Almost contemporaneously with the publication in 1637 of Descartes' geometry, the principles of the integral calculus, so far as they are concerned with summation, were being worked out in Italy. This was effected by what was called the principle of indivisibles, and was the invention of Cavalieri. It was applied by him and his contemporaries to numerous problems connected with the quadrature of curves and surfaces, the determination on volumes, and the positions of centres of mass. It served the same purpose as the tedious method of exhaustions used by the Greeks; in principle the methods are the same, but the notation of indivisibles is more concise and convenient. It was, in its turn, superceded at the beginning of the eighteenth century by the integral calculus.
Bonaventura Cavalieri was born at Milan in 1598, and died at Bologna on November 27, 1647. He became a Jesuit at an early age; on the recommendation of the Order he was in 1629 made professor of mathematics at Bologna; and he continued to occupy the chair there until his death. I have already mentioned Cavalieri's name in connection with the introduction of the use of logarithms into Italy, and have alluded to his discovery of the expression for the area of a spherical triangle in terms of the spherical excess. He was one of the most influential mathematicians of his time, but his subsequent reputation rests mainly on his invention of the principle of indivisibles.
The principle of indivisibles had been used by Kepler in 1604 and 1615 in a somewhat crude form. It was first stated by Cavalieri in 1629, but he did not publish his results till 1635. In his early enunciation of the principle in 1635 Cavalieri asserted that a line was made up of an infinite number of points (each without magnitude), a surface of infinite number of lines (each without breadth), and a volume of an infinite number of surfaces (each without thickness). To meet the objections of Guldinus and others, the statement was recast, and in its final form as used by the mathematicians of the seventeenth century it was published in Cavalieri's Exercitationes Geometricae in 1647; the third exercise is devoted to a defence of the theory. This book contains the earliest demonstration of the properties of Pappus. Cavalieri's works on indivisibles were reissued with his later corrections in 1653.
The method of indivisibles rests, in effect, on the assumption that any magnitude may be divided into an infinite number of small quantities which can be made to bear any required ratios ( ex. gr. equality) one to the other. The analysis given by Cavalieri is hardly worth quoting except as being one of the first steps taken towards the formation of an infinitesimal calculus. One example will suffice. Suppose it be required to find the area of a right-angled triangle. Let the base be made up of, or contain n points (or indivisibles), and similarly let the other side contain na points, then the ordinates at the successive points of the base will contain a , 2 a ..., na points. Therefore the number of points in the area is a + 2 a + ... + na ; the sum of which is 1/2 n 2 a + 1/2 na . Since n is very large, we may neglect 1/2 na for it is inconsiderable compared with 1/2 n 2 a . Hence the area is equal to 1/2( na ) n , that is, 1/2 x altitude x base. There is no difficulty in criticizing such a proof, but, although the form in which it is presented is indefensible, the substance of it is correct.
It would be misleading to give the above as the only specimen of the method of indivisibles, and I therefore quote another example, taken from a later writer, which will fairly illustrate the use of the method when modified and corrected by the method of limits.
Let it be required to find the area outside a parabola APC and bounded by the curve, the tangent at A , and a line DC parallel to AB the diameter at A . Complete the parallelogram ABCD . Divide AD into n equal parts, let AM contain r of them, and let MN be the ( r + 1)th part. Draw MP and NQ parallel to AB , and draw PR parallel to AD . Then when n becomes indefinitely large, the curvilinear area APCD will be the the limit of the sum of all parallelograms like PN . Now
area PN : area BD = MP . MN : DC . AD .
But by the properties of the parabola
MP : DC = AM 2 : AD 2 = r 2 : n 2 ,
and MN : AD = 1 : n . Hence MP . MN : DC . AD = r 2 : n 3 . Therefore area PN : area BD = r 2 : n 3 . Therefore, ultimately,
area APCD : area BD = 1 2 + 2 2 + ... + (n-1) 2 : n 3 = 1/6 n (n-1)(2n-1) : n 3
which, in the limit, = 1 : 3.
It is perhaps worth noticing that Cavalieri and his successors always used the method to find the ratio of two areas, volumes, or magnitudes of the same kind and dimensions, that is, they never thought of an area as containing so many units of area. The idea of comparing a magnitude with a unit of the same kind seems to have been due to Wallis.
It is evident that in its direct form the method is applicable to only a few curves. Cavalieri proved that, if m be a positive integer, then the limit, when n is infinite, of (1 m + 2 m + ... + n m )/ n m+1 is 1/( m +1), which is equivalent to saying that he found the integral of x to x m from x = 0 to x = 1; he also discussed the quadrature of the hyperbola.
Введение и представление автора
Этот текст знакомит с новаторской работой Бонавентуры Кавальери, важной фигурой в истории математики начала XVII века. Кавальери, родившийся в Милане в 1598 году, был священником-иезуитом и профессором математики в Болонье. Его работа заложила основы для интегрального исчисления, раздела математики, который занимается суммированием бесконечно малых величин для нахождения площадей, объемов и других величин. Принцип неделимых Кавальери был революционной идеей, которая помогла математикам выйти за рамки древнегреческих методов исчерпывания, предлагая более простой и гибкий подход к вычислению площадей и объемов.
Понимание принципа неделимых
Принцип Кавальери гласит, что линия состоит из бесконечно многих точек, поверхность — из бесконечно многих линий, а объем — из бесконечно многих поверхностей. Эта идея может показаться абстрактной или даже сбивающей с толку на первый взгляд, но она является ключевым шагом к концепции интегрирования в современном исчислении. Представляя себе фигуры как состоящие из бесконечно тонких срезов или точек, Кавальери мог вычислять площади и объемы, сравнивая эти срезы между различными фигурами.
Например, чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, Кавальери представлял себе основание как состоящее из множества точек, а высоту — как содержащую пропорциональное количество точек. Суммируя эти точки, он пришел к знакомой формуле площади треугольника: половина основания, умноженная на высоту. Хотя его метод не обладал той строгостью, которую мы ожидаем сегодня, лежащая в его основе идея была верной и проложила путь для будущих математиков.
Значение и влияние
Работа Кавальери была значимой, потому что она представила новый способ мышления о геометрии и измерениях, который был более интуитивным и менее громоздким, чем предыдущие методы. Его принцип неделимых предвосхитил интегральное исчисление, разработанное позднее Ньютоном и Лейбницем. Этот метод позволил математикам решать задачи, связанные с кривыми и поверхностями, которые ранее было очень трудно или невозможно решить.
Его работа также повлияла на изучение парабол, сфер и гипербол, расширив понимание этих фигур и их свойств. Подход Кавальери помог преодолеть разрыв между геометрией и алгеброй, что привело к появлению мощных математических инструментов, используемых в науке и технике сегодня.
Что могут узнать студенты
-
Математическое творчество и инновации: История Кавальери показывает, как новые идеи часто основываются на старых. Он взял древнегреческий метод исчерпывания и улучшил его, представив фигуры как состоящие из неделимых частей. Это учит студентов ценности творческого мышления и рассмотрения проблем с новых точек зрения.
-
Основы исчисления: Хотя исчисление может показаться сложным, принцип Кавальери дает простое введение в концепцию суммирования бесконечно многих малых частей для нахождения целого. Понимание этого принципа помогает студентам оценить истоки и важность исчисления.
-
Исторический контекст: Изучение Кавальери помогает студентам увидеть, как математика развивалась с течением времени и как разные культуры внесли вклад в знания. Это также показывает, как наука и религия сосуществовали, поскольку Кавальери был священником-иезуитом и математиком.
-
Решение проблем: Приведенные примеры, такие как нахождение площади под параболой, демонстрируют, как математические рассуждения могут решать практические задачи. Студенты могут научиться применять логические шаги и использовать приближения для решения сложных вопросов.
Применение этих уроков в жизни и учебе
-
В школе: Студенты могут использовать принцип Кавальери как ступеньку к пониманию интегрирования в классах исчисления. Это поощряет разбиение сложных задач на более мелкие, управляемые части, что является полезным навыком в любом предмете.
-
В повседневной жизни: Идея суммирования малых частей для понимания целого может быть применена в составлении бюджета, приготовлении пищи или планировании проектов. Например, управление временем путем разделения задач на более мелкие сегменты отражает неделимый подход.
-
В социальных ситуациях: Преданность Кавальери как вере, так и науке показывает важность баланса между различными аспектами жизни и уважения к различным областям знаний. Студенты могут научиться ценить множество точек зрения и сотрудничать в разных дисциплинах.
Развитие положительных черт из работы Кавальери
-
Любопытство и непредвзятость: Готовность Кавальери исследовать новые идеи побуждает студентов оставаться любопытными и открытыми для обучения, даже когда концепции кажутся сложными или незнакомыми.
-
Настойчивость: Его работа изначально подвергалась критике и не была полностью принята, но он продолжал совершенствовать свои идеи. Это учит ценности настойчивости перед лицом трудностей.
-
Аналитическое мышление: Метод неделимых требует тщательного анализа и логического мышления, навыков, которые ценны в учебе и принятии повседневных решений.
Заключение
Принцип неделимых Бонавентуры Кавальери — это больше, чем просто математический метод; это история инноваций, настойчивости и эволюции человеческого понимания. Для студентов он предлагает взгляд на истоки исчисления и силу мышления по-другому. Изучая его работу, молодые учащиеся могут получить представление о решении проблем, истории науки и важности сочетания творчества с логикой. Эти уроки выходят за рамки математики, поощряя образ мышления, который является любопытным, настойчивым и аналитическим — качества, которые хорошо послужат им во всех сферах жизни.
