, entonces, si el cuadrado de cualquier término multiplicado por la fracción correspondiente es mayor que el producto de los términos a cada lado de él, ponga un signo más encima: de lo contrario, ponga un signo menos encima, y ponga un signo más encima del primer y último término. Ahora considere dos términos consecutivos cualesquiera de la ecuación original, y los dos símbolos escritos encima de ellos. Entonces podemos tener cualquiera de los cuatro casos siguientes: (α) los términos del mismo signo y los símbolos del mismo signo; (β) los términos del mismo signo y los símbolos de signos opuestos; (γ) los términos de signos opuestos y los símbolos del mismo signo; (δ) los términos de signos opuestos y los símbolos de signos opuestos. Entonces se ha demostrado que el número de raíces negativas no excederá el número de casos (α), y el número de raíces positivas no excederá el número de casos (γ); y por lo tanto el número de raíces imaginarias no es menor que el número de casos (β) y (δ). En otras palabras, el número de cambios de signo en la fila de símbolos escritos encima de la ecuación es un límite inferior al número de raíces imaginarias. Newton, sin embargo, afirmó que "casi se puede saber cuántas raíces son imposibles" contando los cambios de signo en la serie de símbolos formada como se indica. Es decir, pensaba que, en general, el número real de raíces positivas, negativas e imaginarias podía obtenerse mediante la regla y no meramente límites superiores o inferiores a estos números. Pero aunque sabía que la regla no era universal, no pudo encontrar (o al menos no declaró) cuáles eran las excepciones a la misma: este problema fue discutido posteriormente por Campbell, Maclaurin, Euler y otros escritores; por fin, en 1865, Sylvester logró demostrar el resultado general.
En agosto de 1684, Halley vino a Cambridge para consultar a Newton sobre la ley de la gravitación. Hooke, Huygens, Halley y Wren habían conjeturado que la fuerza de atracción del sol o de la tierra sobre una partícula externa variaba inversamente al cuadrado de la distancia. Estos escritores parecen haber demostrado independientemente que, si las conclusiones de Kepler fueran rigurosamente ciertas, sobre lo cual no estaban del todo seguros, la ley de la atracción debe ser la del inverso del cuadrado. Probablemente su argumento fue el siguiente. Si v es la velocidad de un planeta, r el radio de su órbita tomado como un círculo, y T su tiempo periódico, v = 2π r/T. Pero, si f es la aceleración al centro del círculo, tenemos f = 4π² r/T ². Ahora bien, por la tercera ley de Kepler, T ² varía como r ³; por lo tanto, f varía inversamente como r ². Sin embargo, no pudieron deducir de la ley las órbitas de los planetas. Halley explicó que sus investigaciones se detuvieron por su incapacidad para resolver este problema, y preguntó a Newton si podía averiguar cuál sería la órbita de un planeta si la ley de la atracción fuera la del inverso del cuadrado. Newton respondió inmediatamente que era una elipse, y prometió enviar o escribir de nuevo la demostración de la misma que había encontrado en 1679. Esto se envió en noviembre de 1684.
Instigado por Halley, Newton volvió entonces al problema de la gravitación; y antes del otoño de 1684, había elaborado la sustancia de las proposiciones 1-19, 21, 30, 32-35 del primer libro de los Principia. Estas, junto con notas sobre las leyes del movimiento y varios lemas, se leyeron para sus conferencias en el trimestre de Michaelmas, 1684.
En noviembre, Halley recibió la comunicación prometida por Newton, que probablemente consistía en la sustancia de las proposiciones 1, 11 y la proposición 17 o el primer corolario de la proposición 13; a continuación, Halley volvió a Cambridge, donde vio "un curioso tratado, De Motu, redactado desde agosto". Lo más probable es que esto contuviera las notas manuscritas de Newton de las conferencias antes mencionadas: estas notas se encuentran ahora en la biblioteca de la universidad y están encabezadas por "De Motu Corporum". Halley rogó que los resultados fueran publicados, y finalmente consiguió la promesa de que se enviarían a la Royal Society: en consecuencia, se comunicaron a la Sociedad a más tardar en febrero de 1685, en el artículo De Motu, que contiene la sustancia de las siguientes proposiciones de los Principia, libro I, props. 1, 4, 6, 7, 10, 11, 15, 17, 32; libro II, props. 2,3,4.
También parece que fue debido a la influencia y el tacto de Halley en su visita de noviembre de 1684, que Newton se comprometió a atacar todo el problema de la gravitación, y prácticamente se comprometió a publicar sus resultados: estos están contenidos en los Principia. Hasta entonces, Newton no había determinado la atracción de un cuerpo esférico sobre un punto externo, ni había calculado los detalles de los movimientos planetarios, incluso si los miembros del sistema solar pudieran ser considerados como puntos. El primer problema se resolvió en 1685, probablemente en enero o febrero. "Tan pronto", por citar el discurso del Dr. Glaisher en el bicentenario de la publicación de los Principia, "Newton demostró este magnífico teorema, y sabemos por sus propias palabras que no esperaba un resultado tan hermoso hasta que surgió de su investigación matemática, que toda la mecánica del universo se extendió ante él. Cuando descubrió los teoremas que forman las tres primeras secciones del libro I, cuando los dio en sus conferencias de 1684, no era consciente de que el sol y la tierra ejercían sus atracciones como si fueran sólo puntos. ¡Cuán diferentes debieron parecer estas proposiciones a los ojos de Newton cuando se dio cuenta de que estos resultados, que había creído que sólo eran aproximadamente ciertos cuando se aplicaban al sistema solar, eran realmente exactos! Hasta ahora sólo habían sido ciertos en la medida en que podía considerar el sol como un punto en comparación con la distancia de los planetas, o la tierra como un punto en comparación con la distancia de la luna, una distancia que ascendía a sólo unas sesenta veces el radio de la tierra, pero ahora eran matemáticamente ciertos, excepto por la ligera desviación de una forma perfectamente esférica del sol, la tierra y los planetas. Podemos imaginar el efecto de esta repentina transición de la aproximación a la exactitud en la estimulación de la mente de Newton para realizar esfuerzos aún mayores. Ahora estaba en su poder aplicar el análisis matemático con absoluta precisión a los problemas reales de la astronomía".
De los tres principios fundamentales aplicados en los Principia, podemos decir que la idea de que cada partícula atrae a cualquier otra partícula del universo se formó al menos ya en 1666; la ley de la descripción equitativa de las áreas, sus consecuencias, y el hecho de que si la ley de la atracción fuera la del inverso del cuadrado, la órbita de una partícula alrededor de un centro de fuerza sería una cónica se demostró en 1679; y, por último, el descubrimiento de que una esfera, cuya densidad en cualquier punto depende sólo de la distancia desde el centro, atrae a un punto externo como si toda la masa estuviera reunida en su centro se hizo en 1685. Fue este último descubrimiento el que le permitió aplicar los dos primeros principios a los fenómenos de los cuerpos de tamaño finito.
El borrador del primer libro de los Principia se terminó antes del verano de 1685, pero las correcciones y adiciones llevaron algún tiempo, y el libro no se presentó a la Royal Society hasta el 28 de abril de 1686. Este libro se dedica a la consideración del movimiento de partículas o cuerpos en el espacio libre, ya sea en órbitas conocidas, o bajo la acción de fuerzas conocidas, o bajo su atracción mutua; y, en particular, a indicar cómo pueden calcularse los efectos de las fuerzas perturbadoras. En él, Newton también generaliza la ley de la atracción en una afirmación de que cada partícula de materia en el universo atrae a cualquier otra partícula con una fuerza que varía directamente como el producto de sus masas, e inversamente como el cuadrado de la distancia entre ellas; y de ahí deduce la ley de la atracción para las capas esféricas de densidad constante. El libro está precedido por una introducción sobre la ciencia de la dinámica, que define los límites de la investigación matemática. Su objetivo, dice, es aplicar las matemáticas a los fenómenos de la naturaleza; entre estos fenómenos, el movimiento es uno de los más importantes; ahora bien, el movimiento es el efecto de la fuerza, y, aunque no sabe cuál es la naturaleza u origen de la fuerza, aún así se pueden medir muchos de sus efectos; y son estos los que constituyen el tema de la obra.
El segundo libro de los Principia se completó en el verano de 16
