Os matemáticos considerados no último capítulo iniciaram a criação dos processos que distinguem a matemática moderna. As extraordinárias habilidades de Newton permitiram que ele, em poucos anos, aperfeiçoasse os processos mais elementares e avançasse distintamente em todos os ramos da ciência matemática então estudados, além de criar alguns novos assuntos. Newton foi contemporâneo e amigo de Wallis, Huygens e outros mencionados no último capítulo, mas embora a maior parte de seu trabalho matemático tenha sido feita entre os anos de 1665 e 1686, a maior parte não foi impressa — pelo menos em formato de livro — até alguns anos depois.
Proponho discutir as obras de Newton com mais detalhes do que as de outros matemáticos, em parte devido à importância intrínseca de suas descobertas e em parte porque este livro se destina principalmente a leitores ingleses, e o desenvolvimento da matemática na Grã-Bretanha esteve por um século inteiramente nas mãos da escola newtoniana.
Isaac Newton nasceu em Lincolnshire, perto de Grantham, em 25 de dezembro de 1642, e morreu em Kensington, Londres, em 20 de março de 1727. Ele foi educado no Trinity College, Cambridge, e viveu lá de 1661 a 1696, durante os quais produziu a maior parte de seu trabalho em matemática; em 1696, foi nomeado para um valioso cargo governamental e mudou-se para Londres, onde residiu até sua morte.
Seu pai, que havia morrido pouco antes do nascimento de Newton, era um fazendeiro yeoman, e pretendia-se que Newton continuasse a fazenda paterna. Ele foi enviado para a escola em Grantham, onde seu aprendizado e proficiência mecânica despertaram alguma atenção. Em 1656, ele voltou para casa para aprender o negócio de fazendeiro, mas passou a maior parte do tempo resolvendo problemas, fazendo experimentos ou projetando modelos mecânicos; sua mãe, notando isso, resolveu sensatamente encontrar alguma ocupação mais agradável para ele, e seu tio, tendo sido ele mesmo educado no Trinity College, Cambridge, recomendou que ele fosse enviado para lá.
Em 1661, Newton entrou como estudante em Cambridge, onde, pela primeira vez, se viu em um ambiente que provavelmente desenvolveria seus poderes. Ele parece, no entanto, ter tido pouco interesse pela sociedade em geral ou por qualquer atividade, exceto ciência e matemática. Felizmente, ele manteve um diário e, assim, podemos formar uma ideia justa do curso de educação dos alunos mais avançados em uma universidade inglesa naquela época. Ele não havia lido nenhuma matemática antes de entrar na residência, mas estava familiarizado com a Lógica de Sanderson, que era então frequentemente lida como preliminar à matemática. No início de seu primeiro período de outubro, ele passeou pela Stourbridge Fair e pegou um livro sobre astrologia, mas não conseguiu entendê-lo por causa da geometria e trigonometria. Ele, portanto, comprou um Euclides e ficou surpreso ao descobrir como as proposições pareciam óbvias. Ele então leu Clavis de Oughtred e Géométrie de Descartes, este último que ele conseguiu dominar sozinho, embora com alguma dificuldade. O interesse que ele sentiu pelo assunto o levou a estudar matemática em vez de química como um estudo sério. Sua leitura matemática subsequente como aluno de graduação foi baseada em Óptica de Kepler, nas obras de Vieta, Miscelâneas de van Schooten, Géométrie de Descartes e Arithmetica Infinitorum de Wallis: ele também assistiu às palestras de Barrow. Mais tarde, ao ler Euclides com mais atenção, ele formou uma alta opinião sobre ele como um instrumento de educação, e costumava expressar seu pesar por não ter se dedicado à geometria antes de prosseguir para a análise algébrica.
Existe um manuscrito dele, datado de 28 de maio de 1665, escrito no mesmo ano em que ele obteve o diploma de Bacharelado, que é a prova documental mais antiga de sua invenção das fluxões. Foi por volta da mesma época que ele descobriu o teorema binomial.
Por causa da praga, o College foi dispensado durante partes do ano de 1665 e 1666, e por vários meses nessa época Newton viveu em casa. Esse período foi repleto de descobertas brilhantes. Ele pensou nos princípios fundamentais de sua teoria da gravitação, ou seja, que cada partícula de matéria atrai cada outra partícula, e suspeitou que a atração variava como o produto de suas massas e inversamente como o quadrado da distância entre elas. Ele também elaborou o cálculo fluxional de forma toleravelmente completa: em um manuscrito datado de 13 de novembro de 1665, ele usou fluxões para encontrar a tangente e o raio de curvatura em qualquer ponto de uma curva, e em outubro de 1666 ele as aplicou a vários problemas na teoria das equações. Newton comunicou esses resultados a seus amigos e alunos a partir de 1669, mas eles não foram publicados em impressão até muitos anos depois. Foi também enquanto estava em casa nessa época que ele projetou alguns instrumentos para moer lentes em formas particulares diferentes das esféricas, e talvez ele tenha decomposto a luz solar em cores diferentes.
Deixando de lado os detalhes e considerando apenas números arredondados, seu raciocínio nessa época sobre a teoria da gravitação parece ter sido o seguinte. Ele suspeitou que a força que mantinha a lua em sua órbita ao redor da Terra era a mesma da gravidade terrestre, e para verificar essa hipótese ele procedeu assim. Ele sabia que, se uma pedra fosse deixada cair perto da superfície da Terra, a atração da Terra (isto é, o peso da pedra) a fazia se mover por 16 pés em um segundo. A órbita da lua em relação à Terra é quase um círculo; e como uma aproximação grosseira, considerando-a assim, ele sabia a distância da lua e, portanto, o comprimento de seu caminho; ele também sabia o tempo que a lua levava para dar uma volta, ou seja, um mês.
Daí ele poderia facilmente encontrar sua velocidade em qualquer ponto como M. Ele poderia, portanto, encontrar a distância MT pela qual ela se moveria no segundo seguinte se não fosse puxada pela atração da Terra. No final desse segundo, no entanto, estava em M', e, portanto, a Terra E deve tê-la puxado pela distância TM' em um segundo (assumindo que a direção da atração da Terra seja constante). Agora, ele e vários físicos da época haviam conjecturado a partir da terceira lei de Kepler que a atração da Terra sobre um corpo diminuiria à medida que o corpo fosse removido mais longe da Terra, inversamente como o quadrado da distância do centro da Terra; se esta fosse a lei real, e se a gravidade fosse a única força que mantinha a lua em sua órbita, então TM' deveria ser para 16 pés inversamente como o quadrado da distância da lua do centro da Terra para o quadrado do raio da Terra. Em 1679, quando ele repetiu a investigação, TM' foi encontrado com o valor exigido pela hipótese, e a verificação foi completa; mas em 1666 sua estimativa da distância da lua era imprecisa, e quando ele fez o cálculo, descobriu que TM' era cerca de um oitavo menor do que deveria ter sido em sua hipótese.
Essa discrepância não parece ter abalado sua fé na crença de que a gravidade se estendia até a lua e variava inversamente como o quadrado da distância; mas das notas de Whiston de uma conversa com Newton, pareceria que Newton inferiu que alguma outra força — provavelmente os vórtices de Descartes — agia sobre a lua, bem como a gravidade. Essa afirmação é confirmada pelo relato de Pemberton da investigação. Parece, além disso, que Newton já acreditava firmemente no princípio da gravitação universal, ou seja, que cada partícula de matéria atrai cada outra partícula, e suspeitava que a atração variava como o produto de suas massas e inversamente como o quadrado da distância entre elas; mas é certo que ele não sabia então qual seria a atração de uma massa esférica em qualquer ponto externo, e não achava provável que uma partícula fosse atraída pela Terra como se esta estivesse concentrada em uma única partícula em seu centro.
Em seu retorno a Cambridge em 1667, Newton foi eleito para uma bolsa em seu colégio e assumiu permanentemente sua residência lá. No início de 1669, ou talvez em 1668, ele revisou as palestras de Barrow para ele. Sabe-se que o final da décima quarta palestra foi escrito por Newton, mas quanto do resto se deve às suas sugestões não pode ser determinado agora. Assim que isso foi concluído, ele foi solicitado por Barrow e Collins a editar e adicionar notas a uma tradução da Álgebra de Kinckhuysen; ele consentiu em fazer isso, mas com a condição de que seu nome não aparecesse no assunto. Em 1670, ele também começou uma exposição sistemática de sua análise por séries infinitas, cujo objetivo era expressar a ordenada de uma curva em uma série algébrica infinita, cada termo da qual pode ser integrado pela regra de Wallis; seus resultados sobre este assunto foram comunicados a Barrow, Collins e outros em 1669. Isso nunca foi concluído: o fragmento foi publicado em 1711, mas a substância dele foi impressa como um apêndice à Óptica em 1704. Essas obras foram apenas o fruto do lazer de Newton, a maior parte de seu tempo durante esses dois anos sendo dedicada a pesquisas ópticas.
Em outubro de 1669, Barrow renunciou à cadeira lucasiana em favor de Newton. Durante sua posse da cátedra, era prática de Newton palestrar publicamente uma vez por semana, por meia hora a uma hora de cada vez, em um período de cada ano, provavelmente ditando suas palestras tão rapidamente quanto podiam ser anotadas; e na semana seguinte à palestra, dedicar quatro horas a compromissos que ele dava aos alunos que desejavam ir a seus aposentos para discutir os resultados da palestra anterior. Ele nunca repetiu um curso, que geralmente consistia em nove ou dez palestras, e geralmente as palestras de um curso começavam do ponto em que o curso anterior havia terminado. Os manuscritos de suas palestras por dezessete dos primeiros dezoito anos de sua posse são existentes.
Quando foi nomeado pela primeira vez, Newton escolheu a óptica para o assunto de suas palestras e pesquisas, e antes do final de 1669 ele havia elaborado os detalhes de sua descoberta da decomposição de um raio de luz branca em raios de cores diferentes por meio de um prisma. A explicação completa da teoria do arco-íris seguiu-se a essa descoberta. Essas descobertas formaram o assunto das palestras que ele proferiu como professor lucasiano nos anos de 1669, 1670 e 1671. Os principais novos resultados foram incorporados em um artigo comunicado à Royal Society em fevereiro de 1672 e posteriormente publicado nas Philosophical Transactions. O manuscrito de suas palestras originais foi impresso em 1729 com o título Lectiones Opticae. Este trabalho é dividido em dois livros, o primeiro dos quais contém quatro seções e o segundo cinco. A primeira seção do primeiro livro trata da decomposição da luz solar por um prisma em consequência da refrangibilidade desigual dos raios que a compõem, e uma descrição de seus experimentos é adicionada. A segunda seção contém um relato do método que Newton inventou para determinar os coeficientes de refração de diferentes corpos. Isso é feito fazendo um raio passar por um prisma do material de modo que o desvio seja mínimo; e ele prova que, se o ângulo do prisma for i e o desvio do raio for δ, o índice de refração será sin ½ ( i + δ) cosec ½ i. A terceira seção é sobre refrações em superfícies planas; ele mostra aqui que, se um raio passar por um prisma com desvio mínimo, o ângulo de incidência é igual ao ângulo de emergência; a maior parte desta seção é dedicada a soluções geométricas de diferentes problemas. A quarta seção contém uma discussão sobre refrações em superfícies curvas. O segundo livro trata de sua teoria das cores e do arco-íris.
Por um curioso capítulo de acidentes, Newton não conseguiu corrigir a aberração cromática de duas cores por meio de um par de prismas. Ele, portanto, abandonou a esperança de fazer um telescópio refrator que fosse acromático e, em vez disso, projetou um telescópio refletor, provavelmente no modal de um pequeno que ele havia feito em 1668. A forma que ele usou é aquela ainda conhecida por seu nome; a ideia foi naturalmente sugerida pelo telescópio de Gregory. Em 1672, ele inventou um microscópio refletor, e alguns anos depois ele inventou o sextante que foi redescoberto por J. Hadley em 1731.
Suas palestras professorais de 1673 a 1683 foram sobre álgebra e a teoria das equações, e são descritas abaixo; mas grande parte de seu tempo durante esses anos foi ocupada com outras investigações, e posso observar que, ao longo de sua vida, Newton deve ter dedicado pelo menos tanta atenção à química e à teologia quanto à matemática, embora suas conclusões não sejam de interesse suficiente para exigir menção aqui. Sua teoria das cores e suas deduções de seus experimentos ópticos foram inicialmente atacadas com considerável veemência. A correspondência que isso acarretou para Newton ocupou quase todo o seu tempo livre nos anos de 1672 a 1675, e provou ser extremamente desagradável para ele. Escrevendo em 9 de dezembro de 1675, ele diz: "Fui tão perseguido com discussões decorrentes de minha teoria da luz que culpei minha própria imprudência por me separar de uma bênção tão substancial quanto minha tranquilidade para correr atrás de uma sombra." Novamente, em 18 de novembro de 1676, ele observa: "Vejo que me tornei escravo da filosofia; mas se eu me livrar dos negócios do Sr. Linus, darei adeus resolutamente a ela eternamente, exceto o que faço para minha satisfação particular, ou deixo para sair depois de mim; pois vejo que um homem deve ou resolver não publicar nada de novo, ou se tornar um escravo para defendê-lo." A aversão irracional por ter suas conclusões duvidadas ou por se envolver em qualquer correspondência sobre elas foi um traço proeminente no caráter de Newton.
Newton estava profundamente interessado na questão de como os efeitos da luz foram realmente produzidos, e no final de 1675 ele havia elaborado a teoria corpuscular ou de emissão, e havia mostrado como ela daria conta de todos os vários fenômenos da óptica geométrica, como reflexão, refração, cores, difração, etc. Para fazer isso, no entanto, ele foi obrigado a adicionar um cavaleiro um tanto artificial, que seus corpúsculos tinham ataques alternados de fácil reflexão e fácil refração comunicados a eles por um éter que preenchia o espaço. A teoria agora é considerada insustentável, mas deve-se notar que Newton a enunciou como uma hipótese da qual certos resultados se seguiriam: pareceria que ele acreditava que a teoria das ondas era intrinsecamente mais provável, mas foi a dificuldade de explicar a difração nessa teoria que o levou a sugerir outra hipótese.
A teoria corpuscular de Newton foi exposta em memórias comunicadas à Royal Society em dezembro de 1675, que são substancialmente reproduzidas em sua Óptica, publicada em 1704. Neste último trabalho, ele tratou em detalhes de sua teoria dos ataques de fácil reflexão e transmissão, e das cores de placas finas, às quais ele acrescentou uma explicação das cores de placas espessas [livro II, parte 4] e observações sobre a inflexão da luz [livro III].
Duas cartas escritas por Newton no ano de 1676 são suficientemente interessantes para justificar uma alusão a elas. Leibnitz, que esteve em Londres em 1673, havia comunicado alguns resultados à Royal Society que ele supôs serem novos, mas que lhe foi apontado que haviam sido previamente comprovados por Mouton. Isso levou a uma correspondência com Oldenburg, o secretário da Sociedade. Em 1674, Leibnitz escreveu dizendo que possuía "métodos analíticos gerais dependentes de séries infinitas". Oldenburg, em resposta, disse a ele que Newton e Gregory haviam usado essas séries em seu trabalho. Em resposta a um pedido de informações, Newton escreveu em 13 de junho de 1676, dando um breve relato de seu método, mas acrescentando as expansões de um binômio (isto é, o teorema binomial) e de sin -1 x; do último dos quais ele deduziu o de sin x: este parece ser o primeiro exemplo conhecido de uma reversão de séries. Ele também inseriu uma expressão para a retificação de um arco elíptico em uma série infinita.
Leibnitz escreveu em 27 de agosto pedindo mais detalhes; e Newton, em uma resposta longa, mas interessante, datada de 34 de outubro de 1676, e enviada por meio de Oldenburg, dá um relato da maneira como ele foi levado a alguns de seus resultados.
Nesta carta, Newton começa dizendo que, ao todo, ele havia usado três métodos para expansão em séries. Seu primeiro foi obtido a partir do estudo do método de interpolação pelo qual Wallis havia encontrado expressões para a área de um círculo e uma hipérbole. Assim, considerando a série de expressões (1— x 2 ) 0/2 , (1— x 2 ) 2/2 , (1— x 2 ) 4/2 , ..., ele deduziu por interpolações a lei que conecta os coeficientes sucessivos nas expansões de (1— x 2 ) 1/2 , (1— x 2 ) 3/2 , ...; e então, por analogia, obteve a expressão para o termo geral na expansão de um binômio, ou seja, o teorema binomial. Ele diz que prosseguiu para testar isso formando o quadrado da expansão de (1— x 2 ) 1/2 , que se reduziu a 1—x²; e ele prosseguiu de maneira semelhante com outras expansões. Em seguida, ele testou o teorema no caso de (1— x 2 ) 1/2 extraindo a raiz quadrada de 1— x ², mais arithmetico. Ele também usou a série para determinar as áreas do círculo e da hipérbole em séries infinitas, e descobriu que os resultados eram os mesmos que ele havia obtido por outros meios.
Tendo estabelecido este resultado, ele então descartou o método de interpolação em séries e empregou seu teorema binomial para expressar (quando possível) a ordenada de uma curva em uma série infinita em potências crescentes da abscissa, e assim, pelo método de Wallis, ele obteve expressões em séries infinitas para as áreas e arcos de curvas da maneira descrita no apêndice de sua Óptica e em seu De Analysi per Equationes Numero Terminorum Infinitas. Ele afirma que havia empregado este segundo método antes da praga em 1665-66, e continua dizendo que foi então obrigado a deixar Cambridge, e subsequentemente (presumivelmente em seu retorno a Cambridge) ele deixou de seguir essas ideias, pois descobriu que Nicholas Mercator havia empregado alguns deles em seu Logarithmo-technica, publicado em 1668; e ele supôs que o restante havia sido ou seria descoberto antes que ele próprio pudesse publicar suas descobertas.
Newton explica em seguida que ele também tinha um terceiro método, do qual (ele diz) ele havia enviado um relato a Barrow e Collins por volta de 1669, ilustrado por aplicações a áreas, retificação, cubatura, etc. Este foi o método das fluxões; mas Newton não dá nenhuma descrição dele aqui, embora adicione algumas ilustrações de seu uso. A primeira ilustração é sobre a quadratura da curva representada pela equação
y = ax m ( b + cx n ) p,
que ele diz que pode ser efetuada como uma soma de ( m + 1)/ n termos se ( m + 1)/ n for um inteiro positivo, e que ele acha que não pode ser efetuada de outra forma, exceto por uma série infinita. [Isso não é assim, a integração é possível se p + ( m + 1)/ n for um inteiro.] Ele também dá uma lista de outras formas que são imediatamente integráveis, das quais as principais são
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onde m é um inteiro positivo e n é qualquer número. Por fim, ele aponta que a área de qualquer curva pode ser facilmente determinada aproximadamente pelo método de interpolação descrito abaixo ao discutir seu Methodus Differentialis.
No final de sua carta, Newton alude à solução do "problema inverso das tangentes", um assunto sobre o qual Leibnitz havia pedido informações. Ele dá fórmulas para reverter qualquer série, mas diz que, além dessas fórmulas, ele tem dois métodos para resolver essas questões, que por enquanto ele não descreverá, exceto por um anagrama que, lido, é o seguinte: "Una methodus consistit in extractione fluentis quantitatis ex aequatione simul involvente fluxionem ejus: altera tantum in assumptione seriei pro quantitate qualibet incognita ex qua caetera commode derivari possunt, et in collatione terminorum homologorum aequationis resultantis, as eruendos terminos assumptae seriei."
Ele implica nesta carta que está preocupado com as perguntas que lhe são feitas e as controvérsias levantadas sobre cada nova matéria que ele produz, o que mostra sua imprudência em publicar "quod umbram captando eatenus perdideram quietem meam, rem prorsus substantialem".
Leibnitz, em sua resposta, datada de 21 de junho de 1677, explica seu método de traçar tangentes a curvas, que ele diz que procede "não por fluxões de linhas, mas pelas diferenças de números"; e ele introduz sua notação de dx e dy para as diferenças infinitesimais entre as coordenadas de dois pontos consecutivos em uma curva. Ele também dá uma solução do problema de encontrar uma curva cuja subtangente é constante, o que mostra que ele poderia integrar.
Em 1679, Hooke, a pedido da Royal Society, escreveu a Newton expressando a esperança de que ele fizesse novas comunicações à Sociedade, e informando-o de vários fatos então recentemente descobertos. Newton respondeu dizendo que havia abandonado o estudo da filosofia, mas acrescentou que o movimento diurno da Terra poderia ser comprovado pelo experimento de observar o desvio da perpendicular de uma pedra caída de uma altura ao chão — um experimento que foi posteriormente feito pela Sociedade e teve sucesso. Hooke em sua carta mencionou as pesquisas geodésicas de Picard; nestas, Picard usou um valor do raio da Terra que é substancialmente correto. Isso levou Newton a repetir, com os dados de Picard, seus cálculos de 1666 sobre a órbita lunar, e ele assim verificou sua suposição de que a gravidade se estendia até a lua e variava inversamente como o quadrado da distância. Ele então prosseguiu para considerar a teoria geral do movimento de uma partícula sob uma força centrípeta, ou seja, uma dirigida a um ponto fixo, e mostrou que o vetor varreria áreas iguais em tempos iguais. Ele também provou que, se uma partícula descrever uma elipse sob uma força centrípeta para um foco, a lei deve ser a do inverso do quadrado da distância do foco, e, inversamente, que a órbita de uma partícula projetada sob a influência de tal força seria uma cônica (ou, talvez, ele pensasse apenas em uma elipse). Obedecendo sua regra de não publicar nada que pudesse colocá-lo em uma controvérsia científica, esses resultados foram trancados em seus cadernos, e foi apenas uma pergunta específica dirigida a ele cinco anos depois que levou à sua publicação.
A Aritmética Universal, que trata de álgebra, teoria das equações e problemas diversos, contém a substância das palestras de Newton durante os anos de 1673 a 1683. Seu manuscrito ainda existe; Whiston extraiu uma permissão um tanto relutante de Newton para imprimi-lo, e foi publicado em 1707. Entre vários novos teoremas sobre vários pontos em álgebra e na teoria das equações, Newton aqui enuncia os seguintes resultados importantes. Ele explica que a equação cujas raízes são a solução de um determinado problema terá tantas raízes quanto houver casos possíveis diferentes; e ele considera como acontece que a equação à qual um problema leva pode conter raízes que não satisfazem a questão original. Ele estende a regra dos sinais de Descartes para dar limites ao número de raízes imaginárias. Ele usa o princípio da continuidade para explicar como duas raízes reais e desiguais podem se tornar imaginárias ao passar pela igualdade, e ilustra isso por considerações geométricas; daí ele mostra que as raízes imaginárias devem ocorrer em pares. Newton também dá aqui regras para encontrar um limite superior para as raízes positivas de uma equação numérica e para determinar os valores aproximados das raízes numéricas. Ele ainda enuncia o teorema conhecido por seu nome para encontrar a soma das potências n-ésimas das raízes de uma equação e lançou as bases da teoria das funções simétricas das raízes de uma equação.
O teorema mais interessante contido na obra é sua tentativa de encontrar uma regra (análoga à de Descartes para raízes reais) pela qual o número de raízes imaginárias de uma equação pode ser determinado. Ele sabia que o resultado que ele obteve não era universalmente verdadeiro, mas não deu nenhuma prova e não explicou quais eram as exceções à regra. Seu teorema é o seguinte. Suponha que a equação seja do grau n, disposta em potências decrescentes de x (o coeficiente de x n sendo positivo), e suponha que as n + 1 frações
sejam formadas e escritas abaixo dos termos correspondentes da equação, então, se o quadrado de qualquer termo quando multiplicado pela fração correspondente for maior que o produto dos termos de cada lado dele, coloque um sinal de mais acima dele: caso contrário, coloque um sinal de menos acima dele, e coloque um sinal de mais acima dos primeiros e últimos termos. Agora, considere quaisquer dois termos consecutivos na equação original e os dois símbolos escritos acima deles. Então, podemos ter qualquer um dos quatro casos seguintes: (α) os termos do mesmo sinal e os símbolos do mesmo sinal; (β) os termos do mesmo sinal e os símbolos de sinais opostos; (γ) os termos de sinais opostos e os símbolos do mesmo sinal; (δ) os termos de sinais opostos e os símbolos de sinais opostos. Então, foi mostrado que o número de raízes negativas não excederá o número de casos (α), e o número de raízes positivas não excederá o número de casos (γ); e, portanto, o número de raízes imaginárias não é menor que o número de casos (β) e (δ). Em outras palavras, o número de mudanças de sinais na linha de símbolos escritos acima da equação é um limite inferior para o número de raízes imaginárias. Newton, no entanto, afirmou que "você quase pode saber quantas raízes são impossíveis" contando as mudanças de sinal na série de símbolos formada como acima. Ou seja, ele pensou que, em geral, o número real de raízes positivas, negativas e imaginárias poderia ser obtido pela regra e não apenas limites superiores ou inferiores a esses números. Mas, embora soubesse que a regra não era universal, ele não conseguiu encontrar (ou, pelo menos, não afirmou) quais eram as exceções a ela: este problema foi posteriormente discutido por Campbell, Maclaurin, Euler e outros escritores; por fim, em 1865, Sylvester conseguiu provar o resultado geral.
Em agosto de 1684, Halley veio a Cambridge para consultar Newton sobre a lei da gravitação. Hooke, Huygens, Halley e Wren haviam conjecturado que a força da atração do sol ou da terra sobre uma partícula externa variava inversamente como o quadrado da distância. Esses escritores parecem ter mostrado independentemente que, se as conclusões de Kepler fossem rigorosamente verdadeiras, sobre as quais não tinham certeza, a lei da atração deve ser a do inverso do quadrado. Provavelmente, seu argumento foi o seguinte. Se v for a velocidade de um planeta, r o raio de sua órbita tomada como um círculo e T seu tempo periódico, v = 2π r/T. Mas, se f for a aceleração para o centro do círculo, temos f = 4π² r/T ². Agora, pela terceira lei de Kepler, T ² varia como r ³; portanto, f varia inversamente como r ². Eles não puderam, no entanto, deduzir da lei as órbitas dos planetas. Halley explicou que suas investigações foram interrompidas por sua incapacidade de resolver este problema, e perguntou a Newton se ele poderia descobrir qual seria a órbita de um planeta se a lei da atração fosse a do inverso do quadrado. Newton respondeu imediatamente que era uma elipse e prometeu enviar ou escrever novamente a demonstração dela que ele havia encontrado em 1679. Isso foi enviado em novembro de 1684.
Instigado por Halley, Newton agora retornou ao problema da gravitação; e antes do outono de 1684, ele havia elaborado a substância das proposições 1-19, 21, 30, 32-35 no primeiro livro do Principia. Estes, juntamente com notas sobre as leis do movimento e vários lemas, foram lidos para suas palestras no período de Michaelmas, 1684.
Em novembro, Halley recebeu a comunicação prometida de Newton, que provavelmente consistia na substância das proposições 1, 11 e na proposição 17 ou no primeiro corolário da proposição 13; então, Halley foi novamente a Cambridge, onde viu "um tratado curioso, De Motu, elaborado desde agosto". Muito provavelmente, isso contia as notas manuscritas de Newton das palestras acima mencionadas: essas notas estão agora na biblioteca da universidade e são intituladas "De Motu Corporum". Halley implorou que os resultados fossem publicados e finalmente garantiu a promessa de que eles seriam enviados à Royal Society: eles foram, portanto, comunicados à Sociedade o mais tardar em fevereiro de 1685, no artigo De Motu, que contém a substância das seguintes proposições no Principia, livro I, props. 1, 4, 6, 7, 10, 11, 15, 17, 32; livro II, props. 2,3,4.
Também parece ter sido devido à influência e tato de Halley em sua visita em novembro de 1684 que Newton se comprometeu a atacar todo o problema da gravitação e praticamente se comprometeu a publicar seus resultados: estes estão contidos no Principia. Até agora, Newton não havia determinado a atração de um corpo esférico em um ponto externo, nem havia calculado os detalhes dos movimentos planetários, mesmo que os membros do sistema solar pudessem ser considerados pontos. O primeiro problema foi resolvido em 1685, provavelmente em janeiro ou fevereiro. "Assim que", para citar o discurso do Dr. Glaisher no bicentenário da publicação do Principia, "Newton provou este teorema soberbo — e sabemos por suas próprias palavras que ele não esperava um resultado tão bonito até que ele surgisse de sua investigação matemática — então toda a mecânica do universo de uma vez se espalhou diante dele. Quando ele descobriu os teoremas que formam as três primeiras seções do livro I, quando ele os deu em suas palestras de 1684, ele não sabia que o sol e a terra exerciam suas atrações como se fossem apenas pontos. Como essas proposições devem ter parecido diferentes aos olhos de Newton quando ele percebeu que esses resultados, que ele acreditava serem apenas aproximadamente verdadeiros quando aplicados ao sistema solar, eram realmente exatos! Até agora, eles eram verdadeiros apenas na medida em que ele podia considerar o sol como um ponto em comparação com a distância dos planetas, ou a terra como um ponto em comparação com a distância da lua — uma distância que equivale a apenas cerca de sessenta vezes o raio da terra — mas agora eles eram matematicamente verdadeiros, exceto apenas pela ligeira desvio da forma perfeitamente esférica do sol, da terra e dos planetas. Podemos imaginar o efeito dessa transição repentina da aproximação à exatidão em estimular a mente de Newton a esforços ainda maiores. Agora estava em seu poder aplicar a análise matemática com absoluta precisão aos problemas reais da astronomia."
Dos três princípios fundamentais aplicados no Principia, podemos dizer que a ideia de que cada partícula atrai cada outra partícula no universo foi formada pelo menos já em 1666; a lei da descrição equitativa de áreas, suas consequências e o fato de que, se a lei da atração fosse a do inverso do quadrado, a órbita de uma partícula em torno de um centro de força seria uma cônica foram comprovados em 1679; e, por fim, a descoberta de que uma esfera, cuja densidade em qualquer ponto depende apenas da distância do centro, atrai um ponto externo como se toda a massa estivesse reunida em seu centro foi feita em 1685. Foi esta última descoberta que lhe permitiu aplicar os dois primeiros princípios aos fenômenos de corpos de tamanho finito.
O rascunho do primeiro livro do Principia foi concluído antes do verão de 1685, mas as correções e adições levaram algum tempo, e o livro não foi apresentado à Royal Society até 28 de abril de 1686. Este livro é dedicado à consideração do movimento de partículas ou corpos no espaço livre, seja em órbitas conhecidas, seja sob a ação de forças conhecidas, ou sob sua atração mútua; e, em particular, para indicar como os efeitos das forças perturbadoras podem ser calculados. Nele também Newton generaliza a lei da atração em uma afirmação de que cada partícula de matéria no universo atrai cada outra partícula com uma força que varia diretamente como o produto de suas massas e inversamente como o quadrado da distância entre elas; e ele deduz daí a lei da atração para cascas esféricas de densidade constante. O livro é prefaciado por uma introdução sobre a ciência da dinâmica, que define os limites da investigação matemática. Seu objetivo, ele diz, é aplicar a matemática aos fenômenos da natureza; entre esses fenômenos, o movimento é um dos mais importantes; agora, o movimento é o efeito da força e, embora ele não saiba qual é a natureza ou a origem da força, ainda muitos de seus efeitos podem ser medidos; e são estes que constituem o assunto da obra.
O segundo livro do Principia foi concluído no verão de 16
