सर आइजैक न्यूटन - डब्ल्यू.डब्ल्यू. राउज़ बॉल द्वारा गणित के इतिहास का एक संक्षिप्त विवरण

पिछले अध्याय में जिन गणितज्ञों पर विचार किया गया था, उन्होंने उन प्रक्रियाओं का निर्माण शुरू किया जो आधुनिक गणित को विशिष्ट बनाती हैं। न्यूटन की असाधारण क्षमताओं ने उन्हें कुछ ही वर्षों में उन प्रक्रियाओं के अधिक प्राथमिक तत्वों को पूर्ण करने में सक्षम बनाया, और उस समय अध्ययन किए गए गणितीय विज्ञान की प्रत्येक शाखा को स्पष्ट रूप से आगे बढ़ाया, साथ ही कुछ नए विषयों का निर्माण भी किया। न्यूटन, वॉलेस, ह्यूजेन्स और पिछले अध्याय में उल्लिखित अन्य लोगों के समकालीन और मित्र थे, लेकिन यद्यपि उनका अधिकांश गणितीय कार्य 1665 और 1686 के बीच किया गया था, इसका अधिकांश भाग मुद्रित नहीं हुआ था - किसी भी दर पर पुस्तक-रूप में - कुछ साल बाद तक.

मैं अन्य गणितज्ञों की तुलना में न्यूटन के कार्यों पर अधिक विस्तार से चर्चा करने का प्रस्ताव करता हूं, आंशिक रूप से उनकी खोजों के आंतरिक महत्व के कारण, और आंशिक रूप से इसलिए कि यह पुस्तक मुख्य रूप से अंग्रेजी पाठकों के लिए है, और ग्रेट ब्रिटेन में गणित का विकास एक सदी तक पूरी तरह से न्यूटनियन स्कूल के हाथों में था.

आइजैक न्यूटन का जन्म लिंकनशायर में, ग्रैंथम के पास, 25 दिसंबर, 1642 को हुआ था, और उनकी मृत्यु 20 मार्च, 1727 को केंसिंग्टन, लंदन में हुई थी। उन्होंने ट्रिनिटी कॉलेज, कैम्ब्रिज में शिक्षा प्राप्त की, और 1661 से 1696 तक वहां रहे, जिसके दौरान उन्होंने गणित में अपने अधिकांश कार्य किए; 1696 में उन्हें एक मूल्यवान सरकारी पद पर नियुक्त किया गया, और लंदन चले गए, जहां वे अपनी मृत्यु तक रहे.

उनके पिता, जिनकी मृत्यु न्यूटन के जन्म से कुछ समय पहले ही हो गई थी, एक किसान थे, और यह इरादा था कि न्यूटन पैतृक खेत को जारी रखें। उन्हें ग्रैंथम में स्कूल भेजा गया, जहां उनकी शिक्षा और यांत्रिक प्रवीणता ने कुछ ध्यान आकर्षित किया। 1656 में वह एक किसान का व्यवसाय सीखने के लिए घर लौट आए, लेकिन उन्होंने अपना अधिकांश समय समस्याओं को हल करने, प्रयोग करने, या यांत्रिक मॉडल बनाने में बिताया; उनकी माँ ने यह देखा, समझदारी से उनके लिए कुछ अधिक अनुकूल व्यवसाय खोजने का फैसला किया, और उनके चाचा, जो स्वयं ट्रिनिटी कॉलेज, कैम्ब्रिज में शिक्षित थे, ने सिफारिश की कि उन्हें वहां भेजा जाए.

1661 में न्यूटन ने तदनुसार कैम्ब्रिज में एक छात्र के रूप में प्रवेश किया, जहां पहली बार उन्होंने खुद को ऐसे परिवेश में पाया जो उनकी शक्तियों को विकसित करने की संभावना थी। हालाँकि, ऐसा लगता है कि उन्हें सामान्य समाज या विज्ञान और गणित को छोड़कर किसी भी गतिविधि में बहुत कम दिलचस्पी थी। सौभाग्य से उन्होंने एक डायरी रखी, और इस प्रकार हम उस समय एक अंग्रेजी विश्वविद्यालय में सबसे उन्नत छात्रों की शिक्षा के पाठ्यक्रम का एक उचित विचार बना सकते हैं। उन्होंने निवास में आने से पहले कोई गणित नहीं पढ़ा था, लेकिन सैंडरसन की लॉजिक से परिचित थे, जिसे तब गणित से पहले अक्सर पढ़ा जाता था। अपने पहले अक्टूबर कार्यकाल की शुरुआत में, वह संयोग से सेंटौरब्रिज मेले में टहलने गए, और वहां ज्योतिष पर एक पुस्तक उठाई, लेकिन ज्यामिति और त्रिकोणमिति के कारण इसे समझ नहीं पाए। इसलिए उन्होंने एक यूक्लिड खरीदा, और यह देखकर आश्चर्य हुआ कि प्रस्ताव कितने स्पष्ट लग रहे थे। इसके बाद उन्होंने ओट्रेड की क्लैविस और डेसकार्टेस की ज्योमेट्री पढ़ी, जिनमें से बाद वाले को उन्होंने कुछ कठिनाई के साथ, स्वयं ही महारत हासिल कर ली। विषय में उनकी रुचि ने उन्हें रसायन विज्ञान के बजाय गणित को एक गंभीर अध्ययन के रूप में लेने के लिए प्रेरित किया। एक स्नातक के रूप में उनकी बाद की गणितीय पढ़ाई केप्लर के ऑप्टिक्स, विटा के कार्यों, वैन शोटेन की मिसलेनियस, डेसकार्टेस की ज्योमेट्री और वॉलेस की अरिथमेटिका इन्फिनिटोरम पर आधारित थी: उन्होंने बैरो के व्याख्यान में भी भाग लिया। बाद में, यूक्लिड को अधिक सावधानी से पढ़ने पर, उन्होंने इसे शिक्षा के एक उपकरण के रूप में उच्च राय दी, और उन्होंने यह व्यक्त करने के लिए खेद व्यक्त किया कि उन्होंने बीजगणितीय विश्लेषण के लिए आगे बढ़ने से पहले ज्यामिति पर ध्यान क्यों नहीं दिया.

उनकी एक पांडुलिपि है, जो 28 मई, 1665 को दिनांकित है, उसी वर्ष लिखी गई थी जिसमें उन्होंने बी.ए. की डिग्री ली थी, जो फ्लक्सियन के उनके आविष्कार का सबसे पहला दस्तावेजी प्रमाण है। लगभग उसी समय उन्होंने द्विपद प्रमेय की खोज की.

प्लेग के कारण कॉलेज को वर्ष 1665 और 1666 के कुछ हिस्सों के दौरान भेजा गया था, और इस समय कई महीनों तक न्यूटन घर पर रहे। यह अवधि शानदार खोजों से भरी हुई थी। उन्होंने गुरुत्वाकर्षण के अपने सिद्धांत के मूलभूत सिद्धांतों पर विचार किया, अर्थात्, पदार्थ का प्रत्येक कण प्रत्येक अन्य कण को आकर्षित करता है, और उन्हें संदेह था कि आकर्षण उनके द्रव्यमान के उत्पाद के रूप में भिन्न होता है और उनके बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है। उन्होंने फ्लक्सियनल कैलकुलस को भी काफी हद तक पूरा किया: यह 13 नवंबर, 1665 को एक पांडुलिपि में था, उन्होंने वक्र पर किसी भी बिंदु पर स्पर्शरेखा और वक्रता की त्रिज्या ज्ञात करने के लिए फ्लक्सियन का उपयोग किया, और अक्टूबर 1666 में उन्होंने उन्हें समीकरणों के सिद्धांत में कई समस्याओं पर लागू किया। न्यूटन ने 1669 से इन परिणामों को अपने दोस्तों और छात्रों को संप्रेषित किया, लेकिन वे कई वर्षों बाद तक मुद्रित नहीं हुए। यह भी घर पर रहने के दौरान था कि उन्होंने विशेष रूपों के लिए लेंस पीसने के लिए कुछ उपकरणों की कल्पना की, जो गोलाकार के अलावा थे, और शायद उन्होंने सौर प्रकाश को विभिन्न रंगों में विघटित कर दिया.

विवरणों को छोड़कर और केवल गोल संख्याएँ लेते हुए, गुरुत्वाकर्षण के सिद्धांत पर उस समय उनकी तर्क इस प्रकार लगता है। उन्हें संदेह था कि वह बल जिसने चंद्रमा को पृथ्वी के चारों ओर अपनी कक्षा में बनाए रखा था, वही स्थलीय गुरुत्वाकर्षण था, और इस परिकल्पना को सत्यापित करने के लिए उन्होंने इस प्रकार आगे बढ़े। वह जानते थे कि, यदि एक पत्थर को पृथ्वी की सतह के पास गिरने दिया जाता है, तो पृथ्वी का आकर्षण (अर्थात, पत्थर का वजन) इसे एक सेकंड में 16 फीट तक ले जाता है। चंद्रमा की पृथ्वी के सापेक्ष कक्षा लगभग एक वृत्त है; और एक मोटे सन्निकटन के रूप में, इसे ऐसा मानते हुए, वह चंद्रमा की दूरी जानते थे, और इसलिए उसके पथ की लंबाई; वह यह भी जानते थे कि चंद्रमा को एक बार चारों ओर जाने में कितना समय लगा, अर्थात्, एक महीना.

इसलिए वह आसानी से किसी भी बिंदु जैसे एम पर उसकी गति पा सकते थे। इसलिए वह दूरी एमटी पा सकते थे जिसके माध्यम से वह अगले सेकंड में आगे बढ़ेगा यदि उसे पृथ्वी के आकर्षण से नहीं खींचा जाता। उस सेकंड के अंत में वह हालाँकि एम' पर था, और इसलिए पृथ्वी ई को एक सेकंड में दूरी टीएम 'के माध्यम से खींचना चाहिए था (यह मानते हुए कि पृथ्वी का खिंचाव स्थिर है)। अब उन्होंने और उस समय के कई भौतिकविदों ने केप्लर के तीसरे नियम से अनुमान लगाया था कि किसी पिंड पर पृथ्वी का आकर्षण पृथ्वी से दूर जाने पर शरीर से दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती रूप से घट जाएगा; यदि यह वास्तविक नियम था, और यदि गुरुत्वाकर्षण एकमात्र बल था जिसने चंद्रमा को अपनी कक्षा में बनाए रखा, तो टीएम' को 16 फीट के लिए चंद्रमा की पृथ्वी के केंद्र से दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होना चाहिए था, जो पृथ्वी की त्रिज्या के वर्ग के लिए था। 1679 में, जब उन्होंने जांच को दोहराया, तो टीएम' का वह मान पाया गया जो परिकल्पना द्वारा आवश्यक था, और सत्यापन पूरा हो गया; लेकिन 1666 में चंद्रमा की दूरी का उनका अनुमान गलत था, और जब उन्होंने गणना की तो उन्होंने पाया कि टीएम' उसकी परिकल्पना पर होना चाहिए था, उससे लगभग एक-आठवां कम था.

ऐसा लगता है कि यह विसंगति गुरुत्वाकर्षण के इस विश्वास को हिला नहीं पाई कि गुरुत्वाकर्षण चंद्रमा तक फैला हुआ है और दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती रूप से भिन्न होता है; लेकिन व्हिस्टन के न्यूटन के साथ हुई बातचीत के नोट्स से, ऐसा प्रतीत होता है कि न्यूटन ने अनुमान लगाया कि कुछ अन्य बल - शायद डेसकार्टेस के भंवर - गुरुत्वाकर्षण के साथ-साथ चंद्रमा पर भी कार्य करते हैं। इस कथन की पुष्टि पेंबरटन के जांच के खाते से होती है। इसके अलावा, ऐसा लगता है कि न्यूटन पहले से ही सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के सिद्धांत में दृढ़ता से विश्वास करते थे, यानी, पदार्थ का प्रत्येक कण प्रत्येक अन्य कण को आकर्षित करता है, और उन्हें संदेह था कि आकर्षण उनके द्रव्यमान के उत्पाद के रूप में भिन्न होता है और उनके बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है; लेकिन यह निश्चित है कि वह तब तक यह नहीं जानते थे कि किसी बाहरी बिंदु पर एक गोलाकार द्रव्यमान का आकर्षण क्या होगा, और उन्हें यह संभावना नहीं थी कि एक कण पृथ्वी द्वारा आकर्षित होगा जैसे कि बाद वाला उसके केंद्र में एक ही कण में केंद्रित हो.

1667 में कैम्ब्रिज लौटने पर न्यूटन को अपने कॉलेज में एक फेलोशिप के लिए चुना गया, और स्थायी रूप से वहां निवास किया। 1669 के शुरुआती भाग में, या शायद 1668 में, उन्होंने बैरो के व्याख्यानों को उनके लिए संशोधित किया। चौदहवें व्याख्यान का अंत न्यूटन द्वारा लिखा गया माना जाता है, लेकिन बाकी का कितना हिस्सा उनके सुझावों के कारण है, इसका अब पता नहीं लगाया जा सकता है। जैसे ही यह समाप्त हुआ, बैरो और कॉलिन्स ने उनसे किन्कहुसेन की बीजगणित के अनुवाद को संपादित करने और नोट्स जोड़ने के लिए कहा; उन्होंने ऐसा करने के लिए सहमति व्यक्त की, लेकिन इस शर्त पर कि उनका नाम इस मामले में प्रकट न हो। 1670 में उन्होंने अनंत श्रृंखला द्वारा अपने विश्लेषण का एक व्यवस्थित प्रदर्शन भी शुरू किया, जिसका उद्देश्य एक वक्र के कोटि को एक अनंत बीजगणितीय श्रृंखला में व्यक्त करना था, जिसका प्रत्येक पद वॉलेस के नियम द्वारा एकीकृत किया जा सकता है; इस विषय पर उनके परिणामों को 1669 में बैरो, कॉलिन्स और अन्य को संप्रेषित किया गया था। यह कभी समाप्त नहीं हुआ: अंश 1711 में प्रकाशित हुआ था, लेकिन इसका सार 1704 में ऑप्टिक्स के परिशिष्ट के रूप में मुद्रित किया गया था। ये कार्य केवल न्यूटन के अवकाश का फल थे, इन दो वर्षों के दौरान उनका अधिकांश समय ऑप्टिकल शोधों को दिया गया था.

अक्टूबर 1669 में, बैरो ने न्यूटन के पक्ष में लुकासियन कुर्सी से इस्तीफा दे दिया। प्रोफेसरशिप के अपने कार्यकाल के दौरान, न्यूटन का अभ्यास सप्ताह में एक बार, आधे घंटे से एक घंटे तक, वर्ष के प्रत्येक कार्यकाल में सार्वजनिक रूप से व्याख्यान देना था, शायद अपने व्याख्यानों को उतनी ही तेजी से निर्देशित करना जितना उन्हें नीचे लिया जा सकता था; और व्याख्यान के बाद के सप्ताह में उन्होंने उन छात्रों को चार घंटे समर्पित किए जो पिछली व्याख्यान के परिणामों पर चर्चा करने के लिए उनके कमरों में आना चाहते थे। उन्होंने कभी भी एक पाठ्यक्रम को दोहराया नहीं, जिसमें आमतौर पर नौ या दस व्याख्यान होते थे, और आमतौर पर एक पाठ्यक्रम के व्याख्यान उस बिंदु से शुरू होते थे जिस पर पिछले पाठ्यक्रम का अंत हुआ था। उनके कार्यकाल के पहले अठारह वर्षों में से सत्रह के लिए उनके व्याख्यानों की पांडुलिपियां मौजूद हैं.

जब पहली बार नियुक्त किया गया तो न्यूटन ने अपने व्याख्यानों और शोधों के विषय के रूप में प्रकाशिकी को चुना, और 1669 के अंत से पहले उन्होंने एक प्रिज्म के माध्यम से सफेद प्रकाश की एक किरण को विभिन्न रंगों की किरणों में विघटित करने की अपनी खोज का विवरण तैयार किया था। इंद्रधनुष के सिद्धांत की पूरी व्याख्या इस खोज से हुई। इन खोजों ने उन व्याख्यानों का विषय-वस्तु बनाया जो उन्होंने 1669, 1670 और 1671 में लुकासियन प्रोफेसर के रूप में दिए थे। मुख्य नए परिणाम फरवरी, 1672 में रॉयल सोसाइटी को संप्रेषित एक पेपर में शामिल किए गए थे, और बाद में दार्शनिक लेनदेन में प्रकाशित हुए थे। उनके मूल व्याख्यानों की पांडुलिपि 1729 में Lectiones Opticae शीर्षक के तहत मुद्रित की गई थी। इस कार्य को दो पुस्तकों में विभाजित किया गया है, जिनमें से पहली में चार खंड हैं और दूसरी में पांच। पहली पुस्तक का पहला खंड एक प्रिज्म द्वारा सौर प्रकाश के अपघटन से संबंधित है, जिसके परिणामस्वरूप किरणों की असमान अपवर्तनीयता होती है जो इसे बनाती हैं, और उनके प्रयोगों का एक विवरण जोड़ा गया है। दूसरा खंड उस विधि का एक विवरण है जिसे न्यूटन ने विभिन्न निकायों के अपवर्तन के गुणांकों को निर्धारित करने के लिए आविष्कार किया था। यह किरण को उस सामग्री के एक प्रिज्म से गुजारकर किया जाता है ताकि विचलन न्यूनतम हो; और वह साबित करता है कि, यदि प्रिज्म का कोण i है और किरण का विचलन δ है, तो अपवर्तक सूचकांक sin ½ ( i + δ) cosec ½ i होगा। तीसरा खंड समतल सतहों पर अपवर्तन पर है; वह यहाँ दिखाता है कि यदि एक किरण न्यूनतम विचलन के साथ एक प्रिज्म से गुजरती है, तो आपतन कोण निर्गत कोण के बराबर होता है; इस खंड का अधिकांश भाग विभिन्न समस्याओं के ज्यामितीय समाधानों के लिए समर्पित है। चौथा खंड घुमावदार सतहों पर अपवर्तन की चर्चा करता है। दूसरी पुस्तक रंगों के उनके सिद्धांत और इंद्रधनुष का इलाज करती है.

दुर्घटनाओं के एक जिज्ञासु अध्याय से न्यूटन दो रंगों के क्रोमैटिक विपथन को एक जोड़े प्रिज्म के माध्यम से ठीक करने में विफल रहे। इसलिए उन्होंने एक अपवर्तक दूरबीन बनाने की उम्मीद छोड़ दी जो अक्रोमैटिक होनी चाहिए, और इसके बजाय एक परावर्तक दूरबीन डिजाइन की, शायद एक छोटे से मॉडल पर जो उन्होंने 1668 में बनाई थी। जिस रूप का उन्होंने उपयोग किया वह अभी भी उनके नाम से जाना जाता है; इसका विचार स्वाभाविक रूप से ग्रेगरी की दूरबीन से सुझाया गया था। 1672 में उन्होंने एक परावर्तक माइक्रोस्कोप का आविष्कार किया, और कुछ साल बाद उन्होंने सेक्सटेंट का आविष्कार किया जिसे जे. हैडली ने 1731 में फिर से खोजा था.

1673 से 1683 तक उनके प्रोफेसरियल व्याख्यान बीजगणित और समीकरणों के सिद्धांत पर थे, और नीचे वर्णित हैं; लेकिन इन वर्षों के दौरान उनका अधिकांश समय अन्य जांचों में लगा रहा, और मैं यह टिप्पणी कर सकता हूं कि अपने पूरे जीवन में न्यूटन ने गणित की तुलना में रसायन विज्ञान और धर्मशास्त्र पर कम से कम उतना ही ध्यान दिया होगा, हालांकि उनके निष्कर्ष यहां उल्लेख करने के लिए पर्याप्त रुचि के नहीं हैं। रंगों के उनके सिद्धांत और उनके ऑप्टिकल प्रयोगों से उनके निष्कर्षों पर पहले काफी ज़ोर से हमला किया गया था। इस वजह से न्यूटन पर जो पत्राचार हुआ, उसने 1672 से 1675 के वर्षों में लगभग सभी अवकाश पर कब्जा कर लिया, और उन्हें बेहद नापसंद साबित हुआ। 9 दिसंबर, 1675 को लिखते हुए, वे कहते हैं, "मैं प्रकाश के अपने सिद्धांत से उत्पन्न चर्चाओं से इतना सताया गया था कि मैंने अपनी शांति जैसे इतने महत्वपूर्ण आशीर्वाद के बाद एक छाया का पीछा करने के लिए अपनी खुद की लापरवाही को दोषी ठहराया।" फिर, 18 नवंबर, 1676 को, वे कहते हैं, "मैं देखता हूं कि मैंने खुद को दर्शन का गुलाम बना लिया है; लेकिन अगर मैं श्री लिनस के व्यवसाय से छुटकारा पा लेता हूं, तो मैं दृढ़ता से इसे हमेशा के लिए अलविदा कहूंगा, सिवाय इसके कि मैं अपनी निजी संतुष्टि के लिए करता हूं, या मेरे बाद आने के लिए छोड़ देता हूं; क्योंकि मैं देखता हूं कि एक व्यक्ति को या तो कुछ नया प्रकाशित करने से इनकार करना होगा, या इसकी रक्षा के लिए गुलाम बनना होगा।" उनके निष्कर्षों पर संदेह करने या उनके बारे में किसी भी पत्राचार में शामिल होने की अनुचित नापसंदगी न्यूटन के चरित्र की एक प्रमुख विशेषता थी.

न्यूटन इस सवाल में गहराई से रुचि रखते थे कि प्रकाश के प्रभाव वास्तव में कैसे उत्पन्न हुए, और 1675 के अंत तक उन्होंने कॉर्पसकुलर या उत्सर्जन सिद्धांत पर काम किया था, और दिखाया था कि यह ज्यामितीय प्रकाशिकी की सभी विभिन्न घटनाओं, जैसे प्रतिबिंब, अपवर्तन, रंग, विवर्तन, आदि के लिए कैसे जिम्मेदार होगा। हालाँकि, ऐसा करने के लिए, उन्हें एक हद तक कृत्रिम सवार जोड़ने के लिए बाध्य होना पड़ा, कि उनके कॉर्पसकुलों में एक ईथर द्वारा उन्हें संचारित आसान प्रतिबिंब और आसान अपवर्तन के वैकल्पिक फिट थे जो अंतरिक्ष को भरता था। सिद्धांत अब अस्थिर माना जाता है, लेकिन यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि न्यूटन ने इसे एक परिकल्पना के रूप में प्रतिपादित किया जिससे कुछ परिणाम सामने आएंगे: ऐसा प्रतीत होगा कि उनका मानना था कि तरंग सिद्धांत आंतरिक रूप से अधिक संभावित है, लेकिन उस सिद्धांत पर विवर्तन की व्याख्या करने में कठिनाई थी जिसने उन्हें एक और परिकल्पना का सुझाव देने के लिए प्रेरित किया.

न्यूटन के कॉर्पसकुलर सिद्धांत को दिसंबर 1675 में रॉयल सोसाइटी को संप्रेषित संस्मरणों में समझाया गया था, जो उनके ऑप्टिक्स में काफी हद तक पुन: प्रस्तुत किए गए हैं, जो 1704 में प्रकाशित हुआ था। बाद के कार्य में उन्होंने आसान प्रतिबिंब और संचरण के अपने सिद्धांत के फिट, और पतली प्लेटों के रंगों पर विस्तार से विचार किया, जिसमें उन्होंने मोटी प्लेटों [bk. II, भाग 4] के रंगों की व्याख्या और प्रकाश के लचीलेपन पर अवलोकन [bk. III] जोड़ा.

1676 में न्यूटन द्वारा लिखे गए दो पत्र उन्हें एक संदर्भ देने के लिए पर्याप्त दिलचस्प हैं। लाइबनिज, जो 1673 में लंदन में थे, ने रॉयल सोसाइटी को कुछ परिणाम संप्रेषित किए थे जिन्हें उन्होंने नया माना था, लेकिन उन्हें बताया गया था कि पहले मूटन द्वारा साबित किया गया था। इससे सोसाइटी के सचिव ओल्डेनबर्ग के साथ पत्राचार हुआ। 1674 में लाइबनिज ने कहा कि उनके पास "अनंत श्रृंखला पर निर्भर सामान्य विश्लेषणात्मक विधियाँ" हैं। ओल्डेनबर्ग ने जवाब में उन्हें बताया कि न्यूटन और ग्रेगरी ने अपने काम में ऐसी श्रृंखलाओं का उपयोग किया था। जानकारी के अनुरोध के जवाब में, न्यूटन ने 13 जून, 1676 को लिखा, जिसमें अपनी विधि का एक संक्षिप्त विवरण दिया गया था, लेकिन एक द्विपद (अर्थात, द्विपद प्रमेय) और sin -1 x के विस्तार को जोड़ा गया; बाद वाले से उन्होंने sin x का अनुमान लगाया: यह श्रृंखला के उलट होने का सबसे पहला ज्ञात उदाहरण प्रतीत होता है। उन्होंने एक अनंत श्रृंखला में एक दीर्घवृत्तीय चाप के सुधार के लिए एक अभिव्यक्ति भी डाली.

लाइबनिज ने 27 अगस्त को अधिक विवरण के लिए लिखा; और न्यूटन ने 34 अक्टूबर, 1676 को दिनांकित एक लंबे लेकिन दिलचस्प उत्तर में, और ओल्डेनबर्ग के माध्यम से भेजा गया, उस तरीके का एक विवरण दिया जिसमें उन्हें अपने कुछ परिणामों तक ले जाया गया था.

इस पत्र में न्यूटन यह कहकर शुरुआत करते हैं कि कुल मिलाकर उन्होंने श्रृंखला में विस्तार के लिए तीन विधियों का उपयोग किया था। उनका पहला वॉलेस द्वारा एक वृत्त और एक अतिपरवलय के क्षेत्रफल के लिए अभिव्यक्तियों को खोजने की विधि के अध्ययन से आया था। इस प्रकार, अभिव्यक्तियों की श्रृंखला (1— x 2 ) 0/2 , (1— x 2 ) 2/2 , (1— x 2 ) 4/2 , ... , पर विचार करके, उन्होंने अंतर्वेशन द्वारा उस नियम का अनुमान लगाया जो (1— x 2 ) 1/2 , (1— x 2 ) 3/2 , ... के विस्तार में क्रमिक गुणांकों को जोड़ता है; और फिर सादृश्य द्वारा द्विपद के विस्तार में सामान्य पद के लिए अभिव्यक्ति प्राप्त की, यानी, द्विपद प्रमेय। वे कहते हैं कि उन्होंने (1— x 2 ) 1/2 के विस्तार के वर्ग का निर्माण करके इसका परीक्षण करना शुरू किया, जो 1—x² तक कम हो गया; और उन्होंने इसी तरह अन्य विस्तारों के साथ भी काम किया। इसके बाद उन्होंने प्रमेय का परीक्षण (1— x 2 ) 1/2 के मामले में 1— x ² का वर्गमूल निकालकर, अधिक अंकगणित रूप से किया। उन्होंने वृत्त और अतिपरवलय के क्षेत्रों को अनंत श्रृंखला में निर्धारित करने के लिए भी श्रृंखला का उपयोग किया, और उन्होंने पाया कि परिणाम वही थे जो वे अन्य साधनों से पहुंचे थे.

इस परिणाम को स्थापित करने के बाद, उन्होंने श्रृंखला में अंतर्वेशन की विधि को छोड़ दिया, और अपने द्विपद प्रमेय का उपयोग (जब संभव हो) एक वक्र के कोटि को एब्सिस्सा की बढ़ती शक्तियों में एक अनंत श्रृंखला में व्यक्त करने के लिए किया, और इस प्रकार वॉलेस की विधि से उन्होंने अनंत श्रृंखला में वक्रों के क्षेत्रों और चापों के लिए अभिव्यक्तियाँ प्राप्त कीं जैसा कि उनके ऑप्टिक्स के परिशिष्ट और उनके डी एनालिसी प्रति इक्वेशनम न्यूमेरो टर्मिनोरम इन्फिनिटास में वर्णित है। वे कहते हैं कि उन्होंने 1665-66 में प्लेग से पहले इस दूसरी विधि का उपयोग किया था, और आगे कहते हैं कि उन्हें तब कैम्ब्रिज छोड़ना पड़ा, और बाद में (संभवतः कैम्ब्रिज लौटने पर) उन्होंने इन विचारों को आगे बढ़ाना बंद कर दिया, क्योंकि उन्होंने पाया कि निकोलस मर्कटोर ने उनमें से कुछ को अपने लॉगरिथमो-टेक्निका में नियोजित किया था, जो 1668 में प्रकाशित हुआ था; और उन्होंने माना कि बाकी को खोजा गया था या इससे पहले कि वे स्वयं अपनी खोजों को प्रकाशित करने की संभावना रखते थे.

न्यूटन आगे बताते हैं कि उनके पास एक तीसरी विधि भी थी, जिसका (वे कहते हैं) उन्होंने लगभग 1669 में बैरो और कॉलिन्स को एक खाता भेजा था, जो क्षेत्रों, सुधार, घनत्व आदि के अनुप्रयोगों द्वारा चित्रित किया गया था। यह फ्लक्सियन की विधि थी; लेकिन न्यूटन यहां इसका कोई विवरण नहीं देते हैं, हालांकि वे इसके उपयोग के कुछ उदाहरण जोड़ते हैं। पहला उदाहरण समीकरण द्वारा दर्शाए गए वक्र का चतुर्भुज है
y = ax m ( b + cx n ) p ,

जो वे कहते हैं कि ( m + 1)/ n पदों के योग के रूप में प्रभावी किया जा सकता है यदि ( m + 1)/ n एक धनात्मक पूर्णांक है, और उनका मानना है कि इसे अन्यथा एक अनंत श्रृंखला को छोड़कर प्रभावी नहीं किया जा सकता है। [ऐसा नहीं है, एकीकरण संभव है यदि p + ( m + 1)/ n एक पूर्णांक हो।] वे अन्य रूपों की एक सूची भी देते हैं जो तुरंत एकीकृत करने योग्य हैं, जिनमें से मुख्य हैं
,
,
,
,
;

जहां m एक धनात्मक पूर्णांक है और n कोई भी संख्या है। अंत में, वे बताते हैं कि किसी भी वक्र के क्षेत्रफल को नीचे अपनी मेथडस डिफरेंशियलिस पर चर्चा करते हुए वर्णित अंतर्वेशन की विधि द्वारा आसानी से अनुमानित किया जा सकता है.

अपने पत्र के अंत में न्यूटन "स्पर्शरेखाओं की व्युत्क्रम समस्या" के समाधान का उल्लेख करते हैं, एक ऐसा विषय जिसके बारे में लाइबनिज ने जानकारी मांगी थी। वे किसी भी श्रृंखला को उलटने के लिए सूत्र देते हैं, लेकिन कहते हैं कि इन सूत्रों के अलावा उनके पास ऐसे प्रश्नों को हल करने के दो तरीके हैं, जिनका वर्णन वे वर्तमान में एक एनाग्राम को छोड़कर नहीं करेंगे, जिसे पढ़ने पर, इस प्रकार है, "उना मेथडस कंसिस्टिट इन एक्सट्रैक्शन फ्लोएंटिस क्वांटिटेटिस एक्स इक्वेशन सिमुले इनवॉल्वेंटे फ्लक्सियनम एजस: अल्टेरा टेंटम इन असम्पशन सेरी प्रो क्वांटिटेट क्वालिबेट इनकॉग्निटा एक्स क्वा कैटेरा कमोड डेराइरी पॉसंट, एट इन कोलेशन टर्मिनोरम होमोलोगोरम इक्वेशनिस रिजल्टेंटिस, एज़ एरुएंडोस टर्मिनोस असम्पटे सेरी।"

वे इस पत्र में निहित हैं कि वे उन प्रश्नों से चिंतित हैं जो उनसे पूछे जाते हैं और हर नए मामले के बारे में उठाई गई विवादों से, जो उनकी जल्दबाजी को दर्शाते हैं "क्वाडम उमब्राम कैप्टेंडो ईटेनियस पेरडिडरम क्विटम मीम, रेम प्रोरस सब्सटेंशियलम।"

लाइबनिज, अपने उत्तर में, 21 जून, 1677 को दिनांकित, वक्रों पर स्पर्शरेखाएँ खींचने की अपनी विधि की व्याख्या करते हैं, जो वे कहते हैं "रेखाओं के फ्लक्सियन द्वारा नहीं, बल्कि संख्याओं के अंतर से" आगे बढ़ती है; और वे एक वक्र पर दो क्रमिक बिंदुओं के निर्देशांक के बीच अनंत अंतर के लिए dx और dy के अपने अंकन का परिचय देते हैं। वे उस समस्या का समाधान भी देते हैं जो एक वक्र खोजने के लिए है जिसका उपस्पर्शक स्थिर है, जो दर्शाता है कि वे एकीकृत कर सकते हैं.

1679 में रॉयल सोसाइटी के अनुरोध पर हुक ने न्यूटन को लिखा, जिसमें आशा व्यक्त की गई थी कि वे सोसाइटी को आगे संचार करेंगे, और उन्हें विभिन्न तथ्यों से अवगत कराया जो तब हाल ही में खोजे गए थे। न्यूटन ने जवाब दिया कि उन्होंने दर्शन का अध्ययन छोड़ दिया था, लेकिन उन्होंने कहा कि पृथ्वी की दैनिक गति को जमीन से एक ऊंचाई से गिराए गए पत्थर के लंब से विचलन का निरीक्षण करने के प्रयोग से साबित किया जा सकता है - एक प्रयोग जो बाद में सोसाइटी द्वारा किया गया और सफल रहा। हुक ने अपने पत्र में पिकार्ड के भूगणितीय शोध का उल्लेख किया; इनमें पिकार्ड ने पृथ्वी की त्रिज्या का एक मान इस्तेमाल किया जो काफी सही है। इससे न्यूटन को पिकार्ड के आंकड़ों के साथ, 1666 की अपनी चंद्र कक्षा की गणना को दोहराने के लिए प्रेरित किया, और इस प्रकार उन्होंने अपनी धारणा को सत्यापित किया कि गुरुत्वाकर्षण चंद्रमा तक फैला हुआ है और दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती रूप से भिन्न होता है। फिर उन्होंने एक केंद्रीय बल के अधीन एक कण की गति के सामान्य सिद्धांत पर विचार किया, यानी, एक निश्चित बिंदु की ओर निर्देशित, और दिखाया कि वेक्टर समान समय में समान क्षेत्रों में झाडू लगाएगा। उन्होंने यह भी साबित किया कि, यदि एक कण एक फोकस के लिए एक केंद्रीय बल के अधीन एक दीर्घवृत्त का वर्णन करता है, तो नियम फोकस से दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होना चाहिए, और इसके विपरीत, कि ऐसे बल के प्रभाव में प्रक्षेपित एक कण की कक्षा एक शंकु होगी (या, हो सकता है, उन्होंने केवल एक दीर्घवृत्त सोचा)। अपने नियम का पालन करते हुए कुछ भी प्रकाशित न करें जो उन्हें वैज्ञानिक विवाद में डाल सके, इन परिणामों को उनकी नोटबुक में बंद कर दिया गया था, और यह केवल पांच साल बाद उनसे संबोधित एक विशिष्ट प्रश्न था जिसने उनके प्रकाशन का नेतृत्व किया.

यूनिवर्सल अंकगणित, जो बीजगणित, समीकरणों के सिद्धांत और विविध समस्याओं पर है, में 1673 से 1683 तक न्यूटन के व्याख्यानों का सार शामिल है। इसकी पांडुलिपि अभी भी मौजूद है; व्हिस्टन ने न्यूटन से इसे मुद्रित करने की कुछ अनिच्छापूर्ण अनुमति निकाली, और यह 1707 में प्रकाशित हुआ था। बीजगणित और समीकरणों के सिद्धांत में विभिन्न बिंदुओं पर कई नए प्रमेयों के बीच न्यूटन यहां निम्नलिखित महत्वपूर्ण परिणामों का प्रतिपादन करते हैं। वे बताते हैं कि वह समीकरण जिसके मूल किसी दिए गए प्रश्न का समाधान हैं, उतने ही मूल होंगे जितने अलग-अलग संभावित मामले हैं; और वे इस पर विचार करते हैं कि ऐसा कैसे होता है कि वह समीकरण जिससे एक समस्या की ओर जाता है, उसमें ऐसे मूल हो सकते हैं जो मूल प्रश्न को संतुष्ट नहीं करते हैं। वे काल्पनिक मूलों की संख्या की सीमाएँ देने के लिए डेसकार्टेस के चिह्नों के नियम का विस्तार करते हैं। वे ज्यामितीय विचारों द्वारा इसे चित्रित करते हुए, यह समझाने के लिए निरंतरता के सिद्धांत का उपयोग करते हैं कि दो वास्तविक और असमान मूल समानता से गुजरते समय कैसे काल्पनिक हो सकते हैं; वहां से वे दिखाते हैं कि काल्पनिक मूलों को जोड़े में होना चाहिए। न्यूटन यहां एक संख्यात्मक समीकरण के धनात्मक मूलों की एक श्रेष्ठ सीमा खोजने और संख्यात्मक मूलों के अनुमानित मानों को निर्धारित करने के नियम भी देते हैं। वे आगे एक समीकरण के मूलों की nth शक्तियों के योग को खोजने के लिए अपने नाम से ज्ञात प्रमेय का प्रतिपादन करते हैं, और एक समीकरण के मूलों के सममित कार्यों के सिद्धांत की नींव रखी.

कार्य में निहित सबसे दिलचस्प प्रमेय काल्पनिक मूलों की संख्या को निर्धारित करने के लिए एक नियम (वास्तविक मूलों के लिए डेसकार्टेस के समान) खोजने का उनका प्रयास है। वह जानते थे कि जो परिणाम उन्होंने प्राप्त किया वह सार्वभौमिक रूप से सत्य नहीं था, लेकिन उन्होंने कोई प्रमाण नहीं दिया और यह नहीं समझाया कि नियम के अपवाद क्या थे। उनका प्रमेय इस प्रकार है। मान लीजिए कि समीकरण nth डिग्री का है जिसे x n के अवरोही शक्तियों में व्यवस्थित किया गया है (x n का गुणांक धनात्मक है), और मान लीजिए कि n + 1 अंश

को बनाया जाना है और समीकरण के संबंधित पदों के नीचे लिखा जाना है, तो, यदि किसी पद का वर्ग जब संबंधित अंश से गुणा किया जाता है, तो उसके दोनों ओर के पदों के गुणनफल से बड़ा होता है, तो उसके ऊपर एक धन चिह्न लगाएं: अन्यथा उसके ऊपर एक ऋण चिह्न लगाएं, और पहले और अंतिम पदों के ऊपर एक धन चिह्न लगाएं। अब मूल समीकरण में किन्हीं दो क्रमिक पदों पर विचार करें, और उनके ऊपर लिखे गए दो प्रतीकों पर विचार करें। तब हमारे पास निम्नलिखित चार मामलों में से कोई भी हो सकता है: (α) समान चिह्न के पद और समान चिह्न के प्रतीक; (β) समान चिह्न के पद और विपरीत चिह्नों के प्रतीक; (γ) विपरीत चिह्नों के पद और समान चिह्नों के प्रतीक; (δ) विपरीत चिह्नों के पद और विपरीत चिह्नों के प्रतीक। तब यह दिखाया गया है कि ऋणात्मक मूलों की संख्या मामलों (α) की संख्या से अधिक नहीं होगी, और धनात्मक मूलों की संख्या मामलों (γ) की संख्या से अधिक नहीं होगी; और इसलिए काल्पनिक मूलों की संख्या मामलों (β) और (δ) की संख्या से कम नहीं है। दूसरे शब्दों में समीकरण के ऊपर लिखे गए प्रतीकों की पंक्ति में चिह्नों के परिवर्तनों की संख्या काल्पनिक मूलों की संख्या के लिए एक निम्न सीमा है। हालाँकि, न्यूटन ने दावा किया कि "आप लगभग जान सकते हैं कि कितने मूल असंभव हैं" ऊपर बताए अनुसार बने प्रतीकों की श्रृंखला में चिह्नों के परिवर्तनों की गिनती करके। कहने का तात्पर्य है कि, उन्होंने सोचा कि सामान्य तौर पर धनात्मक, ऋणात्मक और काल्पनिक मूलों की वास्तविक संख्या को नियम द्वारा प्राप्त किया जा सकता है न कि केवल इन संख्याओं की श्रेष्ठ या निम्न सीमाएँ। लेकिन हालाँकि वह जानते थे कि नियम सार्वभौमिक नहीं था, वह यह नहीं खोज सके (या किसी भी दर पर यह नहीं बताया) कि इसके अपवाद क्या थे: इस समस्या पर बाद में कैम्पबेल, मैकलॉरिन, यूलर और अन्य लेखकों द्वारा चर्चा की गई; अंत में 1865 में सिल्वेस्टर सामान्य परिणाम को साबित करने में सफल रहे.

अगस्त, 1684 में, हैली गुरुत्वाकर्षण के नियम के बारे में न्यूटन से परामर्श करने के लिए कैम्ब्रिज आए। हुक, ह्यूजेन्स, हैली और रेन सभी ने अनुमान लगाया था कि एक बाहरी कण पर सूर्य या पृथ्वी के आकर्षण का बल दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती रूप से भिन्न होता है। ऐसा लगता है कि इन लेखकों ने स्वतंत्र रूप से दिखाया है कि, यदि केप्लर के निष्कर्ष कठोरता से सत्य थे, जिसके बारे में वे पूरी तरह से निश्चित नहीं थे, तो आकर्षण का नियम व्युत्क्रम वर्ग का होना चाहिए। शायद उनका तर्क इस प्रकार था। यदि v एक ग्रह का वेग है, r उसकी कक्षा की त्रिज्या एक वृत्त के रूप में ली जाती है, और T उसका आवधिक समय है, v = 2π r/T । लेकिन, यदि f वृत्त के केंद्र में त्वरण है, तो हमारे पास f = 4π² r/T ² अब, केप्लर के तीसरे नियम से, T ² r ³ के रूप में भिन्न होता है; इसलिए f r ² के व्युत्क्रमानुपाती रूप से भिन्न होता है। हालाँकि, वे नियम से ग्रहों की कक्षाओं का अनुमान नहीं लगा सके। हैली ने समझाया कि उनकी जांच इस समस्या को हल करने में उनकी अक्षमता से रुक गई थी, और न्यूटन से पूछा कि क्या वह पता लगा सकते हैं कि यदि आकर्षण का नियम व्युत्क्रम वर्ग का था तो एक ग्रह की कक्षा क्या होगी। न्यूटन ने तुरंत जवाब दिया कि यह एक दीर्घवृत्त था, और 1679 में पाई गई इसकी व्याख्या को फिर से भेजने या लिखने का वादा किया। इसे नवंबर, 1684 में भेजा गया था.

हैली द्वारा प्रेरित, न्यूटन अब गुरुत्वाकर्षण की समस्या पर लौट आए; और 1684 के पतन से पहले, उन्होंने प्रिंसिपिया की पहली पुस्तक में प्रस्ताव 1-19, 21, 30, 32-35 का सार तैयार किया था। ये गति के नियमों और विभिन्न लेम्मा पर नोट्स के साथ, माइकलमस टर्म, 1684 में उनके व्याख्यानों के लिए पढ़े गए थे.

नवंबर में हैली को न्यूटन का वादा किया गया संचार प्राप्त हुआ, जिसमें शायद प्रस्ताव 1, 11 और या तो प्रस्ताव 17 या प्रस्ताव 13 का पहला परिणाम शामिल था; उसके बाद हैली फिर से कैम्ब्रिज गए, जहां उन्होंने "डी मोटू नामक एक जिज्ञासु ग्रंथ देखा, जो अगस्त से तैयार किया गया था।" सबसे अधिक संभावना है कि इसमें ऊपर उल्लिखित व्याख्यानों के न्यूटन के पांडुलिपि नोट्स शामिल थे: ये नोट्स अब विश्वविद्यालय पुस्तकालय में हैं और "डी मोटू कोरपोरम" शीर्षक के हैं। हैली ने अनुरोध किया कि परिणामों को प्रकाशित किया जाए, और अंततः एक वादा हासिल किया कि उन्हें रॉयल सोसाइटी को भेजा जाएगा: उन्हें तदनुसार सोसाइटी को फरवरी, 1685 से पहले, डी मोटू पेपर में संप्रेषित किया गया था, जिसमें प्रिंसिपिया की निम्नलिखित प्रस्तावों का सार शामिल है, पुस्तक I, प्रॉप्स। 1, 4, 6, 7, 10, 11, 15, 17, 32; पुस्तक II, प्रॉप्स। 2,3,4.

ऐसा लगता है कि नवंबर, 1684 में अपनी यात्रा में हैली के प्रभाव और रणनीति के कारण भी, न्यूटन ने गुरुत्वाकर्षण की पूरी समस्या पर हमला करने का बीड़ा उठाया, और व्यावहारिक रूप से अपने परिणामों को प्रकाशित करने का वादा किया: ये प्रिंसिपिया में शामिल हैं। अभी तक न्यूटन ने एक गोलाकार पिंड के एक बाहरी बिंदु पर आकर्षण का निर्धारण नहीं किया था, न ही उन्होंने ग्रहों की गतियों का विवरण भी गिना था, भले ही सौर मंडल के सदस्यों को बिंदु माना जा सकता था। पहली समस्या 1685 में हल की गई, शायद जनवरी या फरवरी में। "जैसे ही," डॉ. ग्लेशर के प्रिंसिपिया के प्रकाशन की द्विशताब्दी पर दिए गए पते से उद्धृत करने के लिए, "न्यूटन ने इस शानदार प्रमेय को साबित कर दिया - और हम उनके अपने शब्दों से जानते हैं कि उन्हें इतने सुंदर परिणाम की उम्मीद नहीं थी जब तक कि यह उनके गणितीय जांच से सामने नहीं आया - तब ब्रह्मांड का पूरा तंत्र एक बार में उनके सामने फैल गया। जब उन्होंने उन प्रमेयों की खोज की जो पुस्तक I के पहले तीन खंड बनाते हैं, जब उन्होंने उन्हें 1684 के अपने व्याख्यानों में दिया, तो उन्हें पता नहीं था कि सूर्य और पृथ्वी ने अपने आकर्षण को इस तरह से लगाया जैसे कि वे केवल बिंदु थे। ये प्रस्ताव न्यूटन की आँखों में कितने अलग लग रहे होंगे जब उन्होंने महसूस किया कि ये परिणाम, जो उन्होंने सोचा था कि सौर मंडल पर लागू होने पर केवल अनुमानित रूप से सत्य थे, वास्तव में सटीक थे! अब तक वे केवल तभी सत्य थे जब तक कि वह सूर्य को ग्रहों की दूरी की तुलना में एक बिंदु के रूप में मान सकते थे, या पृथ्वी को चंद्रमा की दूरी की तुलना में एक बिंदु के रूप में मान सकते थे - एक दूरी जो पृथ्वी की त्रिज्या का लगभग साठ गुना है - लेकिन अब वे गणितीय रूप से सत्य थे, केवल सूर्य, पृथ्वी और ग्रहों के पूरी तरह से गोलाकार रूप से मामूली विचलन को छोड़कर। हम न्यूटन के मन को अभी भी अधिक प्रयास करने के लिए प्रेरित करने में सन्निकटन से सटीकता में इस अचानक संक्रमण के प्रभाव की कल्पना कर सकते हैं। अब उनके लिए खगोल विज्ञान की वास्तविक समस्याओं के लिए पूर्ण सटीकता के साथ गणितीय विश्लेषण लागू करना संभव था।"

प्रिंसिपिया में लागू तीन मूलभूत सिद्धांतों में से हम कह सकते हैं कि यह विचार कि ब्रह्मांड में प्रत्येक कण प्रत्येक अन्य कण को आकर्षित करता है, कम से कम 1666 की शुरुआत में बना था; क्षेत्रों का समान विवरण का नियम, इसके परिणाम, और तथ्य यह है कि यदि आकर्षण का नियम व्युत्क्रम वर्ग का था तो एक बल के केंद्र के चारों ओर एक कण की कक्षा एक शंकु होगी, 1679 में सिद्ध हुई; और, अंत में, यह खोज कि एक गोला, जिसकी किसी भी बिंदु पर घनत्व केवल केंद्र से