⟦PRESERVE⟧Математики, рассмотренные в последней главе, начали создание тех процессов, которые отличают современную математику. Исключительные способности Ньютона позволили ему в течение нескольких лет усовершенствовать более элементарные из этих процессов и значительно продвинуть каждую ветвь математической науки, изучавшейся тогда, а также создать некоторые новые темы. Ньютон был современником и другом Уоллиса, Гюйгенса и других, упомянутых в последней главе, но хотя большая часть его математической работы была выполнена между 1665 и 1686 годами, основная часть ее не была напечатана — по крайней мере, в книжной форме — до нескольких лет спустя.
Я намерен обсудить работы Ньютона более подробно, чем работы других математиков, отчасти из-за внутренней важности его открытий, а отчасти потому, что эта книга в основном предназначена для английских читателей, и развитие математики в Великобритании в течение века было полностью в руках ньютонианской школы.
Исаак Ньютон родился в Линкольншире, недалеко от Грантема, 25 декабря 1642 года и умер в Кенсингтоне, Лондон, 20 марта 1727 года. Он учился в Тринити-колледже в Кембридже и жил там с 1661 по 1696 год, в течение которого времени он создал основную часть своей работы в математике; в 1696 году он был назначен на ценную государственную должность и переехал в Лондон, где прожил до своей смерти.
Его отец, который умер незадолго до рождения Ньютона, был фермером, и предполагалось, что Ньютон продолжит дело отца. Его отправили в школу в Грантеме, где его учёность и механические способности привлекли некоторое внимание. В 1656 году он вернулся домой, чтобы изучать фермерское дело, но большую часть времени проводил, решая задачи, проводя эксперименты или разрабатывая механические модели; его мать, заметив это, разумно решила найти для него более подходящее занятие, и его дядя, сам обучавшийся в Тринити-колледже, рекомендовал отправить его туда.
В 1661 году Ньютон поступил в Кембридж, где впервые оказался среди обстановки, способствующей развитию его способностей. Однако, похоже, он мало интересовался общественной жизнью или какими-либо занятиями, кроме науки и математики. К счастью, он вел дневник, и мы можем таким образом составить представление о ходе обучения самых продвинутых студентов в английском университете того времени. Он не читал математику до поступления, но был знаком с логикой Сандерсона, которая тогда часто читалась как предшествующая математике. В начале своего первого октябрьского семестра он случайно прогулялся на ярмарку в Стаурбридже и там подобрал книгу по астрологии, но не смог понять ее из-за геометрии и тригонометрии. Поэтому он купил «Эвклид», и был удивлён, насколько очевидными казались предложения. Затем он прочитал «Клавис» Оутреда и «Геометрию» Декарта, последнюю из которых он смог освоить самостоятельно, хотя и с некоторыми трудностями. Интерес, который он испытывал к предмету, побудил его заняться математикой, а не химией, как серьезным изучением. Его последующее чтение по математике в качестве студента основывалось на «Оптике» Кеплера, работах Вьета, «Разных трудах» ван Шоотена, «Геометрии» Декарта и «Арифметике бесконечностей» Уоллиса: он также посещал лекции Барроу. Позже, читая «Эвклида» более внимательно, он сформировал высокое мнение о нем как об инструменте образования и выражал сожаление, что не уделял внимания геометрии, прежде чем перейти к алгебраическому анализу.
Существует его рукопись, датированная 28 мая 1665 года, написанная в том же году, когда он получил степень бакалавра, которая является самым ранним документальным доказательством его изобретения флюкций. Примерно в то же время он открыл биномиальную теорему.
Из-за чумы колледж был закрыт в течение частей 1665 и 1666 годов, и в течение нескольких месяцев в это время Ньютон жил дома. Этот период был насыщен блестящими открытиями. Он продумал основные принципы своей теории гравитации, а именно, что каждая частица материи притягивает каждую другую частицу, и он подозревал, что притяжение варьируется как произведение их масс и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними. Он также довольно полно разработал флюкционный калькуляс: в рукописи, датированной 13 ноября 1665 года, он использовал флюкции, чтобы найти касательную и радиус кривизны в любой точке на кривой, а в октябре 1666 года он применил их к нескольким задачам в теории уравнений. Ньютон сообщил об этих результатах своим друзьям и ученикам с 1669 года, но они не были опубликованы в печати до многих лет спустя. Также, находясь дома в это время, он разработал некоторые инструменты для шлифовки линз в особые формы, отличные от сферических, и, возможно, разложил солнечный свет на разные цвета.
Опуская детали и беря только округленные числа, его рассуждения в это время о теории гравитации, похоже, были следующими. Он подозревал, что сила, которая удерживает луну на орбите вокруг земли, была той же, что и земное притяжение, и чтобы проверить эту гипотезу, он proceeded thus. Он знал, что, если камень позволить упасть близко к поверхности земли, притяжение земли (то есть вес камня) заставляет его двигаться на 16 футов за одну секунду. Орбита луны относительно земли почти круговая; и как грубое приближение, принимая ее таковой, он знал расстояние до луны, и, следовательно, длину ее пути; он также знал, сколько времени луна затрачивает на один полный оборот, а именно, месяц.
Таким образом, он мог легко найти ее скорость в любой точке, такой как M. Он мог бы, следовательно, найти расстояние MT, через которое она переместится в следующую секунду, если бы ее не тянуло притяжение земли. В конце этой секунды она была, однако, в M', и, следовательно, земля E должна была притянуть ее через расстояние TM' за одну секунду (предполагая, что направление притяжения земли остается постоянным). Теперь он и несколько физиков того времени предположили из третьего закона Кеплера, что притяжение земли на тело будет уменьшаться по мере удаления тела от земли обратно пропорционально квадрату расстояния от центра земли; если бы это был фактический закон, и если бы гравитация была единственной силой, удерживающей луну на орбите, тогда TM' должно быть к 16 футам обратно пропорционально квадрату расстояния луны от центра земли к квадрату радиуса земли. В 1679 году, когда он повторил исследование, TM' оказалось иметь значение, требуемое гипотезой, и проверка была завершена; но в 1666 году его оценка расстояния до луны была неточной, и когда он сделал расчет, он обнаружил, что TM' было примерно на одну восьмую меньше, чем должно было быть по его гипотезе.
Это несоответствие, похоже, не поколебало его веру в убеждение, что гравитация простирается до луны и варьируется обратно пропорционально квадрату расстояния; но из заметок Уистона о разговоре с Ньютоном, похоже, что Ньютон предположил, что какая-то другая сила — вероятно, вихри Декарта — действовала на луну, как и гравитация. Это утверждение подтверждается отчетом Пембертона о расследовании. Более того, кажется, что Ньютон уже твердо верил в принцип универсальной гравитации, а именно, что каждая частица материи притягивает каждую другую частицу, и подозревал, что притяжение варьируется как произведение их масс и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними; но совершенно точно, что он тогда не знал, каково будет притяжение сферической массы на любую внешнюю точку, и не думал, что вероятно, что частица будет притягиваться землей так, как если бы последняя была сосредоточена в одной частице в своем центре.
Вернувшись в Кембридж в 1667 году, Ньютон был избран в стипендиаты своего колледжа и навсегда остался там. В начале 1669 года, или, возможно, в 1668 году, он пересмотрел лекции Барроу для него. Конец четырнадцатой лекции, как известно, был написан Ньютоном, но сколько из остального принадлежит его предложениям, сейчас невозможно определить. Как только это было закончено, его попросили Барроу и Коллинз отредактировать и добавить примечания к переводу алгебры Кинкхуйзена; он согласился сделать это, но при условии, что его имя не будет упомянуто в материале. В 1670 году он также начал систематическое изложение своего анализа бесконечными рядами, целью которого было выразить ординату кривой в бесконечном алгебраическом ряде, каждый член которого можно интегрировать по правилу Уоллиса; его результаты по этому предмету были сообщены Барроу, Коллинзу и другим в 1669 году. Это никогда не было завершено: фрагмент был опубликован в 1711 году, но его суть была напечатана как приложение к «Оптике» в 1704 году. Эти работы были лишь плодом досуга Ньютона, большую часть своего времени в течение этих двух лет он уделял оптическим исследованиям.
В октябре 1669 года Барроу ушел с лукасиевского кресла в пользу Ньютона. В течение своего срока профессуры Ньютон практиковал публичные лекции раз в неделю, от получаса до часа за раз, в одном семестре каждого года, вероятно, диктуя свои лекции так быстро, как их можно было записать; а на неделе после лекции он посвящал четыре часа встречам, которые он назначал студентам, желающим прийти к нему в комнату, чтобы обсудить результаты предыдущей лекции. Он никогда не повторял курс, который обычно состоял из девяти или десяти лекций, и, как правило, лекции одного курса начинались с точки, на которой закончился предыдущий курс. Рукописи его лекций за семнадцать из первых восемнадцати лет его срока сохранились.
Когда он впервые был назначен, Ньютон выбрал оптику в качестве темы своих лекций и исследований, и до конца 1669 года он разработал детали своего открытия разложения луча белого света на лучи разных цветов с помощью призмы. Полное объяснение теории радуги следовало из этого открытия. Эти открытия составили предмет лекций, которые он читал в качестве лукасиевского профессора в 1669, 1670 и 1671 годах. Главные новые результаты были изложены в статье, представленной Королевскому обществу в феврале 1672 года, и впоследствии опубликованной в «Философских трудах». Рукопись его оригинальных лекций была напечатана в 1729 году под названием "Lectiones Opticae". Эта работа делится на две книги, первая из которых содержит четыре раздела, а вторая — пять. Первый раздел первой книги касается разложения солнечного света с помощью призмы в результате неравномерной преломляемости лучей, которые его составляют, и добавляется описание его экспериментов. Второй раздел содержит описание метода, который Ньютон изобрел для определения коэффициентов преломления различных тел. Это делается путем пропускания луча через призму данного материала так, чтобы отклонение было минимальным; и он доказывает, что, если угол призмы равен i, а отклонение луча равно δ, то показатель преломления будет равен sin ½ (i + δ) cosec ½ i. Третий раздел посвящен преломлениям на плоских поверхностях; здесь он показывает, что если луч проходит через призму с минимальным отклонением, угол падения равен углу выхода; большая часть этого раздела посвящена геометрическим решениям различных задач. Четвертый раздел содержит обсуждение преломлений на кривых поверхностях. Вторая книга касается его теории цветов и радуги.
По странному стечению обстоятельств Ньютон не смог исправить хроматическую аберрацию двух цветов с помощью пары призм. Поэтому он отказался от надежды создать рефракционный телескоп, который был бы ахроматическим, и вместо этого спроектировал отражающий телескоп, вероятно, по образцу небольшого, который он сделал в 1668 году. Форма, которую он использовал, известна до сих пор его именем; идея этого была естественно предложена телескопом Грегори. В 1672 году он изобрел отражающий микроскоп, а несколько лет спустя он изобрел секстант, который был заново открыт Дж. Хэдли в 1731 году.
Его профессорские лекции с 1673 по 1683 годы были по алгебре и теории уравнений, и описаны ниже; но большая часть его времени в течение этих лет была занята другими исследованиями, и я могу отметить, что на протяжении всей своей жизни Ньютон, должно быть, уделял как минимум столько же внимания химии и теологии, сколько математике, хотя его выводы не представляют достаточного интереса, чтобы их упоминать здесь. Его теория цветов и его выводы из оптических экспериментов сначала подверглись значительной критике. Переписка, которую это вызвало у Ньютона, занимала почти все его свободное время в 1672-1675 годах и оказалась ему крайне неприятной. Пишет 9 декабря 1675 года, он говорит: "Я был так преследуем обсуждениями, возникающими из моей теории света, что я упрекал свою собственную неосторожность за то, что расстался с таким существенным благом, как мой покой, чтобы гоняться за тенью." Снова, 18 ноября 1676 года, он замечает: "Я вижу, что сделал себя рабом философии; но если я избавлюсь от дел г-на Линуса, я решительно попрощаюсь с ней навсегда, за исключением того, что я делаю для своего личного удовлетворения или оставляю, чтобы выйти после меня; потому что я вижу, что человек должен либо решиться ничего нового не публиковать, либо стать рабом, чтобы защищать это." Нерациональная неприязнь к тому, чтобы его выводы подвергались сомнению или чтобы быть вовлеченным в какую-либо переписку по ним была яркой чертой характера Ньютона.
Ньютон был глубоко заинтересован в вопросе о том, как на самом деле производятся эффекты света, и к концу 1675 года он разработал корпускулярную или эмиссионную теорию и показал, как она могла бы объяснить все различные явления геометрической оптики, такие как отражение, преломление, цвета, дифракция и т. д. Однако для этого ему пришлось добавить несколько искусственный rider, что его корпускулы имели чередующиеся приступы легкого отражения и легкого преломления, передаваемые им эфиром, который заполнял пространство. Теория сейчас известна как неприемлемая, но следует отметить, что Ньютон выдвинул ее как гипотезу, из которой следовали бы определенные результаты: кажется, что он верил, что волновая теория является по своей сути более вероятной, но именно трудность объяснения дифракции по этой теории побудила его предложить другую гипотезу.
Корпускулярная теория Ньютона была изложена в мемуарах, представленных Королевскому обществу в декабре 1675 года, которые в основном воспроизводятся в его "Оптике", опубликованной в 1704 году. В последней работе он подробно рассмотрел свою теорию приступов легкого отражения и передачи, а также цвета тонких пластин, к которым он добавил объяснение цветов толстых пластин [bk. II, part 4] и наблюдения за инфлексией света [bk. III].
Два письма, написанные Ньютоном в 1676 году, достаточно интересны, чтобы оправдать упоминание о них. Лейбниц, который был в Лондоне в 1673 году, сообщил некоторые результаты Королевскому обществу, которые он предполагал быть новыми, но которые ему указали, что были ранее доказаны Мутоном. Это привело к переписке с Олденбургом, секретарем Общества. В 1674 году Лейбниц написал, что он обладает "общими аналитическими методами, основанными на бесконечных рядах." Олденбург, в ответ, сказал ему, что Ньютон и Грегори использовали такие ряды в своей работе. В ответ на просьбу о дополнительной информации Ньютон написал 13 июня 1676 года, дав краткий отчет о своем методе, но добавив разложения бинома (то есть биномиальную теорему) и sin -1 x; из последнего он вывел sin x: это кажется самым ранним известным случаем обращения рядов. Он также вставил выражение для ректификации эллиптической дуги в бесконечном ряде.
Лейбниц написал 27 августа, прося более полных деталей; и Ньютон в длинном, но интересном ответе, датированном 34 октября 1676 года и отправленном через Олденбурга, дает отчет о том, как он пришел к некоторым из своих результатов.
В этом письме Ньютон начинает с того, что говорит, что всего он использовал три метода для разложения в ряды. Его первый был получен из изучения метода интерполяции, с помощью которого Уоллис нашел выражения для площади круга и гиперболы. Таким образом, рассматривая ряд выражений (1— x 2 ) 0/2 , (1— x 2 ) 2/2 , (1— x 2 ) 4/2 , ..., он вывел по интерполяциям закон, который связывает последовательные коэффициенты в разложениях (1— x 2 ) 1/2 , (1— x 2 ) 3/2 , ...; а затем по аналогии получил выражение для общего члена в разложении бинома, то есть биномиальную теорему. Он говорит, что он продолжил проверять это, формируя квадрат разложения (1— x 2 ) 1/2 , который свелся к 1—x²; и он продолжил аналогичным образом с другими разложениями. Затем он проверил теорему в случае (1— x 2 ) 1/2, извлекая квадратный корень из 1— x ², более арифметически. Он также использовал ряды для определения площадей круга и гиперболы в бесконечных рядах и обнаружил, что результаты были такими же, как те, которые он получил другими средствами.
Установив этот результат, он затем отбросил метод интерполяции в рядах и использовал свою биномиальную теорему, чтобы выразить (когда это возможно) ординату кривой в бесконечном ряде, возрастающих степеней абсциссы, и таким образом по методу Уоллиса он получил выражения в бесконечных рядах для площадей и дуг кривых в манере, описанной в приложении к его "Оптике" и в его "De Analysi per Equationes Numero Terminorum Infinitas". Он утверждает, что использовал этот второй метод до чумы в 1665-66 годах, и продолжает говорить, что затем он был вынужден покинуть Кембридж, и впоследствии (предположительно, по возвращении в Кембридж) он прекратил преследовать эти идеи, так как обнаружил, что Николас Меркатор использовал некоторые из них в своей "Logarithmo-technica", опубликованной в 1668 году; и он предположил, что остальные были или будут найдены до того, как он сам сможет опубликовать свои открытия.
Ньютон далее объясняет, что у него также был третий метод, о котором (он говорит) он около 1669 года отправил отчет Барроу и Коллинзу, проиллюстрированный приложениями к площадям, ректификации, кубатуре и т. д. Это был метод флюкций; но Ньютон не дает здесь его описания, хотя добавляет некоторые иллюстрации его использования. Первая иллюстрация касается квадрата кривой, представленной уравнением
y = ax m ( b + cx n ) p,
которое, как он говорит, может быть выполнено как сумма (m + 1)/n членов, если (m + 1)/n является положительным целым числом, и которое, как он считает, не может быть выполнено иначе, кроме как бесконечным рядом. [Это не так, интеграция возможна, если p + (m + 1)/n является целым числом.] Он также дает список других форм, которые немедленно интегрируемы, из которых главные:
,
,
,
;
где m — положительное целое число, а n — любое число. Наконец, он указывает, что площадь любой кривой может быть легко определена приблизительно по методу интерполяции, описанному ниже в обсуждении его "Methodus Differentialis".
В конце своего письма Ньютон упоминает решение "обратной задачи касательных", темы, по которой Лейбниц просил информацию. Он дает формулы для обращения любого ряда, но говорит, что кроме этих формул у него есть два метода для решения таких вопросов, которые на данный момент он не будет описывать, кроме как анаграммой, которая, будучи прочитана, выглядит следующим образом: "Una methodus consistit in extractione fluentis quantitatis ex aequatione simul involvente fluxionem ejus: altera tantum in assumptione seriei pro quantitate qualibet incognita ex qua caetera commode derivari possunt, et in collatione терминов homologorum aequationis resultantis, as eruendos terminos assumptae seriei."
Он подразумевает в этом письме, что его беспокоят вопросы, которые ему задают, и споры, возникающие по каждому новому вопросу, который он производит, что показывает его безрассудство в публикации "quod umbram captando eatenus perdideram quietem meam, rem prorsus substantialem."
Лейбниц, в своем ответе, датированном 21 июня 1677 года, объясняет свой метод нахождения касательных к кривым, который, как он говорит, осуществляется "не через флюкции линий, а через разности чисел"; и он вводит свою нотацию dx и dy для бесконечно малых разностей между координатами двух последовательных точек на кривой. Он также дает решение задачи нахождения кривой, чья субтангента постоянна, что показывает, что он мог интегрировать.
В 1679 году Гук, по просьбе Королевского общества, написал Ньютону, выражая надежду, что он сделает дальнейшие сообщения в Общество, и информируя его о различных фактах, недавно открытых. Ньютон ответил, сказав, что он оставил изучение философии, но добавил, что суточное движение земли может быть доказано экспериментом наблюдения отклонения от перпендикуляра камня, сброшенного с высоты на землю — эксперимент, который впоследствии был проведен Обществом и удался. Гук в своем письме упомянул геодезические исследования Пикара; в них Пикар использовал значение радиуса земли, которое в значительной степени верно. Это побудило Ньютона повторить, используя данные Пикара, свои расчеты 1666 года по орбите луны, и таким образом он подтвердил свое предположение, что гравитация простирается до луны и варьируется обратно пропорционально квадрату расстояния. Затем он продолжил рассматривать общую теорию движения частицы под центростремительной силой, то есть направленной к фиксированной точке, и показал, что вектор будет охватывать равные площади за равные промежутки времени. Он также доказал, что, если частица описывает эллипс под центростремительной силой к фокусу, закон должен быть тем же, что и обратный квадрат расстояния от фокуса, и наоборот, что орбита частицы, брошенной под влиянием такой силы, будет конической (или, возможно, он думал, что только эллиптической). Следуя своему правилу не публиковать ничего, что могло бы привести его к научному спору, эти результаты были заперты в его записных книжках, и только конкретный вопрос, адресованный ему пять лет спустя, привел к их публикации.
"Универсальная арифметика", которая касается алгебры, теории уравнений и различных задач, содержит суть лекций Ньютона в течение 1673-1683 годов. Его рукопись все еще существует; Уистону удалось получить несколько неохотное разрешение от Ньютона на ее печать, и она была опубликована в 1707 году. Среди нескольких новых теорем по различным пунктам в алгебре и теории уравнений Ньютон здесь формулирует следующие важные результаты. Он объясняет, что уравнение, корни которого являются решением данной задачи, будет иметь столько же корней, сколько различных возможных случаев; и он рассматривает, как происходит так, что уравнение, к которому приводит задача, может содержать корни, которые не удовлетворяют исходному вопросу. Он расширяет правило знаков Декарта, чтобы дать пределы количеству мнимых корней. Он использует принцип непрерывности, чтобы объяснить, как два действительных и неравных корня могут стать мнимыми при переходе через равенство, и иллюстрирует это геометрическими соображениями; оттуда он показывает, что мнимые корни должны встречаться парами. Ньютон также здесь дает правила для нахождения верхнего предела положительных корней числового уравнения и для определения приблизительных значений числовых корней. Он также формулирует теорему, известную под его именем, для нахождения суммы n-й степени корней уравнения и заложил основы теории симметричных функций корней уравнения.
