Almost contemporaneously with the publication in 1637 of Descartes' geometry, the principles of the integral calculus, so far as they are concerned with summation, were being worked out in Italy. This was effected by what was called the principle of indivisibles, and was the invention of Cavalieri. It was applied by him and his contemporaries to numerous problems connected with the quadrature of curves and surfaces, the determination on volumes, and the positions of centres of mass. It served the same purpose as the tedious method of exhaustions used by the Greeks; in principle the methods are the same, but the notation of indivisibles is more concise and convenient. It was, in its turn, superceded at the beginning of the eighteenth century by the integral calculus.
Bonaventura Cavalieri was born at Milan in 1598, and died at Bologna on November 27, 1647. He became a Jesuit at an early age; on the recommendation of the Order he was in 1629 made professor of mathematics at Bologna; and he continued to occupy the chair there until his death. I have already mentioned Cavalieri's name in connection with the introduction of the use of logarithms into Italy, and have alluded to his discovery of the expression for the area of a spherical triangle in terms of the spherical excess. He was one of the most influential mathematicians of his time, but his subsequent reputation rests mainly on his invention of the principle of indivisibles.
The principle of indivisibles had been used by Kepler in 1604 and 1615 in a somewhat crude form. It was first stated by Cavalieri in 1629, but he did not publish his results till 1635. In his early enunciation of the principle in 1635 Cavalieri asserted that a line was made up of an infinite number of points (each without magnitude), a surface of infinite number of lines (each without breadth), and a volume of an infinite number of surfaces (each without thickness). To meet the objections of Guldinus and others, the statement was recast, and in its final form as used by the mathematicians of the seventeenth century it was published in Cavalieri's Exercitationes Geometricae in 1647; the third exercise is devoted to a defence of the theory. This book contains the earliest demonstration of the properties of Pappus. Cavalieri's works on indivisibles were reissued with his later corrections in 1653.
The method of indivisibles rests, in effect, on the assumption that any magnitude may be divided into an infinite number of small quantities which can be made to bear any required ratios ( ex. gr. equality) one to the other. The analysis given by Cavalieri is hardly worth quoting except as being one of the first steps taken towards the formation of an infinitesimal calculus. One example will suffice. Suppose it be required to find the area of a right-angled triangle. Let the base be made up of, or contain n points (or indivisibles), and similarly let the other side contain na points, then the ordinates at the successive points of the base will contain a , 2 a ..., na points. Therefore the number of points in the area is a + 2 a + ... + na ; the sum of which is 1/2 n 2 a + 1/2 na . Since n is very large, we may neglect 1/2 na for it is inconsiderable compared with 1/2 n 2 a . Hence the area is equal to 1/2( na ) n , that is, 1/2 x altitude x base. There is no difficulty in criticizing such a proof, but, although the form in which it is presented is indefensible, the substance of it is correct.
It would be misleading to give the above as the only specimen of the method of indivisibles, and I therefore quote another example, taken from a later writer, which will fairly illustrate the use of the method when modified and corrected by the method of limits.
Let it be required to find the area outside a parabola APC and bounded by the curve, the tangent at A , and a line DC parallel to AB the diameter at A . Complete the parallelogram ABCD . Divide AD into n equal parts, let AM contain r of them, and let MN be the ( r + 1)th part. Draw MP and NQ parallel to AB , and draw PR parallel to AD . Then when n becomes indefinitely large, the curvilinear area APCD will be the the limit of the sum of all parallelograms like PN . Now
area PN : area BD = MP . MN : DC . AD .
But by the properties of the parabola
MP : DC = AM 2 : AD 2 = r 2 : n 2 ,
and MN : AD = 1 : n . Hence MP . MN : DC . AD = r 2 : n 3 . Therefore area PN : area BD = r 2 : n 3 . Therefore, ultimately,
area APCD : area BD = 1 2 + 2 2 + ... + (n-1) 2 : n 3 = 1/6 n (n-1)(2n-1) : n 3
which, in the limit, = 1 : 3.
It is perhaps worth noticing that Cavalieri and his successors always used the method to find the ratio of two areas, volumes, or magnitudes of the same kind and dimensions, that is, they never thought of an area as containing so many units of area. The idea of comparing a magnitude with a unit of the same kind seems to have been due to Wallis.
It is evident that in its direct form the method is applicable to only a few curves. Cavalieri proved that, if m be a positive integer, then the limit, when n is infinite, of (1 m + 2 m + ... + n m )/ n m+1 is 1/( m +1), which is equivalent to saying that he found the integral of x to x m from x = 0 to x = 1; he also discussed the quadrature of the hyperbola.
Contexte et introduction de l'auteur
Ce texte présente le travail novateur de Bonaventura Cavalieri, une figure importante de l'histoire des mathématiques du début du XVIIe siècle. Né à Milan en 1598, Cavalieri était un prêtre jésuite et professeur de mathématiques à Bologne. Son travail a posé les fondations du calcul intégral, une branche des mathématiques qui traite de la sommation d'une infinité de petites quantités pour trouver des aires, des volumes et d'autres quantités. Le principe des indivisibles de Cavalieri était une idée révolutionnaire qui a aidé les mathématiciens à dépasser les anciennes méthodes d'exhaustion grecques, offrant une approche plus simple et plus flexible pour calculer les aires et les volumes.
Comprendre le principe des indivisibles
Le principe de Cavalieri stipule qu'une ligne est composée d'une infinité de points, une surface d'une infinité de lignes et un volume d'une infinité de surfaces. Cette idée peut sembler abstraite ou même déroutante au début, mais c'est une étape clé vers le concept d'intégration dans le calcul moderne. En imaginant les formes comme composées de tranches ou de points infiniment minces, Cavalieri pouvait calculer les aires et les volumes en comparant ces tranches entre différentes formes.
Par exemple, pour trouver l'aire d'un triangle rectangle, Cavalieri a imaginé la base comme étant composée de nombreux points et la hauteur contenant un nombre proportionnel de points. En sommant ces points, il est arrivé à la formule familière de l'aire d'un triangle : la moitié de la base multipliée par la hauteur. Bien que sa méthode manquât de la rigueur que nous attendons aujourd'hui, l'idée sous-jacente était correcte et a ouvert la voie aux futurs mathématiciens.
Importance et impact
Le travail de Cavalieri était important car il a introduit une nouvelle façon de penser la géométrie et la mesure, plus intuitive et moins lourde que les méthodes précédentes. Son principe des indivisibles a anticipé le calcul intégral développé plus tard par Newton et Leibniz. Cette méthode a permis aux mathématiciens de résoudre des problèmes impliquant des courbes et des surfaces qui étaient auparavant très difficiles ou impossibles à traiter.
Son travail a également influencé l'étude des paraboles, des sphères et des hyperboles, élargissant la compréhension de ces formes et de leurs propriétés. L'approche de Cavalieri a contribué à combler le fossé entre la géométrie et l'algèbre, conduisant aux puissants outils mathématiques utilisés aujourd'hui dans la science et l'ingénierie.
Ce que les élèves peuvent apprendre
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Créativité et innovation mathématiques : L'histoire de Cavalieri montre comment les nouvelles idées s'appuient souvent sur les anciennes. Il a repris la méthode d'exhaustion grecque antique et l'a améliorée en imaginant les formes comme composées de parties indivisibles. Cela enseigne aux élèves la valeur de la pensée créative et de l'examen des problèmes sous de nouvelles perspectives.
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Fondements du calcul : Bien que le calcul puisse sembler compliqué, le principe de Cavalieri fournit une introduction simple au concept de sommation d'une infinité de petites parties pour trouver un tout. Comprendre ce principe aide les élèves à apprécier les origines et l'importance du calcul.
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Contexte historique : Apprendre Cavalieri aide les élèves à voir comment les mathématiques se sont développées au fil du temps et comment différentes cultures ont contribué à la connaissance. Cela montre également comment la science et la religion ont coexisté, car Cavalieri était un prêtre jésuite et un mathématicien.
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Résolution de problèmes : Les exemples donnés, comme la recherche de l'aire sous une parabole, démontrent comment le raisonnement mathématique peut résoudre des problèmes pratiques. Les élèves peuvent apprendre à appliquer des étapes logiques et à utiliser des approximations pour aborder des questions complexes.
Appliquer ces leçons dans la vie et l'apprentissage
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À l'école : Les élèves peuvent utiliser le principe de Cavalieri comme tremplin pour comprendre l'intégration dans les cours de calcul. Cela encourage à décomposer les problèmes complexes en parties plus petites et gérables, une compétence utile dans n'importe quelle matière.
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Dans la vie quotidienne : L'idée de sommer de petites parties pour comprendre un tout peut être appliquée à la budgétisation, à la cuisine ou à la planification de projets. Par exemple, gérer le temps en divisant les tâches en segments plus petits reflète l'approche indivisible.
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Dans les situations sociales : Le dévouement de Cavalieri à la fois à la foi et à la science montre l'importance d'équilibrer différents aspects de la vie et de respecter divers domaines de connaissance. Les élèves peuvent apprendre à apprécier de multiples points de vue et à collaborer entre les disciplines.
Cultiver des traits positifs à partir du travail de Cavalieri
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Curiosité et ouverture d'esprit : La volonté de Cavalieri d'explorer de nouvelles idées encourage les élèves à rester curieux et ouverts à l'apprentissage, même lorsque les concepts semblent difficiles ou peu familiers.
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Persévérance : Son travail a d'abord été critiqué et non entièrement accepté, mais il a continué à affiner ses idées. Cela enseigne la valeur de la persévérance face aux défis.
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Pensée analytique : La méthode des indivisibles exige une analyse minutieuse et un raisonnement logique, des compétences précieuses dans les études et la prise de décision quotidienne.
Conclusion
Le principe des indivisibles de Bonaventura Cavalieri est plus qu'une simple technique mathématique ; c'est une histoire d'innovation, de persévérance et de l'évolution de la compréhension humaine. Pour les élèves, il offre un aperçu des origines du calcul et de la puissance de la pensée différente. En étudiant son travail, les jeunes apprenants peuvent acquérir des connaissances sur la résolution de problèmes, l'histoire des sciences et l'importance de combiner la créativité et la logique. Ces leçons s'étendent au-delà des mathématiques, encourageant un état d'esprit curieux, persévérant et analytique, des qualités qui leur seront utiles dans tous les domaines de la vie.
