上一章討論的數學家開始了區分現代數學的那些進程的創造。牛頓非凡的能力使他能在幾年內完善這些進程中較為基礎的部分，並明確地推進了當時研究的每一個數學分支，以及創造了一些新的學科。牛頓是沃利斯、惠更斯以及上一章中提到的其他人的同時代人和朋友，但儘管他大部分的數學工作是在1665年至1686年間完成的，但大部分直到幾年後才印刷出版——至少不是以書籍的形式。
我打算比其他數學家更全面地討論牛頓的著作，部分原因是他的發現具有內在的重要性，部分原因是這本書主要是為英國讀者而寫的，而且在一個世紀裡，大不列顛的數學發展完全掌握在牛頓學派手中。
艾薩克·牛頓於1642年12月25日出生於林肯郡格蘭瑟姆附近，並於1727年3月20日在倫敦肯辛頓去世。他畢業於劍橋大學三一學院，並在那裡生活了1661年至1696年，在此期間，他完成了大部分的數學工作；1696年，他被任命為一個有價值的政府職位，並搬到倫敦，在那裡居住直到去世。
他的父親在牛頓出生前不久去世，是一位自耕農，原本打算讓牛頓繼承父業。他被送到格蘭瑟姆的學校，在那裡他的學識和機械技能引起了一些關注。1656年，他回到家裡學習農民的生意，但大部分時間都花在解決問題、做實驗或設計機械模型上；他的母親注意到這一點，明智地決定為他找一份更適合他的職業，他的叔叔也曾在劍橋大學三一學院受教育，建議把他送到那裡。
1661年，牛頓因此進入劍橋大學學習，在那裡他第一次發現自己身處可能發展他才能的環境中。然而，他似乎對一般社會或任何除了科學和數學之外的追求都沒有什麼興趣。幸運的是，他寫了日記，因此我們可以對當時英國大學中最優秀學生的教育過程形成一個公平的看法。他在進入學校之前沒有讀過任何數學，但熟悉桑德森的《邏輯學》，當時這本書經常被用作數學的初步讀物。在他第一個十月學期開始時，他碰巧漫步到斯托布里奇集市，在那裡買了一本關於占星術的書，但由於幾何學和三角學的原因，他無法理解它。因此，他買了一本歐幾里德的書，並驚訝地發現這些命題是多麼顯而易見。他隨後閱讀了奧特雷德的《鑰匙》和笛卡爾的《幾何學》，後者他設法自己掌握了，儘管有些困難。他對這個學科的興趣使他選擇了數學而不是化學作為一門嚴肅的學科。他後來作為本科生閱讀的數學著作是基於開普勒的《光學》，維埃塔的著作，範·斯庫滕的《雜集》，笛卡爾的《幾何學》，以及沃利斯的《無窮算術》：他也參加了巴羅的講座。後來，在更仔細地閱讀歐幾里德之後，他對它作為一種教育工具形成了高度的評價，他常常表示遺憾，說自己沒有在進行代數分析之前就專心研究幾何學。
有一份他的手稿，日期為1665年5月28日，寫於他獲得文學學士學位的同一年，這是他發明流數的最早的書面證明。大約在同一時間，他發現了二項式定理。
由於瘟疫，學院在1665年和1666年的部分時間被遣散，在那個時候的幾個月裡，牛頓住在家里。這段時間充滿了輝煌的發現。他思考了他的引力理論的基本原理，即每一個物質粒子都吸引其他每一個粒子，他懷疑這種吸引力與它們的質量成正比，與它們之間的距離的平方成反比。他還相當完整地研究了流數微積分：在1665年11月13日的一份手稿中，他用流數來求曲線上的任何一點的切線和曲率半徑，並在1666年10月將它們應用於方程理論中的幾個問題。牛頓從1669年起將這些結果傳達給他的朋友和學生，但直到多年後才以印刷品的形式出版。也是在那個時候住在家里時，他設計了一些用於磨製特定形狀的鏡片的儀器，而不是球形的，也許他將太陽光分解成不同的顏色。
撇開細節，只取整數，他當時關於引力理論的推理似乎如下。他懷疑將月球留在其繞地球軌道上的力與地球引力相同，為了驗證這個假設，他這樣做了。他知道，如果讓一塊石頭掉落在地球表面附近，地球的引力（即石頭的重量）會使它在一秒鐘內移動16英尺。月球相對於地球的軌道幾乎是一個圓；並且作為一個粗略的近似，假設它是這樣，他知道月球的距離，因此知道它的路徑長度；他也知道月球繞它運行一次所需的時間，即一個月。
因此，他可以很容易地找到它在任何一點（如M）的速度。因此，他可以找到它在下一秒內移動的距離MT，如果它沒有受到地球引力的拉力。然而，在那個秒的末尾，它在M'，因此地球E一定在一秒鐘內將它拉過距離TM'（假設地球的拉力方向是恆定的）。現在，他和當時的幾位物理學家從開普勒的第三定律推測，地球對物體的引力會隨著物體遠離地球而減小，與物體到地球中心的距離的平方成反比；如果這就是實際的定律，並且如果引力是將月球留在其軌道上的唯一力，那麼TM'應該與16英尺成反比，與月球到地球中心的距離的平方成反比，與地球半徑的平方成反比。1679年，當他重複這項研究時，發現TM'具有假設所要求的數值，驗證是完整的；但在1666年，他對月球距離的估計不準確，當他進行計算時，他發現TM'比他的假設應該的數值小了約八分之一。
這種差異似乎並沒有動搖他對引力延伸到月球並與距離的平方成反比的信念；但從惠斯頓與牛頓的一次談話的筆記來看，似乎牛頓推斷，除了引力之外，還有其他一些力——可能是笛卡爾的渦流——作用於月球。彭伯頓對這項研究的描述證實了這一點。此外，似乎牛頓已經堅定地相信萬有引力原理，即每一個物質粒子都吸引其他每一個粒子，並且懷疑這種吸引力與它們的質量成正比，與它們之間的距離的平方成反比；但可以肯定的是，他當時並不知道一個球形質量對任何外部點的引力會是多少，並且不認為一個粒子會受到地球的吸引，就好像地球集中在它的中心的一個單個粒子中一樣。
1667年，牛頓回到劍橋，被選為他所在學院的研究員，並永久地在那裡定居。在1669年初，或者可能在1668年，他為巴羅修改了他的講座。已知第十四講的結尾是牛頓寫的，但現在無法確定其餘部分有多少是歸功於他的建議。一旦完成，巴羅和柯林斯就要求他編輯並為金克胡伊森的《代數》翻譯本添加註釋；他同意這樣做，但條件是他的名字不應該出現在其中。1670年，他也開始系統地闡述他的無限級數分析，其目的是用一個無限的代數級數來表示曲線的縱坐標，其中每一項都可以用沃利斯的規則積分；他在這個問題上的結果已於1669年傳達給巴羅、柯林斯等人。這從未完成：該片段於1711年出版，但其主要內容已作為《光學》的附錄於1704年印刷。這些著作只是牛頓休閒的成果，他在這兩年中的大部分時間都用於光學研究。
1669年10月，巴羅將盧卡斯教授席位讓給了牛頓。在他擔任教授期間，牛頓的習慣是每周公開講課一次，每次半小時到一小時，每年一個學期，很可能以他們可以記錄的速度口述他的講課；在講課後的那個星期，他會花四個小時來安排他給那些想來他房間討論上一講結果的學生。他從未重複過一門課程，這門課程通常由九到十講組成，通常一門課程的講課從上一門課程結束的地方開始。他的講課手稿在他任職的前十八年中，有十七年的手稿是存在的。
當第一次被任命時，牛頓選擇光學作為他的講課和研究的科目，並且在1669年底之前，他已經研究了通過棱鏡將白光分解成不同顏色的光線的細節。從這個發現中，得出了對彩虹理論的完整解釋。這些發現構成了他在1669年、1670年和1671年擔任盧卡斯教授時所講授的內容。主要的新結果體現在1672年2月提交給皇家學會的一篇論文中，並隨後發表在《哲學彙刊》上。他最初講課的手稿於1729年以《光學講義》為題印刷出版。這部作品分為兩本書，第一本書包含四個部分，第二本書包含五個部分。第一本書的第一部分討論了由於組成它的光線的折射率不均勻，棱鏡對太陽光的分解，並添加了他實驗的描述。第二部分包含牛頓發明用於確定不同物體折射係數的方法的描述。這是通過使光線穿過由該材料製成的棱鏡，使偏差最小化來完成的；他證明，如果棱鏡的角度為i，光線的偏差為δ，則折射率將為sin ½ ( i + δ) cosec ½ i。第三部分是關於平面上的折射；他在這裡表明，如果光線穿過具有最小偏差的棱鏡，則入射角等於出射角；這部分的很大一部分用於不同問題的幾何解。第四部分包含對彎曲表面上的折射的討論。第二本書討論了他的顏色理論和彩虹。
由於一系列奇怪的事故，牛頓未能通過一對棱鏡校正兩種顏色的色差。因此，他放棄了製造一個應該是消色的折射望遠鏡的希望，而是設計了一個反射望遠鏡，可能是在他於1668年製造的一個小型望遠鏡的基礎上。他使用的形式仍然以他的名字命名；它的想法自然是由格雷戈里的望遠鏡提出的。1672年，他發明了一種反射顯微鏡，幾年後，他發明了六分儀，該六分儀於1731年被J.哈德利重新發現。
他從1673年到1683年的教授講座是關於代數和方程理論的，下面將對此進行描述；但在這些年中，他的大部分時間都用於其他研究，並且我可以指出，在整個一生中，牛頓一定至少像數學一樣關注化學和神學，儘管他的結論沒有足夠的興趣在這裡提及。他的顏色理論和他從他的光學實驗中得出的推論最初受到了相當大的抨擊。這給牛頓帶來的通信佔用了他在1672年至1675年間幾乎所有的空閒時間，並且讓他感到極度厭惡。1675年12月9日，他寫道：「我被由我的光學理論引起的討論所迫害，我責備自己的輕率，為了追逐一個影子而放棄了像我的安寧這樣實質性的祝福。」再次，1676年11月18日，他觀察到：「我看到我讓自己成為哲學的奴隸；但如果我擺脫了林努斯先生的事情，我會堅決地永遠告別它，除了我為自己的私人滿意度所做的事情，或者留下來在我之後出現；因為我看到一個人必須要么決定不發表任何新的東西，要么成為奴隸來捍衛它。」對他的結論被懷疑或捲入任何關於它們的通信的無理厭惡是牛頓性格的一個突出特徵。
牛頓對光的效果是如何真正產生的這個問題深感興趣，到1675年底，他已經研究了微粒或發射理論，並表明它如何解釋幾何光學的所有各種現象，例如反射、折射、顏色、衍射等。然而，為了做到這一點，他不得不添加一個有點人為的附加條件，即他的微粒具有由充滿空間的以太傳遞給它們的容易反射和容易折射的交替適合性。現在已知這個理論是站不住腳的，但應該注意的是，牛頓將其闡述為一個假設，從中會得出某些結果：似乎他認為波動理論在內在上更有可能，但正是解釋衍射的困難導致他提出了另一個假設。
牛頓的微粒理論在1675年12月提交給皇家學會的備忘錄中被闡述，這些備忘錄基本上在他的《光學》中重現，該書於1704年出版。在後來的著作中，他詳細討論了他的容易反射和傳輸的適合性理論，以及薄板的顏色，他添加了對厚板的顏色[第二冊，第4部分]和對光的彎曲的觀察[第三冊]的解釋。
牛頓在1676年寫的兩封信足以引起人們的注意。萊布尼茨於1673年在倫敦，他向皇家學會傳達了一些他認為是新的結果，但有人指出，這些結果此前已被穆頓證明。這導致了與學會秘書奧爾登堡的通信。1674年，萊布尼茨寫道，他擁有「依賴於無限級數的一般分析方法」。奧爾登堡在回覆中告訴他，牛頓和格雷戈里在他們的工作中使用了這樣的級數。在回答對信息的請求時，牛頓於1676年6月13日寫信，簡要介紹了他的方法，但添加了二項式的展開式（即二項式定理）和sin -1 x；從後者他推導出sin x的展開式：這似乎是已知最早的級數反演的例子。他還插入了一個用於橢圓弧的整流的表達式，以無限級數的形式。
萊布尼茨於8月27日寫信要求更詳細的資料；牛頓在1676年10月34日的一封長而有趣的答覆中，通過奧爾登堡寄出，介紹了他如何被引導到他的一些結果。
在這封信中，牛頓首先說，他總共使用了三種級數展開方法。他的第一個方法是從研究沃利斯找到圓和雙曲線面積的插值方法中得出的。因此，通過考慮表達式序列(1— x 2 ) 0/2 , (1— x 2 ) 2/2 , (1— x 2 ) 4/2 , ... ，他通過插值推導出連接(1— x 2 ) 1/2 , (1— x 2 ) 3/2 , ... 的展開式中連續係數的定律；然後通過類比，他得到了二項式展開式中一般項的表達式，即二項式定理。他說，他繼續通過形成(1— x 2 ) 1/2的展開式的平方來測試這個，它簡化為1—x²；並且他以類似的方式處理了其他展開式。接下來，他通過提取1— x ²的平方根來測試(1— x 2 ) 1/2的情況下的定理， more arithmetico。他還使用該級數以無限級數的形式確定圓和雙曲線的面積，並且他發現結果與他通過其他方法得出的結果相同。
在建立了這個結果之後，他隨後放棄了級數插值的方法，並使用他的二項式定理來表示（如果可能）曲線的縱坐標，以橫坐標的升冪的無限級數，因此通過沃利斯的方法，他以《光學》的附錄和他的《De Analysi per Equationes Numero Terminorum Infinitas》中描述的方式，得到了曲線的面積和弧長的無限級數的表達式。他指出，他在1665-66年的瘟疫之前就使用了這種第二種方法，並繼續說，他當時不得不離開劍橋，隨後（大概是在他回到劍橋之後）他停止了追求這些想法，因為他發現尼古拉斯·墨卡托在他的《Logarithmo-technica》中使用了其中的一些方法，該書於1668年出版；他認為其餘的已經或將會在他自己可能發表他的發現之前被發現。
牛頓接下來解釋說，他也有第三種方法，他（說）大約在1669年向巴羅和柯林斯發送了一份說明，並附有應用於面積、整流、立方等。這就是流數的方法；但牛頓在這裡沒有給出它的描述，儘管他添加了一些關於它的使用的插圖。第一個插圖是在由方程表示的曲線的求積上
y = ax m ( b + cx n ) p ,
如果( m + 1)/ n是一個正整數，他認為它可以用( m + 1)/ n項的和來實現，否則他認為它不能實現，除非通過一個無限級數。[事實並非如此，如果p + ( m + 1)/ n是一個整數，則積分是可能的。]他還給出了一份其他形式的列表，這些形式可以直接積分，其中主要的是
,
,
,
,
; 其中m是一個正整數，n是任何數。最後，他指出，任何曲線的面積都可以通過插值方法輕鬆地近似確定，如下面在討論他的Methodus Differentialis時所描述的那樣。
在他的信的結尾，牛頓提到了「切線的逆問題」的解決方案，萊布尼茨曾就這個問題要求提供資訊。他給出了用於反轉任何級數的公式，但說除了這些公式之外，他還有兩種解決此類問題的方法，目前他不會描述，除非通過一個字謎，讀起來如下：「Una methodus consistit in extractione fluentis quantitatis ex aequatione simul involvente fluxionem ejus: altera tantum in assumptione seriei pro quantitate qualibet incognita ex qua caetera commode derivari possunt, et in collatione terminorum homologorum aequationis resultantis, as eruendos terminos assumptae seriei.」
他在這封信中暗示，他對他被問到的問題以及關於他提出的每一個新事物的爭論感到擔憂，這表明他在發表「quod umbram captando eatenus perdideram quietem meam, rem prorsus substantialem」時的輕率。
萊布尼茨在他的回覆中，日期為1677年6月21日，解釋了他繪製曲線切線的方法，他說，它「不是通過線的流數，而是通過數字的差」；他引入了他的dx和dy的符號，表示曲線上的兩個連續點的坐標之間的無窮小差。他還給出了一個解決方案，以找到一條其子切線為常數的曲線的問題，這表明他可以積分。
1679年，胡克應皇家學會的要求，寫信給牛頓，表達了他希望他向學會做進一步的交流，並向他通報了當時最近發現的各種事實。牛頓回覆說，他已經放棄了對哲學的研究，但他補充說，地球的晝夜運動可以通過觀察從高處掉到地面的石頭與垂直線的偏差的實驗來證明——這個實驗後來由學會進行並取得了成功。胡克在他的信中提到了皮卡德的測地線研究；在這些研究中，皮卡德使用了地球半徑的一個實質上正確的值。這促使牛頓用皮卡德的資料重複了他1666年關於月球軌道的計算，因此他驗證了他的假設，即引力延伸到月球並與距離的平方成反比。然後他開始考慮在向心力作用下的粒子的運動的一般理論，即指向一個固定點的力，並表明向量將在相等的時間內掃過相等的面積。他還證明，如果一個粒子在向心力作用下描述一個橢圓，則定律必須是與到焦點的距離的平方成反比，反之亦然，即在這種力的影響下投射的粒子的軌道將是一個圓錐曲線（或者，他可能只認為是一個橢圓）。遵守他的規則，不發表任何可能讓他陷入科學爭議的東西，這些結果被鎖在他的筆記本中，直到五年後有人向他提出了一個具體的問題，才導致了它們的出版。
《通用算術》，關於代數、方程理論和雜項問題，包含了牛頓在1673年至1683年間的講座的主要內容。他的手稿仍然存在；惠斯頓從牛頓那裡提取了不太情願的許可，將其印刷，並於1707年出版。在代數和方程理論的幾個新定理中，牛頓在這裡闡述了以下重要結果。他解釋說，其根是給定問題的解的方程將具有與不同可能情況一樣多的根；他考慮了導致問題的方程可能包含不滿足原始問題的根的情況。他將笛卡爾的符號規則擴展到限制虛根的數量。他使用連續性原理來解釋兩個實數和不相等的根如何通過相等而變成虛數，並通過幾何考慮來說明這一點；因此他表明虛根必須成對出現。牛頓在這裡還給出了找到數值方程的正根的上限，並確定數值根的近似值的規則。他還闡述了以他的名字命名的定理，用於找到方程的根的n次方的總和，並奠定了方程的根的對稱函數的理論的基礎。
這部作品中最有趣的定理是他試圖找到一個規則（類似於笛卡爾對實根的規則），通過該規則可以確定方程的虛根的數量。他知道他得到的結果並不普遍正確，但他沒有給出證明，也沒有解釋該規則的例外情況。他的定理如下。假設方程為n次，按x的降冪排列（x n的係數為正），並假設形成n + 1個分數
，並將其寫在方程的相應項的下方，然後，如果任何項的平方乘以相應的分數大於其兩側的項的乘積，則在其上方寫一個加號：否則在其上方寫一個減號，並在第一項和最後一項上方寫一個加號。現在考慮原始方程中的任何兩個連續項，以及寫在它們上方的兩個符號。然後我們可能會有以下四種情況中的任何一種：（α）同號的項和同號的符號；（β）同號的項和異號的符號；（γ）異號的項和同號的符號；（δ）異號的項和異號的符號。然後它已被證明，負根的數量不超過情況（α）的數量，正根的數量不超過情況（γ）的數量；因此，虛根的數量不少於情況（β）和（δ）的數量。換句話說，寫在方程上方的符號行中的符號變化次數是虛根數量的下限。然而，牛頓斷言，通過計算以上述方式形成的符號系列中的符號變化，你幾乎可以知道有多少根是不可能的。也就是說，他認為，通常可以用該規則得到實際的正根、負根和虛根的數量，而不僅僅是這些數量的上限或下限。但是，儘管他知道該規則並非普遍適用，但他無法找到（或者至少沒有說明）它的例外情況：這個問題後來由坎貝爾、麥克勞林、歐拉和其他作家討論；最後，1865年，西爾維斯特成功地證明了這個一般結果。
1684年8月，哈雷來到劍橋，就引力定律向牛頓諮詢。胡克、惠更斯、哈雷和雷恩都猜測太陽或地球對外部粒子的引力與距離的平方成反比。這些作者似乎獨立地表明，如果開普勒的結論在嚴格意義上是正確的，他們對此並不完全確定，那麼引力定律一定是平方反比定律。他們的論點可能是這樣的。如果v是行星的速度，r是其軌道的半徑（取為一個圓），T是其週期，則v = 2π r/T。但是，如果f是圓心的加速度，我們有f = 4π² r/T ²現在，根據開普勒的第三定律，T ²與r ³成正比；因此f與r ²成反比。然而，他們無法從該定律推導出行星的軌道。哈雷解釋說，他們的調查由於他們無法解決這個問題而停止，並詢問牛頓，如果引力定律是平方反比定律，他是否能找出行星的軌道。牛頓立即回答說它是一個橢圓，並承諾重新發送或寫出他在1679年找到的證明。這是在1684年11月發送的。
在哈雷的慫恿下，牛頓現在回到了引力的問題；在1684年秋季之前，他研究了《原理》第一本書中的命題1-19、21、30、32-35的主要內容。這些以及關於運動定律和各種引理的註釋，都是在1684年米迦勒節學期為他的講座而讀的。
11月，哈雷收到了牛頓承諾的通信，其中可能包含命題1、11的主要內容，以及命題17或命題13的第一個推論；此後，哈雷再次前往劍橋，在那裡他看到了「自8月以來撰寫的一篇有趣的論文，De Motu」。這很可能包含了牛頓的上述講座的手稿筆記：這些筆記現在在大學圖書館，標題為「De Motu Corporum」。哈雷懇求將結果發表，並最終確保承諾將它們發送給皇家學會：它們因此被傳達給學會，不遲於1685年2月，在論文De Motu中，其中包含《原理》第一本書的以下命題的主要內容，道具。1、4、6、7、10、11、15、17、32；第二本書，道具。2、3、4。
似乎也是由於哈雷在1684年11月的訪問中的影響和策略，牛頓承擔了攻擊引力的整個問題，並且實際上承諾發表他的結果：這些都包含在《原理》中。到目前為止，牛頓尚未確定球形物體對外部點的引力，也未計算行星運動的細節，即使太陽系的成員可以被視為點。第一個問題是在1685年解決的，可能是在1月或2月。「不久，」引用格萊舍博士在《原理》出版二百週年紀念日的演講，「牛頓證明了這個極好的定理——我們從他自己的話中知道，在他從他的數學研究中出現之前，他並沒有期望如此美麗的結果——宇宙的所有機制立刻在他面前展開。當他發現了構成第一本書第一部分的定理時，當他在1684年的講座中給出它們時，他並不知道太陽和地球的引力就像它們只是一些點一樣。當他意識到這些結果，他認為這些結果僅僅是近似正確的，當應用於太陽系時，它們實際上是精確的，這對牛頓的眼睛來說一定有多麼不同！到目前為止，它們只有在他可以將太陽視為與行星的距離相比的一個點，或者將地球視為與月球的距離相比的一個點時才是正確的——這個距離大約是地球半徑的六十倍——但現在它們在數學上是正確的，除了太陽、地球和行星的完美球形形式的輕微偏差。我們可以想像這種從近似到精確的突然轉變對刺激牛頓的思想產生了更大的影響。現在，他有能力將數學分析絕對精確地應用於天文學的實際問題。」
在《原理》中應用的三個基本原理中，我們可以說，宇宙中每個粒子都吸引其他每個粒子的想法至少早在1666年就形成了；等面積描述定律、其後果，以及如果引力定律是平方反比定律，則粒子繞力中心的軌道將是一個圓錐曲線的事實，是在1679年證明的；最後，球體，其在任何一點的密度僅取決於到中心的距離，吸引一個外部點，就好像整個質量都集中在其中心一樣，是在1685年提出的。
《原理》第一本書的草稿在1685年夏季之前完成，但更正和補充花費了一些時間，直到1686年4月28日才提交給皇家學會。這本書致力於研究自由空間中粒子或物體的運動，無論是在已知軌道上，還是在已知力的作用下，或在它們的相互吸引下；特別是，它指示如何計算干擾力的影響。在其中，牛頓還將引力定律概括為一個陳述，即宇宙中的每個物質粒子都以與其質量的乘積成正比，與它們之間的距離的平方成反比的力吸引其他每個粒子；他由此推導出恆定密度球殼的引力定律。這本書以關於動力學科學的介紹為前言，定義了數學研究的界限。他說，他的目的是將數學應用於自然現象；在這些現象中，運動是最重要的之一；現在運動是力的結果，雖然他不知道力的性質或起源是什麼，但仍然可以測量它的許多效果；而這些構成了這項工作的內容。
《原理》的第二本書在1685年夏季完成，但
