上一章讨论的数学家们开启了区分现代数学的进程。牛顿非凡的能力使他能够在几年内完善这些进程中更基础的部分，并明确推进当时研究的每一个数学分支，以及创造一些新的学科。牛顿是沃利斯、惠更斯以及上一章中提到的其他人的同时代人和朋友，但尽管他大部分的数学工作是在1665年至1686年之间完成的，但大部分工作直到几年后才以书籍的形式出版。
我打算比其他数学家更全面地讨论牛顿的著作，部分原因是他的发现具有内在的重要性，部分原因是因为这本书主要是为英国读者而写的，而且英国的数学发展在一百年里完全掌握在牛顿学派手中。
艾萨克·牛顿于1642年12月25日出生于林肯郡格兰瑟姆附近，于1727年3月20日去世于伦敦肯辛顿。他毕业于剑桥大学三一学院，在那里生活了1661年至1696年，在此期间，他完成了大部分的数学工作；1696年，他被任命为政府的一个重要职位，并搬到伦敦，在那里居住直到去世。
他的父亲在牛顿出生前不久去世，是一位自耕农，牛顿本来打算继承父业。他被送到格兰瑟姆的学校，在那里他的学识和机械技能引起了一些关注。1656年，他回到家中学习农活，但大部分时间都花在解决问题、做实验或设计机械模型上；他的母亲注意到这一点，明智地决定为他找一份更适合他的职业，他的叔叔曾在剑桥大学三一学院受过教育，建议把他送到那里。
1661年，牛顿因此进入剑桥大学学习，在那里他第一次发现自己置身于可能发展他能力的环境中。然而，他对一般社会或任何除了科学和数学之外的追求似乎都没有什么兴趣。幸运的是，他写了日记，因此我们可以对当时英国大学最优秀学生的教育过程形成一个大致的了解。他在入学前没有读过任何数学，但熟悉桑德森的《逻辑学》，当时这本书经常被用作数学的预备课程。在他第一个十月学期开始时，他碰巧漫步到斯托布里奇集市，在那里买了一本关于占星术的书，但由于几何学和三角学的原因，他无法理解它。因此，他买了一本欧几里德，并惊讶地发现这些命题是多么显而易见。他随后阅读了奥特雷德的《钥匙》和笛卡尔的《几何学》，后者他设法自己掌握了，尽管有些困难。他对这个主题的兴趣促使他选择了数学而不是化学作为一项严肃的研究。他在本科期间的后续数学阅读基于开普勒的《光学》、韦达的著作、范·斯库滕的《杂集》、笛卡尔的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》：他还参加了巴罗的讲座。后来，在更仔细地阅读欧几里德时，他对它作为一种教育工具形成了很高的评价，他过去常常表示遗憾，说他没有在开始代数分析之前就致力于几何学。
有一份他的手稿，日期为1665年5月28日，写于他获得文学学士学位的同一年，这是他发明流数的最早的文献证明。大约在同一时间，他发现了二项式定理。
由于瘟疫，学院在1665年和1666年的部分时间被关闭，在这一时期，牛顿在家住了几个月。这段时间充满了辉煌的发现。他思考了他的引力理论的基本原理，即每一个物质粒子都吸引其他每一个粒子，他怀疑这种吸引力与它们的质量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比。他还相当完整地研究了流数微积分：在1665年11月13日的一份手稿中，他使用流数来求出曲线上任意一点的切线和曲率半径，并在1666年10月，他将它们应用于方程理论中的几个问题。牛顿从1669年开始向他的朋友和学生传达了这些结果，但直到很多年以后才以印刷品的形式出版。也是在那个时候，他设计了一些用于研磨透镜的仪器，使其具有不同于球面的特定形状，也许他还将太阳光分解成不同的颜色。
撇开细节，仅取整数，他当时对引力理论的推理似乎如下。他怀疑使月球保持在地球轨道上的力与地球引力相同，为了验证这个假设，他这样做了。他知道，如果一块石头被允许在地球表面附近落下，地球的引力（即石头的重量）会在一秒钟内使其移动16英尺。月球相对于地球的轨道接近一个圆；并且作为一个粗略的近似，假设它是这样的，他知道月球的距离，因此知道它的路径长度；他还知道月球绕轨道运行一次所需的时间，即一个月。
因此，他可以很容易地找到它在任何一点（如M）的速度。因此，他可以找到它在下一秒内移动的距离MT，如果它没有受到地球引力的作用。然而，在那一秒结束时，它在M'处，因此地球E一定在一秒钟内将其拉过距离TM'（假设地球的拉力方向是恒定的）。现在，他和当时的一些物理学家从开普勒第三定律推测，地球对物体的引力会随着物体远离地球而减小，与到地球中心的距离的平方成反比；如果这是实际的定律，并且如果引力是使月球保持在轨道上的唯一力，那么TM'应该与16英尺成反比，与月球到地球中心的距离的平方与地球半径的平方成反比。1679年，当他重复这项研究时，发现TM'具有假设所要求的值，并且验证是完整的；但在1666年，他对月球距离的估计是不准确的，当他进行计算时，他发现TM'比他的假设应该的距离小了大约八分之一。
这种差异似乎并没有动摇他对引力延伸到月球并与距离的平方成反比的信念；但从惠斯顿与牛顿的谈话记录来看，似乎牛顿推断，除了引力之外，还有其他一些力——可能是笛卡尔的涡流——作用于月球。彭伯顿对这项研究的描述证实了这一说法。此外，似乎牛顿已经坚信万有引力原理，即每一个物质粒子都吸引其他每一个粒子，并怀疑这种吸引力与它们的质量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比；但可以肯定的是，他当时并不知道一个球形质量对任何外部点的引力会是多少，并且不认为一个粒子会被地球吸引，就好像地球集中在其中心的一个单一粒子一样。
1667年，牛顿回到剑桥，被选为他所在学院的研究员，并永久地在那里定居。在1669年初，或者也许在1668年，他为巴罗修改了他的讲座。第十四讲的结尾已知是牛顿写的，但现在无法确定其余部分有多少是由于他的建议。一旦完成，巴罗和柯林斯就要求他编辑并为金克胡伊森的《代数》的翻译添加注释；他同意这样做，但条件是他的名字不出现在这件事中。1670年，他还开始系统地阐述他的无穷级数分析，其目的是用一个无穷代数级数来表示曲线的纵坐标，该级数的每一项都可以用沃利斯的规则积分；他在这一主题上的结果已于1669年传达给巴罗、柯林斯等人。这从未完成：该片段于1711年出版，但其内容已作为《光学》的附录于1704年印刷。这些著作只是牛顿休闲的成果，在过去的两年里，他的大部分时间都用于光学研究。
1669年10月，巴罗辞去了卢卡斯教授的职位，让牛顿接任。在他担任教授期间，牛顿的习惯是每周公开讲课一次，每次半小时到一小时，在每年的一个学期，很可能以尽可能快的速度口述他的讲座；在讲座后的那周，他会抽出四个小时的时间来安排学生，这些学生希望来他的房间讨论上一讲的结果。他从不重复一门课程，这门课程通常由九到十讲组成，而且通常一门课程的讲座从上一门课程结束的地方开始。他任职的前十八年中有十七年的讲座手稿都存在。
当牛顿第一次被任命时，他选择了光学作为他的讲座和研究的主题，在1669年底之前，他已经详细研究了他通过棱镜将白光分解成不同颜色的光线的发现。从这个发现中得出了对彩虹理论的完整解释。这些发现构成了他在1669年、1670年和1671年作为卢卡斯教授所做的讲座的主题。主要的新结果被纳入一篇论文中，该论文于1672年2月提交给皇家学会，随后发表在《哲学汇刊》上。他最初讲座的手稿于1729年以《光学讲义》为题印刷。这部作品分为两本书，第一本书包含四个部分，第二本书包含五个部分。第一本书的第一部分讨论了由于构成太阳光的射线折射率不同而导致的棱镜对太阳光的分解，并增加了对他的实验的描述。第二部分介绍了牛顿发明的用于确定不同物体折射系数的方法。这是通过使光线穿过由这种材料制成的棱镜来实现的，这样偏差最小；他证明，如果棱镜的角为i，光线的偏差为δ，则折射率将为sin ½ ( i + δ) cosec ½ i。第三部分是关于平面上的折射；在这里，他表明，如果光线穿过具有最小偏差的棱镜，则入射角等于出射角；本部分的大部分内容都用于几何问题的解决方案。第四部分讨论了弯曲表面上的折射。第二本书讨论了他的颜色理论和彩虹。
由于一系列奇怪的事故，牛顿未能通过一对棱镜校正两种颜色的色差。因此，他放弃了制造一个应该消色的折射望远镜的希望，而是设计了一个反射望远镜，可能是在1668年他制作的一个小型望远镜的模型上。他使用的形式仍然以他的名字命名；它的想法自然是由格雷戈里的望远镜提出的。1672年，他发明了反射显微镜，几年后，他发明了六分仪，该六分仪于1731年被J.哈德利重新发现。
他从1673年到1683年的教授讲座是关于代数和方程理论的，下面将进行描述；但在这些年里，他的大部分时间都用于其他研究，我可能会说，在整个一生中，牛顿一定至少像数学一样关注化学和神学，尽管他的结论没有足够的兴趣在这里提及。他的颜色理论和从他的光学实验中得出的推论最初受到了相当大的强烈攻击。由此产生的通信占据了牛顿在1672年至1675年间几乎所有的空闲时间，并且让他感到非常厌恶。1675年12月9日，他写道：“我被关于我的光线理论的讨论所困扰，我责备自己不谨慎，为了追逐一个影子而放弃了像我的平静这样实质性的祝福。” 同样，1676年11月18日，他观察到：“我看到我让自己成为了哲学的奴隶；但如果我摆脱了林努斯先生的事情，我将坚决地永远告别它，除了我为自己的私人满足所做的事情，或者留待我之后出现；因为我看到一个人要么决定不发表任何新东西，要么成为奴隶来捍卫它。” 对他的结论被怀疑或卷入任何关于它们的通信的无理厌恶是牛顿性格的一个突出特征。
牛顿对光的影响是如何真正产生的这个问题深感兴趣，到1675年底，他已经研究了微粒或发射理论，并表明它将如何解释几何光学的各种现象，如反射、折射、颜色、衍射等。然而，要做到这一点，他不得不添加一个有点人为的附加条件，即他的微粒具有通过充满空间的以太传递给它们的容易反射和容易折射的交替拟合。现在已知该理论是站不住脚的，但应该指出的是，牛顿将其作为一种假设来阐述，从中会得出某些结果：似乎他认为波动理论在本质上更有可能，但正是解释该理论的衍射的困难导致他提出了另一个假设。
牛顿的微粒理论在1675年12月提交给皇家学会的备忘录中进行了阐述，这些备忘录基本上在他的《光学》中再现，该书于1704年出版。在后来的著作中，他详细讨论了他的容易反射和透射的拟合理论，以及薄板的颜色，他补充了对厚板的颜色[第二册，第4部分]和对光线内弯的观察[第三册]的解释。
牛顿在1676年写的两封信足够有趣，值得提及。莱布尼茨于1673年到过伦敦，他向皇家学会传达了一些他认为全新的结果，但有人指出，这些结果此前已被穆顿证明。这导致了与皇家学会秘书奥尔登堡的通信。1674年，莱布尼茨写道，他拥有“依赖于无穷级数的一般分析方法”。奥尔登堡在回复中告诉他，牛顿和格雷戈里在他们的工作中使用了这样的级数。为了回应对信息的请求，牛顿于1676年6月13日写信，简要介绍了他的方法，但增加了二项式的展开式（即二项式定理）和sin -1 x；从后者他推导出sin x的展开式：这似乎是已知最早的级数反演实例。他还插入了一个用于校正椭圆弧的无穷级数表达式。
莱布尼茨于8月27日写信要求更详细的信息；牛顿在10月34日（日期为1676年）的一封长而有趣的回复中，通过奥尔登堡寄出，讲述了他如何得出他的一些结果。
在这封信中，牛顿首先说，总共他使用了三种方法进行级数展开。他的第一个方法是从研究沃利斯找到圆和双曲线面积的插值方法得出的。因此，通过考虑表达式的级数（1— x 2）0/2，（1— x 2）2/2，（1— x 2）4/2，...，他通过插值推导出连接（1— x 2）1/2，（1— x 2）3/2，...的展开式中连续系数的定律；然后通过类比，得到了二项式展开式中一般项的表达式，即二项式定理。他说，他继续通过形成（1— x 2）1/2的展开式的平方来测试这一点，它简化为1—x²；他以类似的方式处理了其他展开式。接下来，他通过提取1— x ²的平方根，更算术地测试了（1— x 2）1/2的情况下的定理。他还使用级数来确定圆和双曲线的面积，并发现结果与他通过其他方法得到的结果相同。
在建立了这个结果之后，他随后放弃了级数插值的方法，并使用他的二项式定理来表示（如果可能）曲线的纵坐标，用横坐标的升幂的无穷级数表示，因此通过沃利斯的方法，他以《光学》附录和他的《De Analysi per Equationes Numero Terminorum Infinitas》中描述的方式获得了曲线的面积和弧长的无穷级数表达式。他指出，他在1665-66年的瘟疫之前就使用了这种第二种方法，并继续说，他随后不得不离开剑桥，随后（大概是在他回到剑桥后）他停止了追求这些想法，因为他发现尼古拉斯·墨卡托在他的《Logarithmo-technica》中使用了其中的一些方法，该书于1668年出版；他认为其余的已经被发现或将被发现，在他自己可能发表他的发现之前。
牛顿接下来解释说，他还有第三种方法，他说，大约在1669年，他向巴罗和柯林斯发送了一份说明，说明了它在面积、校正、立方等方面的应用。这就是流数的方法；但牛顿在这里没有给出它的描述，尽管他补充了一些说明其用途的例子。第一个例子是关于由方程表示的曲线的求积
y = ax m ( b + cx n ) p ，
如果( m + 1)/ n是一个正整数，则可以说可以将其作为( m + 1)/ n项的总和来实现，并且他认为除了无穷级数之外，否则无法实现。[事实并非如此，如果p + ( m + 1)/ n是一个整数，则可以进行积分。]他还给出了其他可以直接积分的形式的列表，其中主要的是
,
,
,
,
;
其中m是一个正整数，n是任何数字。最后，他指出，任何曲线的面积都可以通过下面在讨论他的Methodus Differentialis时描述的插值方法轻松地近似确定。
在他的信的结尾，牛顿提到了“切线反问题”的解决方案，莱布尼茨曾就此问题寻求信息。他给出了反转任何级数的公式，但说除了这些公式之外，他还有两种解决此类问题的方法，目前他不会描述，除非用一个字谜，读起来如下，“Una methodus consistit in extractione fluentis quantitatis ex aequatione simul involvente fluxionem ejus: altera tantum in assumptione seriei pro quantitate qualibet incognita ex qua caetera commode derivari possunt, et in collatione terminorum homologorum aequationis resultantis, as eruendos terminos assumptae seriei.”
他在这封信中暗示，他对被问到的问题以及关于他提出的每一个新事物的争议感到担忧，这表明他在发表“quod umbram captando eatenus perdideram quietem meam, rem prorsus substantialem”时是多么草率。
莱布尼茨在他的回复中，日期为1677年6月21日，解释了他绘制曲线切线的方法，他说，该方法“不是通过线的流数，而是通过数字的差分”；他介绍了他的符号dx和dy，用于表示曲线上两个连续点坐标之间的无穷小差分。他还给出了一个问题的解决方案，即找到一条其子切线为常数的曲线，这表明他可以积分。
1679年，皇家学会的要求下，胡克写信给牛顿，表达了他希望他向学会作进一步交流的愿望，并告知他当时最近发现的各种事实。牛顿回复说，他已经放弃了对哲学的研究，但他补充说，地球的昼夜运动可以通过观察从高处落到地面的石头偏离垂直线的实验来证明——该实验后来由学会进行并取得了成功。胡克在他的信中提到了皮卡德的测地研究；在这些研究中，皮卡德使用了地球半径的一个值，该值基本正确。这促使牛顿用皮卡德的数据重复了他1666年对月球轨道的计算，因此他验证了他的假设，即引力延伸到月球并与距离的平方成反比。然后，他开始考虑粒子在向心力作用下的运动的一般理论，即指向固定点的一个力，并表明该向量将在相等的时间内扫过相等的面积。他还证明，如果一个粒子在向心力作用下描述一个椭圆，则该定律必须是与到焦点的距离的平方成反比，反之亦然，即在这样的力作用下投射的粒子的轨道将是一个圆锥曲线（或者，他可能只认为是一个椭圆）。为了遵守他的规则，即不发表任何可能让他陷入科学争议的事情，这些结果被锁在他的笔记本中，直到五年后有人向他提出了一个具体的问题，才导致了它们的发表。
《通用算术》，关于代数、方程理论和杂项问题，包含了牛顿在1673年至1683年期间的讲座内容。他的手稿仍然存在；惠斯顿从牛顿那里提取了一个有点勉强的许可来印刷它，并于1707年出版。在代数和方程理论的几个新定理中，牛顿在这里阐述了以下重要结果。他解释说，其根是给定问题的解的方程将具有与不同可能情况一样多的根；他考虑了导致问题的方程可能包含不满足原始问题的根的情况。他扩展了笛卡尔的符号规则，以限制虚根的数量。他使用连续性原理来解释两个实根和不相等根如何通过相等而变为虚根，并通过几何考虑来说明这一点；由此他表明虚根必须成对出现。牛顿还在这里给出了寻找数值方程正根的上限和确定数值根的近似值的规则。他进一步阐述了以他的名字命名的定理，用于寻找方程根的n次幂的和，并奠定了方程根的对称函数理论的基础。
该著作中最有趣的定理是他试图找到一个规则（类似于笛卡尔对实根的规则），通过该规则可以确定方程的虚根的数量。他知道他得到的结果并非普遍正确，但他没有给出证明，也没有解释该规则的例外情况。他的定理如下。假设方程为n次，按x的降幂排列（x n的系数为正），并假设形成n + 1个分数
并写在方程的相应项下面，然后，如果任何项的平方乘以相应的分数大于其两侧的项的乘积，则在其上方加上一个加号：否则在其上方加上一个减号，并在第一项和最后一项上方加上一个加号。现在考虑原始方程中的任何两个连续项，以及写在它们上方的两个符号。然后我们可能遇到以下四种情况中的任何一种：（α）符号相同的项和符号相同的符号；（β）符号相同的项和符号相反的符号；（γ）符号相反的项和符号相同的符号；（δ）符号相反的项和符号相反的符号。然后已经表明，负根的数量不会超过情况（α）的数量，正根的数量不会超过情况（γ）的数量；因此，虚根的数量不少于情况（β）和（δ）的数量。换句话说，写在方程上方的符号行中的符号变化的数量是虚根数量的下限。然而，牛顿断言，通过计算以上述方式形成的符号系列中的符号变化，你几乎可以知道有多少根是不可能的。也就是说，他认为，一般来说，可以通过该规则得到实际的正根、负根和虚根的数量，而不仅仅是这些数量的上限或下限。但是，尽管他知道该规则并非普遍适用，但他无法找到（或者至少没有说明）该规则的例外情况：这个问题后来由坎贝尔、麦克劳林、欧拉和其他作家讨论；最后，在1865年，西尔维斯特成功地证明了普遍的结果。
1684年8月，哈雷来到剑桥，就引力定律向牛顿咨询。胡克、惠更斯、哈雷和雷恩都推测，太阳或地球对外部粒子的引力与距离的平方成反比。这些作者似乎独立地表明，如果开普勒的结论在引力方面是严格正确的，那么引力定律必须是平方反比定律。他们的论点可能是这样的。如果v是行星的速度，r是其轨道半径，取为圆，T是其周期，v = 2π r/T。但是，如果f是到圆心的加速度，我们有f = 4π² r/T ²现在，根据开普勒第三定律，T ²与r ³成正比；因此f与r ²成反比。然而，他们无法从该定律推导出行星的轨道。哈雷解释说，他们的研究由于无法解决这个问题而停止，并询问牛顿，如果引力定律是平方反比定律，他是否能找出行星的轨道。牛顿立即回答说，它是一个椭圆，并承诺重新发送或写出他在1679年发现的证明。这于1684年11月发出。
在哈雷的鼓动下，牛顿现在回到了引力问题；在1684年秋季之前，他研究了《原理》第一本书中的命题1-19、21、30、32-35的内容。这些内容，连同关于运动定律和各种引理的注释，在1684年米迦勒节学期被用于他的讲座。
11月，哈雷收到了牛顿承诺的交流，其中可能包括命题1、11的内容，以及命题17或命题13的第一个推论；此后，哈雷再次前往剑桥，在那里他看到了“自8月以来起草的一篇有趣的论文，De Motu”。这很可能包含了牛顿的讲座手稿笔记，这些笔记现在在大学图书馆，标题为“De Motu Corporum”。哈雷恳求发表这些结果，并最终获得了承诺，即它们应该被发送给皇家学会：它们因此被传达给学会，不迟于1685年2月，在论文De Motu中，其中包含了《原理》第一本书的以下命题的内容，命题1、4、6、7、10、11、15、17、32；第二本书，命题2、3、4。
似乎也是由于哈雷在1684年11月的访问中的影响和策略，牛顿着手解决整个引力问题，并实际上承诺发表他的结果：这些结果包含在《原理》中。到目前为止，牛顿还没有确定一个球形物体对外部点的引力，也没有计算行星运动的细节，即使太阳系的成员可以被视为点。第一个问题于1685年解决，可能是在1月或2月。“不久，”引用格莱舍博士在《原理》出版二百周年纪念上的讲话，“牛顿证明了这个极好的定理——我们从他自己的话中知道，在他从他的数学研究中得出结果之前，他并没有期望得到如此美丽的结果——宇宙的所有机制立刻展现在他面前。当他发现了构成第一本书前三部分的定理时，当他在1684年的讲座中给出了它们时，他并不知道太阳和地球的引力就像它们只是点一样。当他意识到这些结果，他认为这些结果在应用于太阳系时只是近似正确的，实际上是精确的，牛顿的眼睛一定有多么不同！到目前为止，它们只有在可以将太阳视为与行星的距离相比的一个点，或者将地球视为与月球的距离相比的一个点时才是正确的——这个距离大约是地球半径的六十倍——但现在它们在数学上是正确的，除了太阳、地球和行星与完美球形形式的轻微偏差之外。我们可以想象这种从近似到精确的突然转变对刺激牛顿思想产生的影响，使他更加努力。现在，他有能力将数学分析应用于天文学的实际问题，并具有绝对的精确性。”
在《原理》中应用的三条基本原理中，我们可以说，宇宙中每个粒子都吸引其他每个粒子的想法至少早在1666年就形成了；等面积描述定律、其结果，以及如果引力定律是平方反比定律，则粒子绕力中心的轨道将是一个圆锥曲线的事实，在1679年得到了证明；最后，一个球体，其在任何一点的密度仅取决于到中心的距离，吸引一个外部点，就好像整个质量都集中在其中心一样，这是在1685年完成的。正是这一最后的发现使他能够将前两个原理应用于有限大小的物体的现象。
《原理》第一本书的草稿在1685年夏季之前完成，但更正和补充花了一些时间，这本书直到1686年4月28日才提交给皇家学会。这本书致力于考虑自由空间中粒子或物体的运动，无论是在已知轨道上，还是在已知力的作用下，或在它们的相互引力作用下；特别是，它指示了如何计算干扰力的影响。在其中，牛顿还将引力定律推广为一种说法，即宇宙中的每个物质粒子都以与它们的质量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比的力吸引其他每个粒子；他由此推导出恒定密度球壳的引力定律。这本书以关于动力学科学的介绍为前言，定义了数学研究的界限。他说，他的目标是将数学应用于自然现象；在这些现象中，运动是最重要的；现在运动是力的结果，虽然他不知道力的性质或起源是什么，但仍然可以测量它的许多影响；而这些构成了这项工作的主题。
《原理》的第二本书在1685年夏季完成
