⟦PRESERVE⟧Les mathématiciens considérés dans le dernier chapitre ont commencé à créer ces processus qui distinguent les mathématiques modernes. Les capacités extraordinaires de Newton lui ont permis, en quelques années, de perfectionner les processus les plus élémentaires et d'avancer distinctement chaque branche de la science mathématique alors étudiée, ainsi que de créer de nouveaux sujets. Newton était le contemporain et l'ami de Wallis, Huygens et d'autres mentionnés dans le dernier chapitre, mais bien que la plupart de son travail mathématique ait été réalisé entre 1665 et 1686, la majeure partie n'a pas été imprimée — du moins sous forme de livre — avant plusieurs années plus tard.
Je propose de discuter des travaux de Newton plus en détail que ceux d'autres mathématiciens, en partie en raison de l'importance intrinsèque de ses découvertes, et en partie parce que ce livre est principalement destiné aux lecteurs anglais, et le développement des mathématiques en Grande-Bretagne a été pendant un siècle entièrement entre les mains de l'école newtonienne.
Isaac Newton est né dans le Lincolnshire, près de Grantham, le 25 décembre 1642, et est mort à Kensington, Londres, le 20 mars 1727. Il a été éduqué au Trinity College de Cambridge, où il a vécu de 1661 à 1696, période durant laquelle il a produit la majeure partie de son travail en mathématiques ; en 1696, il a été nommé à un poste gouvernemental précieux et a déménagé à Londres, où il a résidé jusqu'à sa mort.
Son père, qui était décédé peu avant la naissance de Newton, était un fermier yeoman, et il était prévu que Newton reprenne la ferme paternelle. Il a été envoyé à l'école à Grantham, où son apprentissage et sa compétence mécanique ont suscité une certaine attention. En 1656, il est rentré chez lui pour apprendre le métier de fermier, mais a passé la plupart de son temps à résoudre des problèmes, à faire des expériences ou à concevoir des modèles mécaniques ; sa mère, le remarquant, a résolument décidé de lui trouver une occupation plus congeniale, et son oncle, ayant lui-même été éduqué au Trinity College de Cambridge, a recommandé qu'il y soit envoyé.
En 1661, Newton est donc entré comme étudiant à Cambridge, où pour la première fois il s'est trouvé dans un environnement susceptible de développer ses capacités. Cependant, il semble qu'il n'ait eu que peu d'intérêt pour la société générale ou pour d'autres activités que la science et les mathématiques. Heureusement, il tenait un journal, et nous pouvons ainsi nous faire une idée assez précise du parcours éducatif des étudiants les plus avancés dans une université anglaise à cette époque. Il n'avait pas lu de mathématiques avant d'entrer en résidence, mais connaissait la Logique de Sanderson, qui était alors fréquemment lue comme préliminaire aux mathématiques. Au début de son premier trimestre d'octobre, il se promenait à la foire de Stourbridge et y a ramassé un livre sur l'astrologie, mais n'a pas pu le comprendre à cause de la géométrie et de la trigonométrie. Il a donc acheté un Euclide et a été surpris de constater à quel point les propositions semblaient évidentes. Il a ensuite lu la Clavis d'Oughtred et la Géométrie de Descartes, cette dernière qu'il a réussi à maîtriser par lui-même, bien que ce fût avec quelque difficulté. L'intérêt qu'il a ressenti pour le sujet l'a conduit à se tourner vers les mathématiques plutôt que vers la chimie comme étude sérieuse. Sa lecture mathématique ultérieure en tant qu'étudiant de premier cycle était fondée sur les Optiques de Kepler, les travaux de Vieta, les Miscellanées de van Schooten, la Géométrie de Descartes et l'Arithmetica Infinitorum de Wallis : il a également assisté aux cours de Barrow. À une époque ultérieure, en relisant Euclide plus attentivement, il a formé une haute opinion de celui-ci en tant qu'instrument d'éducation, et il exprimait souvent son regret de ne pas s'être appliqué à la géométrie avant de passer à l'analyse algébrique.
Il existe un manuscrit de lui, daté du 28 mai 1665, écrit la même année que celle où il a obtenu son diplôme de B.A., qui est la première preuve documentaire de son invention des fluxions. C'est à peu près à la même époque qu'il a découvert le théorème binomial.
En raison de la peste, le Collège a été renvoyé pendant certaines parties des années 1665 et 1666, et pendant plusieurs mois à cette époque, Newton a vécu chez lui. Cette période a été riche en découvertes brillantes. Il a pensé aux principes fondamentaux de sa théorie de la gravitation, à savoir que chaque particule de matière attire chaque autre particule, et il a soupçonné que l'attraction variait comme le produit de leurs masses et inversement comme le carré de la distance entre elles. Il a également élaboré le calcul fluxionnel de manière assez complète : dans un manuscrit daté du 13 novembre 1665, il a utilisé les fluxions pour trouver la tangente et le rayon de courbure à tout point d'une courbe, et en octobre 1666, il les a appliquées à plusieurs problèmes de la théorie des équations. Newton a communiqué ces résultats à ses amis et élèves à partir de 1669, mais ils n'ont pas été publiés sous forme imprimée avant de nombreuses années plus tard. C'est également pendant qu'il restait chez lui à cette époque qu'il a conçu certains instruments pour polir des lentilles à des formes particulières autres que sphériques, et peut-être a-t-il décomposé la lumière solaire en différentes couleurs.
En omettant les détails et en ne prenant que des chiffres ronds, son raisonnement à cette époque sur la théorie de la gravitation semble avoir été le suivant. Il soupçonnait que la force qui retenait la lune dans son orbite autour de la terre était la même que la gravité terrestre, et pour vérifier cette hypothèse, il a procédé ainsi. Il savait que, si une pierre était autorisée à tomber près de la surface de la terre, l'attraction de la terre (c'est-à-dire le poids de la pierre) la faisait se déplacer de 16 pieds en une seconde. L'orbite de la lune par rapport à la terre est presque un cercle ; et comme approximation grossière, en la prenant ainsi, il connaissait la distance de la lune, et donc la longueur de son chemin ; il savait également le temps que la lune mettait pour faire un tour, à savoir un mois.
Ainsi, il pouvait facilement trouver sa vitesse à tout point tel que M. Il pouvait donc trouver la distance MT à travers laquelle elle se déplacerait dans la seconde suivante si elle n'était pas tirée par l'attraction de la terre. À la fin de cette seconde, elle était cependant à M', et donc la terre E devait l'avoir tirée à travers la distance TM' en une seconde (en supposant que la direction de l'attraction de la terre soit constante). Maintenant, lui et plusieurs physiciens de l'époque avaient conjecturé à partir de la troisième loi de Kepler que l'attraction de la terre sur un corps serait trouvée pour diminuer à mesure que le corps était éloigné de la terre inversement au carré de la distance du centre de la terre ; si c'était la loi réelle, et si la gravité était la seule force qui retenait la lune dans son orbite, alors TM' devrait être à 16 pieds inversement au carré de la distance de la lune au centre de la terre par rapport au carré du rayon de la terre. En 1679, lorsqu'il a répété l'investigation, TM' a été trouvé avoir la valeur requise par l'hypothèse, et la vérification était complète ; mais en 1666, son estimation de la distance de la lune était inexacte, et lorsqu'il a fait le calcul, il a trouvé que TM' était d'environ un huitième de moins qu'il n'aurait dû l'être selon son hypothèse.
Cette divergence ne semble pas avoir ébranlé sa foi dans la croyance que la gravité s'étendait jusqu'à la lune et variait inversement au carré de la distance ; mais d'après les notes de Whiston d'une conversation avec Newton, il semblerait que Newton ait déduit qu'une autre force — probablement les vortex de Descartes — agissait sur la lune ainsi que la gravité. Cette affirmation est confirmée par le compte rendu de Pemberton de l'investigation. Il semble, de plus, que Newton croyait déjà fermement au principe de la gravitation universelle, c'est-à-dire que chaque particule de matière attire chaque autre particule, et soupçonnait que l'attraction variait comme le produit de leurs masses et inversement au carré de la distance entre elles ; mais il est certain qu'il ne savait pas alors quelle serait l'attraction d'une masse sphérique sur un point externe, et ne pensait pas qu'il était probable qu'une particule serait attirée par la terre comme si cette dernière était concentrée en une seule particule à son centre.
À son retour à Cambridge en 1667, Newton a été élu à une bourse de son collège et y a pris résidence de manière permanente. Au début de 1669, ou peut-être en 1668, il a révisé les cours de Barrow pour lui. La fin du quatorzième cours est connue pour avoir été écrite par Newton, mais combien du reste est dû à ses suggestions ne peut plus être déterminé. Dès que cela a été terminé, il a été demandé par Barrow et Collins d'éditer et d'ajouter des notes à une traduction de l'Algèbre de Kinckhuysen ; il a consenti à le faire, mais à condition que son nom n'apparaisse pas dans le texte. En 1670, il a également commencé une exposition systématique de son analyse par séries infinies, dont l'objectif était d'exprimer l'ordonnée d'une courbe dans une série algébrique infinie dont chaque terme peut être intégré par la règle de Wallis ; ses résultats sur ce sujet avaient été communiqués à Barrow, Collins et d'autres en 1669. Cela n'a jamais été terminé : le fragment a été publié en 1711, mais la substance en avait été imprimée comme appendice aux Optiques en 1704. Ces travaux n'étaient que le fruit des loisirs de Newton, la majeure partie de son temps durant ces deux années étant consacrée à des recherches optiques.
En octobre 1669, Barrow a démissionné de la chaire lucasienne en faveur de Newton. Pendant son mandat de professeur, il était d'usage pour Newton de donner des cours publics une fois par semaine, pendant une demi-heure à une heure à la fois, dans un trimestre de chaque année, probablement en dictant ses cours aussi rapidement qu'ils pouvaient être pris en note ; et la semaine suivant le cours, de consacrer quatre heures aux rendez-vous qu'il donnait aux étudiants qui souhaitaient venir dans ses chambres pour discuter des résultats du cours précédent. Il n'a jamais répété un cours, qui consistait généralement en neuf ou dix conférences, et en général les conférences d'un cours commençaient à partir du point où le cours précédent s'était terminé. Les manuscrits de ses conférences pour dix-sept des dix-huit premières années de son mandat existent encore.
Lorsqu'il a été nommé pour la première fois, Newton a choisi l'optique comme sujet de ses conférences et recherches, et avant la fin de 1669, il avait élaboré les détails de sa découverte de la décomposition d'un rayon de lumière blanche en rayons de différentes couleurs au moyen d'un prisme. L'explication complète de la théorie de l'arc-en-ciel a suivi cette découverte. Ces découvertes ont constitué le sujet des conférences qu'il a données en tant que professeur lucasien en 1669, 1670 et 1671. Les principaux nouveaux résultats ont été incorporés dans un article communiqué à la Royal Society en février 1672, et publié par la suite dans les Philosophical Transactions. Le manuscrit de ses conférences originales a été imprimé en 1729 sous le titre Lectiones Opticae. Ce travail est divisé en deux livres, le premier contenant quatre sections et le second cinq. La première section du premier livre traite de la décomposition de la lumière solaire par un prisme en raison de la réfrangibilité inégale des rayons qui la composent, et une description de ses expériences y est ajoutée. La deuxième section contient un compte rendu de la méthode que Newton a inventée pour déterminer les coefficients de réfraction de différents corps. Cela se fait en faisant passer un rayon à travers un prisme du matériau de sorte que la déviation soit minimale ; et il prouve que, si l'angle du prisme est i et la déviation du rayon est δ, l'indice de réfraction sera sin ½ (i + δ) cosec ½ i. La troisième section concerne les réfractions à des surfaces planes ; il y montre que si un rayon passe à travers un prisme avec déviation minimale, l'angle d'incidence est égal à l'angle d'émergence ; la plupart de cette section est consacrée à des solutions géométriques de différents problèmes. La quatrième section contient une discussion sur les réfractions à des surfaces courbes. Le second livre traite de sa théorie des couleurs et de l'arc-en-ciel.
Par un curieux chapitre d'accidents, Newton n'a pas réussi à corriger l'aberration chromatique de deux couleurs au moyen d'une paire de prismes. Il a donc abandonné l'espoir de fabriquer un télescope réfracteur qui serait achromatique, et a plutôt conçu un télescope réfléchissant, probablement sur le modèle d'un petit qu'il avait fabriqué en 1668. La forme qu'il a utilisée est celle qui est encore connue sous son nom ; l'idée en a été naturellement suggérée par le télescope de Gregory. En 1672, il a inventé un microscope réfléchissant, et quelques années plus tard, il a inventé le sextant qui a été redécouvert par J. Hadley en 1731.
Ses conférences de professeur de 1673 à 1683 portaient sur l'algèbre et la théorie des équations, et sont décrites ci-dessous ; mais une grande partie de son temps durant ces années a été occupée par d'autres investigations, et je peux faire remarquer qu'au cours de sa vie, Newton a dû consacrer au moins autant d'attention à la chimie et à la théologie qu'aux mathématiques, bien que ses conclusions ne soient pas d'un intérêt suffisant pour nécessiter mention ici. Sa théorie des couleurs et ses déductions de ses expériences optiques ont d'abord été attaquées avec une considérable véhémence. La correspondance que cela a entraînée pour Newton a occupé presque tout son temps libre entre 1672 et 1675, et s'est révélée extrêmement désagréable pour lui. Écrivant le 9 décembre 1675, il dit : "J'ai été si persécuté par des discussions découlant de ma théorie de la lumière, que j'ai blâmé ma propre imprudence d'avoir renoncé à une bénédiction aussi substantielle que ma tranquillité pour courir après une ombre." Encore, le 18 novembre 1676, il observe : "Je vois que je me suis fait esclave de la philosophie ; mais si je me débarrasse des affaires de M. Linus, je dirai résolument adieu à cela éternellement, sauf ce que je fais pour ma satisfaction personnelle, ou laisse venir après moi ; car je vois qu'un homme doit soit décider de ne rien publier de nouveau, soit devenir esclave pour le défendre." Le dégoût déraisonnable d'avoir ses conclusions mises en doute ou d'être impliqué dans une correspondance à leur sujet était un trait marquant du caractère de Newton.
Newton s'intéressait profondément à la question de savoir comment les effets de la lumière étaient réellement produits, et à la fin de 1675, il avait élaboré la théorie corpusculaire ou d'émission, et avait montré comment elle expliquerait tous les divers phénomènes de l'optique géométrique, tels que la réflexion, la réfraction, les couleurs, la diffraction, etc. Pour ce faire, cependant, il a été contraint d'ajouter un cavalier quelque peu artificiel, que ses corpuscules avaient des accès alternés de réflexion facile et de réfraction facile communiqués par un éther qui remplissait l'espace. La théorie est maintenant connue pour être intenable, mais il convient de noter que Newton l'a énoncée comme une hypothèse dont certains résultats suivraient : il semblerait qu'il croyait que la théorie des ondes était intrinsèquement plus probable, mais c'est la difficulté d'expliquer la diffraction selon cette théorie qui l'a conduit à suggérer une autre hypothèse.
La théorie corpusculaire de Newton a été exposée dans des mémoires communiqués à la Royal Society en décembre 1675, qui sont reproduits substantiellement dans ses Optiques, publiées en 1704. Dans ce dernier ouvrage, il a traité en détail de sa théorie des accès de réflexion et de transmission faciles, et des couleurs des plaques minces, auxquelles il a ajouté une explication des couleurs des plaques épaisses [bk. II, partie 4] et des observations sur l'inflexion de la lumière [bk. III].
Deux lettres écrites par Newton en 1676 sont suffisamment intéressantes pour justifier une allusion à elles. Leibnitz, qui avait été à Londres en 1673, avait communiqué certains résultats à la Royal Society qu'il supposait être nouveaux, mais qui lui ont été signalés comme ayant été prouvés auparavant par Mouton. Cela a conduit à une correspondance avec Oldenburg, le secrétaire de la Société. En 1674, Leibnitz a écrit en disant qu'il possédait "des méthodes analytiques générales dépendant de séries infinies." Oldenburg, en réponse, lui a dit que Newton et Gregory avaient utilisé de telles séries dans leurs travaux. En réponse à une demande d'information, Newton a écrit le 13 juin 1676, donnant un bref compte rendu de sa méthode, mais ajoutant les expansions d'un binôme (c'est-à-dire le théorème binomial) et de sin -1 x ; de ce dernier, il a déduit celle de sin x : cela semble être le premier exemple connu d'une inversion de séries. Il a également inséré une expression pour la rectification d'un arc elliptique dans une série infinie.
Leibnitz a écrit le 27 août demandant des détails plus complets ; et Newton, dans une longue mais intéressante réponse, datée du 34 octobre 1676, et envoyée par Oldenburg, donne un compte rendu de la manière dont il avait été conduit à certains de ses résultats.
Dans cette lettre, Newton commence par dire qu'au total, il avait utilisé trois méthodes pour l'expansion en séries. Sa première a été obtenue à partir de l'étude de la méthode d'interpolation par laquelle Wallis avait trouvé des expressions pour l'aire d'un cercle et d'une hyperbole. Ainsi, en considérant la série d'expressions (1— x²) 0/2, (1— x²) 2/2, (1— x²) 4/2, ..., il a déduit par interpolations la loi qui relie les coefficients successifs dans les expansions de (1— x²) 1/2, (1— x²) 3/2, ... ; et ensuite par analogie, il a obtenu l'expression pour le terme général dans l'expansion d'un binôme, c'est-à-dire le théorème binomial. Il dit qu'il a procédé à tester cela en formant le carré de l'expansion de (1— x²) 1/2, qui se réduisait à 1—x² ; et il a procédé de manière similaire avec d'autres expansions. Il a ensuite testé le théorème dans le cas de (1— x²) 1/2 en extrayant la racine carrée de 1— x², de manière plus arithmétique. Il a également utilisé les séries pour déterminer les aires du cercle et de l'hyperbole dans des séries infinies, et il a constaté que les résultats étaient les mêmes que ceux qu'il avait obtenus par d'autres moyens.
Ayant établi ce résultat, il a ensuite abandonné la méthode d'interpolation en séries, et a employé son théorème binomial pour exprimer (lorsque cela était possible) l'ordonnée d'une courbe dans une série infinie en puissances croissantes de l'abscisse, et ainsi par la méthode de Wallis, il a obtenu des expressions en séries infinies pour les aires et les arcs de courbes de la manière décrite dans l'appendice de ses Optiques et dans son De Analysi per Equationes Numero Terminorum Infinitas. Il déclare qu'il avait employé cette seconde méthode avant la peste en 1665-66, et continue en disant qu'il a alors été contraint de quitter Cambridge, et par la suite (presque certainement à son retour à Cambridge) il a cessé de poursuivre ces idées, car il a découvert que Nicholas Mercator avait utilisé certaines d'entre elles dans son Logarithmo-technica, publié en 1668 ; et il supposait que le reste avait été ou serait découvert avant qu'il ne soit lui-même susceptible de publier ses découvertes.
Newton explique ensuite qu'il avait également une troisième méthode, dont (dit-il) il avait envoyé un compte rendu à Barrow et Collins vers 1669, illustré par des applications aux aires, à la rectification, à la cubature, etc. C'était la méthode des fluxions ; mais Newton ne donne aucune description de celle-ci ici, bien qu'il ajoute quelques illustrations de son utilisation. La première illustration concerne la quadrature de la courbe représentée par l'équation
y = ax m (b + cx n ) p,
qu'il dit pouvoir être effectuée comme une somme de (m + 1)/n termes si (m + 1)/n est un entier positif, et qu'il pense ne pas pouvoir être effectuée autrement qu'à l'aide d'une série infinie. [Ce n'est pas le cas, l'intégration est possible si p + (m + 1)/n est un entier.] Il donne également une liste d'autres formes qui sont immédiatement intégrables, dont les principales sont
,
,
,
,
;
où m est un entier positif et n est n'importe quel nombre. Enfin, il souligne que l'aire de toute courbe peut être facilement déterminée approximativement par la méthode d'interpolation décrite ci-dessous en discutant de sa Methodus Differentialis.
À la fin de sa lettre, Newton fait allusion à la solution du "problème inverse des tangentes", un sujet sur lequel Leibnitz avait demandé des informations. Il donne des formules pour inverser n'importe quelle série, mais dit qu'en plus de ces formules, il a deux méthodes pour résoudre de telles questions, qu'il ne décrira pas pour le moment, sauf par un anagramme qui, une fois lu, est le suivant : "Una methodus consistit in extractione fluentis quantitatis ex aequatione simul involvente fluxionem ejus : altera tantum in assumptione seriei pro quantitate qualibet incognita ex qua caetera commode derivari possunt, et in collatione terminorum homologorum aequationis resultantis, as eruendos terminos assumptae seriei."
Il implique dans cette lettre qu'il est préoccupé par les questions qui lui sont posées et les controverses soulevées à propos de chaque nouvelle matière qu'il produit, ce qui montre son imprudence à publier "quod umbram captando eatenus perdideram quietem meam, rem prorsus substantialem."
Leibnitz, dans sa réponse, datée du 21 juin 1677, explique sa méthode pour tracer des tangentes aux courbes, qu'il dit procéder "non par fluxions de lignes, mais par les différences de nombres" ; et il introduit sa notation de dx et dy pour les différences infinitésimales entre les coordonnées de deux points consécutifs sur une courbe. Il donne également une solution du problème de trouver une courbe dont le subtangent est constant, ce qui montre qu'il pouvait intégrer.
En 1679, Hooke, à la demande de la Royal Society, écrivit à Newton exprimant l'espoir qu'il ferait d'autres communications à la Société, et l'informant de divers faits récemment découverts. Newton répondit en disant qu'il avait abandonné l'étude de la philosophie, mais il ajouta que le mouvement diurne de la terre pourrait être prouvé par l'expérience d'observer la déviation de la perpendiculaire d'une pierre lâchée d'une hauteur jusqu'au sol — une expérience qui a été par la suite réalisée par la Société et a réussi. Hooke, dans sa lettre, mentionna les recherches géodésiques de Picard ; dans celles-ci, Picard utilisa une valeur du rayon de la terre qui est substantiellement correcte. Cela a conduit Newton à répéter, avec les données de Picard, ses calculs de 1666 sur l'orbite lunaire, et il a ainsi vérifié son hypothèse selon laquelle la gravité s'étendait jusqu'à la lune et variait inversement au carré de la distance. Il a ensuite procédé à considérer la théorie générale du mouvement d'une particule sous une force centripète, c'est-à-dire, dirigée vers un point fixe, et a montré que le vecteur balayerait des aires égales en temps égaux. Il a également prouvé que, si une particule décrit une ellipse sous une force centripète vers un foyer, la loi doit être celle de l'inverse du carré de la distance au foyer, et réciproquement, que l'orbite d'une particule projetée sous l'influence d'une telle force serait conique (ou, il pensait peut-être seulement une ellipse). Obéissant à sa règle de ne publier rien qui puisse l'impliquer dans une controverse scientifique, ces résultats ont été enfermés dans ses carnets, et ce n'est qu'une question spécifique qui lui a été adressée cinq ans plus tard qui a conduit à leur publication.
L'Arithmétique Universelle, qui traite d'algèbre, de théorie des équations et de problèmes divers, contient la substance des conférences de Newton durant les années 1673 à 1683. Son manuscrit est encore existant ; Whiston a extrait une permission quelque peu réticente de Newton pour l'imprimer, et il a été publié en 1707. Parmi plusieurs nouveaux théorèmes sur divers points en algèbre et en théorie des équations, Newton énonce ici les résultats importants suivants. Il explique que l'équation dont les racines sont la solution d'un problème donné aura autant de racines qu'il y a de cas possibles différents ; et il considère comment il se fait que l'équation à laquelle un problème conduit peut contenir des racines qui ne satisfont pas à la question originale. Il étend la règle des signes de Descartes pour donner des limites au nombre de racines imaginaires. Il utilise le principe de continuité pour expliquer comment deux racines réelles et inégales peuvent devenir imaginaires en passant par l'égalité, et illustre cela par des considérations géométriques ; de là, il montre que les racines imaginaires doivent se produire par paires. Newton donne également ici des règles pour trouver une limite supérieure aux racines positives d'une équation numérique, et pour déterminer les valeurs approximatives des racines numériques. Il énonce en outre le théorème connu sous son nom pour trouver la somme des n-ièmes puissances des racines d'une équation, et a posé les bases de la théorie des fonctions symétriques des racines d'une équation.
Le théorème le plus intéressant contenu dans le travail est sa tentative de trouver une règle (analogue à celle de Descartes pour les racines réelles) par laquelle le nombre de racines imaginaires d'une équation peut être déterminé. Il savait que le résultat qu'il obtenait n'était pas universellement vrai, mais il ne donna aucune preuve et n'expliqua pas quelles étaient les exceptions à la règle. Son théorème est le suivant. Supposons que l'équation soit de degré n arrangée en puissances décroissantes de x (le coefficient de x n étant positif), et supposons que les n + 1 fractions soient formées et écrites sous les termes correspondants de l'équation, alors, si le carré de n'importe quel terme lorsqu'il est multiplié par la fraction correspondante est supérieur au produit des termes de chaque côté de celui-ci, mettez un signe plus au-dessus : sinon, mettez un signe moins au-dessus, et mettez un signe plus au-dessus des premiers et derniers termes. Considérons maintenant deux termes consécutifs dans l'équation originale, et les deux symboles écrits au-dessus d'eux. Alors nous pouvons avoir l'un des quatre cas suivants : (α) les termes du même signe et les symboles du même signe ; (β) les termes du même signe et les symboles de signes opposés ; (γ) les termes de signes opposés et les symboles du même signe ; (δ) les termes de signes opposés et les symboles de signes opposés. Alors il a été montré que le nombre de racines négatives ne dépassera pas le nombre de cas (α), et le nombre de racines positives ne dépassera pas le nombre de cas (γ) ; et donc le nombre de racines imaginaires n'est pas inférieur au nombre de cas (β) et (δ). En d'autres termes, le nombre de changements de signes dans la rangée de symboles écrits au-dessus de l'équation est une limite inférieure au nombre de racines imaginaires. Newton, cependant, a affirmé que "vous pouvez presque savoir combien de racines sont impossibles" en comptant les changements de signe dans la série de symboles formée comme ci-dessus. C'est-à-dire qu'il pensait qu'en général, le nombre réel de racines positives, négatives et imaginaires pouvait être obtenu par la règle et non seulement des limites supérieures ou inférieures à ces nombres. Mais bien qu'il sache que la règle n'était pas universelle, il ne pouvait pas trouver (ou du moins ne déclara pas) quelles étaient les exceptions à celle-ci : ce problème a été discuté par la suite par Campbell, Maclaurin, Euler et d'autres écrivains ; enfin, en 1865, Sylvester réussit à prouver le résultat général.
En août 1684, Halley est venu à Cambridge pour consulter Newton au sujet de la loi de gravitation. Hooke, Huygens, Halley et Wren avaient tous conjecturé que la force d'attraction du soleil ou de la terre sur une particule externe variait inversement au carré de la distance. Ces écrivains semblent avoir montré indépendamment que, si les conclusions de Kepler étaient rigoureusement vraies, ce dont ils n'étaient pas tout à fait certains, la loi d'attraction devait être celle de l'inverse du carré. Probablement leur argument était le suivant. Si v est la vitesse d'une planète, r le rayon de son orbite pris comme un cercle, et T son temps périodique, v = 2π r/T. Mais, si f est l'accélération vers le centre du cercle, nous avons f = 4π² r/T². Maintenant, par la troisième loi de Kepler, T² varie comme r³ ; donc f varie inversement comme r². Ils ne pouvaient cependant pas déduire des lois les orbites des planètes. Halley a expliqué que leurs investigations étaient arrêtées par leur incapacité à résoudre ce problème, et a demandé à Newton s'il pouvait découvrir quelle serait l'orbite d'une planète si la loi d'attraction était celle de l'inverse du carré. Newton a immédiatement répondu que c'était une ellipse, et a promis d'envoyer ou de rédiger à nouveau la démonstration qu'il avait trouvée en 1679. Cela a été envoyé en novembre 1684.
Incité par Halley, Newton est maintenant revenu au problème de la gravitation ; et avant l'automne de 1684, il avait élaboré la substance des propositions 1-19, 21, 30, 32-35 dans le premier livre des Principia. Celles-ci, avec des notes sur les lois du mouvement et divers lemmas, ont été lues pour ses conférences au trimestre de Michaelmas, 1684.
En novembre, Halley a reçu la communication promise par Newton, qui consistait probablement en la substance des propositions 1, 11 et soit la proposition 17 soit le premier corollaire de la proposition 13 ; là-dessus, Halley est de nouveau allé à Cambridge, où il a vu "un traité curieux, De Motu, rédigé depuis août." Très probablement, cela contenait les notes manuscrites de Newton des conférences mentionnées ci-dessus : ces notes sont maintenant dans la bibliothèque universitaire et sont intitulées "De Motu Corporum." Halley a supplié que les résultats soient publiés, et a finalement obtenu la promesse qu'ils seraient envoyés à la Royal Society : ils ont donc été communiqués à la Société au plus tard en février 1685, dans le document De Motu, qui contient la substance des propositions suivantes dans les Principia, livre I, props. 1, 4, 6, 7, 10, 11, 15, 17, 32 ; livre II, props. 2, 3, 4.
Il semble également avoir été dû à l'influence et à la tactique de Halley lors de sa visite en novembre 1684 que Newton entreprit d'attaquer l'ensemble du problème de la gravitation, et s'engagea pratiquement à publier ses résultats : ceux-ci sont contenus dans les Principia. Jusqu'à présent, Newton n'avait pas déterminé l'attraction d'un corps sphérique sur un point externe, ni calculé les détails des mouvements planétaires même si les membres du système solaire pouvaient être considérés comme des points. Le premier problème a été résolu en 1685, probablement soit en janvier soit en février. "Aussitôt", pour citer le discours du Dr. Glaisher à l'occasion du bicentenaire de la publication des Principia, "Newton a prouvé ce superbe théorème — et nous savons par ses propres mots qu'il n'avait aucune attente d'un résultat aussi beau jusqu'à ce qu'il émerge de son investigation mathématique — que tout le mécanisme de l'univers s'étendait alors devant lui. Lorsqu'il a découvert les théorèmes qui forment les trois premières sections du livre I, lorsqu'il les a donnés dans ses conférences de 1684, il n'était pas conscient que le soleil et la terre exerçaient leurs attractions comme s'ils n'étaient que des points. À quel point ces propositions devaient-elles sembler différentes aux yeux de Newton lorsqu'il a réalisé que ces résultats, qu'il avait cru être seulement approximativement vrais lorsqu'ils étaient appliqués au système solaire, étaient en réalité exacts ! Jusqu'à présent, ils n'avaient été vrais que dans la mesure où il pouvait considérer le soleil comme un point par rapport à la distance des planètes, ou la terre comme un point par rapport à la distance de la lune — une distance ne représentant qu'environ soixante fois le rayon de la terre — mais maintenant, ils étaient mathématiquement vrais, sauf pour la légère déviation d'une forme parfaitement sphérique du soleil, de la terre et des planètes. Nous pouvons imaginer l'effet de cette transition soudaine de l'approximation à l'exactitude pour stimuler l'esprit de Newton à des efforts encore plus grands. Il était maintenant en mesure d'appliquer l'analyse mathématique avec une précision absolue aux problèmes réels de l'astronomie."
Des trois principes fondamentaux appliqués dans les Principia, nous pouvons dire que l'idée que chaque particule attire chaque autre particule dans l'univers a été formée au moins aussi tôt qu'en 1666 ; la loi de description équitable des aires, ses conséquences, et le fait que si la loi d'attraction était celle de l'inverse du carré, l'orbite d'une particule autour d'un centre de force serait conique ont été prouvés en 1679 ; et enfin, la découverte qu'une sphère, dont la densité à tout point dépend uniquement de la distance au centre, attire un point externe comme si toute la masse était concentrée à son centre a été faite en 1685. C'est cette dernière découverte qui lui a permis d'appliquer les deux premiers principes aux phénomènes des corps de taille finie.
Le brouillon du premier livre des Principia a été terminé avant l'été de 1685, mais les corrections et ajouts ont pris du temps, et le livre n'a été présenté à la Royal Society qu'en date du 28 avril 1686. Ce livre est consacré à l'examen du mouvement des particules ou des corps dans l'espace libre, soit dans des orbites connues, soit sous l'action de forces connues, soit sous leur attraction mutuelle ; et en particulier à indiquer comment les effets des forces perturbatrices peuvent être calculés. Dans celui-ci, Newton généralise également la loi d'attraction en une déclaration selon laquelle chaque particule de matière dans l'univers attire chaque autre particule avec une force qui varie directement comme le produit de leurs masses, et inversement comme le carré de la distance entre elles ; et il en déduit ainsi la loi d'attraction pour des coques sphériques de densité constante. Le livre est précédé d'une introduction sur la science de la dynamique, qui définit les limites de l'investigation mathématique. Son objectif, dit-il, est d'appliquer les mathématiques aux phénomènes de la nature ; parmi ces phénomènes, le mouvement est l'un des plus importants ; maintenant, le mouvement est l'effet de la force, et, bien qu'il ne sache pas quelle est la nature ou l'origine de la force, beaucoup de ses effets peuvent être mesurés ; et ce sont ceux-ci qui constituent le sujet du travail.
Sir Isaac Newton - Un Bref Compte Rendu De L'Histoire Des Mathématiques par W.W. Rouse Ball
